经济数学 众浙江方常械津拉期摩院 第5章定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 马 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.4 广义积分 5.5 定积分的应用 基本要龙 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 第5章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.4 广义积分 5.5 定积分的应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式
经济数学 众浙江商革碱幸挂锵膨院 5.2微积分基本公式 5.2.1变上限积分函数 5.2.2 微积分基本公式 9 主要内容
经济数学 主要内容 5.2.1 变上限积分函数 5.2.2 微积分基本公式
经济数学 浙江商業碱業技粥，墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorce 5.2.1变上限积分函数 设函数y=f)定义在[a,b]上，为区 间上的任意一点，由定积分的几何意义知，定积y+ y=f(x) 分∫f(x)k表示的是图中阴影部分的面积.随 着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确 定的值与相对应，故是的函数，称它为变上限积 GCOx) 0 a 分函数，记作G(x),即∫fx)d xx b x G(x)= [f)d(a≤x≤b) 9 5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式x y y f x = ( ) 0 a x x b G xG x ( )( ) 5.2.1 变上限积分函数 设函数 定义在 上，x为区 间上的任意一点，由定积分的几何意义知，定积 分 表示的是图中阴影部分的面积．随 着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确 定的值与相对应,故是x的函数，称它为变上限积 分函数，记作 ，即 ( ) ( ) ( ) x a G x f t dt a x b = G x( ) ( ) x a f x dx ( ) x a f x dx y f x = ( ) [ , ] a b
经济数学 众浙江商常碱津核锵膨院 5.2.1变上限积分函数 定理52 如果函数f(x)在区间[a,b1上连续，则函数 G(x)f()d 在区间[a,b]上可导，且它的导数就是f(x),即 d G'(x)= f(t)dt=f(x)(a≤x≤b) dx 9 5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 定理5·2 5.2.1 变上限积分函数 如果函数 在区间 上连续，则函数 在区间 上可导，且它的导数就是 ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) x a d G x f t dt f x a x b dx = = f x( ) f x( ) ( ) ( ) x a G x f x dx = [ , ] a b [ , ] a b
经济数学 浙江商常碱事挂锵辔院 5.2.1变上限积分函数 定理5.2表明：G(x)是连续函数f(的一个原函数.这个定 理揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。 例4 设G(x)=∫tsin2d,求G'(x) 解： 根据定理5.2，可得 G(x)=S'tsin'tdr)=xsinx 9 一5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 解： 根据定理5．2，可得 例4 5.2.1 变上限积分函数 ( ) 2 2 1 ( ) sin sin x G x t tdt x x = = 设 ，求 G x ( ) 2 1 ( ) sin x G x t tdt = 定理5．2表明： 是连续函数 的一个原函数．这个定 理揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。 G x( ) f x( )
经济数学 以浙江商常碱業核，墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 5.2.1变上限积分函数 例5 设G)=∫eat,求G) 解： 交换积分上下限后求导 G-J:0)--J"0a) =-e压.(2)=-2em 9 5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 解： 5.2.1 变上限积分函数 交换积分上下限后求导 2 2 (2 ) 2 x x = − = − e x e ( ) ( ) 1 2 2 1 ( ) x t t x G x e dt e dt = = − 例5 设 ，求 G x ( ) 1 2 ( ) t x G x e dt =
经济数学 会浙江有常碱津拉将摩院 5.2.2微积分基本公式 定理53 设函数f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是fx)在 [a,b]上的一个原函数，则 b f(x)dx F(b)-F(a) 上式称为牛顿(Newton)一莱布尼茨(Leibniz)公式，也叫微积 分基本公式， 9 5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 定理5·3 5.2.2 微积分基本公式 设函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则 上式称为牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫微积 分基本公式． [ , ] a b f x( ) [ , ] a b F x( ) f x( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −
经济数学 令浙江商常械害挂馨院 5.2.2微积分基本公式 为书写方便，公式中的F(b)-F(@)通常记F(x)或 [F(x)北.因此上述公式也可以写成 ∫fx)h域Fxt∫f)x=[F(x) 由牛顿一莱布尼茨公式可知，求f(在区间[止的定积分，只需求 出在纸闯上的低时个原函数 ,并计第它在两端处点的函数 值之差 即间、F(a 9 三二5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 5.2.2 微积分基本公式 为书写方便，公式中的 通常记 或 ．因此上述公式也可以写成 或 由牛顿—莱布尼茨公式可知，求 在区间 上的定积分，只需求 出 在区间 上的任一个原函数 ,并计算它在两端处点的函数 值之差 即可． F b F a ( ) ( ) − f x( ) [ , ] a b ( ) ( ) b b a a f x dx F x = ( ) ( ) b b a a f x dx F x = F b F a ( ) ( ) − ( ) b a F x ( ) b a F x f x( ) [ , ] a b F x( )
经济数学 众浙江商常織津拉锵膨院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 5.2.2微积分基本公式 例6 求定积分xdk 解： 因为r=子+C,所以是的一个原函数。 所以由牛顿—莱布尼茨公式有 x=写r6-e-o)月 将本题与上节例2比较，可看出计算的简洁性 9] 5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 解: 5.2.2 微积分基本公式 ，所以 是 所以由牛顿——莱布尼茨公式有 因为 的一个原函数， 将本题与上节例2比较，可看出计算的简洁性． ( ) 1 2 3 1 3 3 0 0 1 1 1 1 0 3 3 3 x dx x = = − = 2 x 1 3 3 x 2 3 1 3 x dx x C = + 例6 求定积分 1 2 0 x dx.
经济数学 会浙江有常碱津拉将唐院 5.2.2微积分基本公式 例7 求定积分∫(e-1+1dh 解：可利用定积分的性质将原积分分解为各个函数定积分的代 数和. Ted. -Jieds-d+ =e"-Inx+x =e2-e-ln2+1 9] 5.2微积分基本公式
经济数学 5.2 微积分基本公式 解： 5.2.2 微积分基本公式 例7 求定积分 2 1 1 ( 1) . x e dx x − + 可利用定积分的性质将原积分分解为各个函数定积分的代 数和． 2 = − − + e e ln 2 1 2 2 2 1 1 1 ln x = − + e x x 2 2 2 1 1 1 1 1 x e dx dx dx x = − + 2 1 1 ( 1) . x e dx x − +