经济数学 交浙江商常械素拉斑串院 ZheJlang Vecational Coltege O1 Commarco 3.2洛必达法则 0 3.2.1 型不定式 1.引子 极限lim e-l如何求？ x→0Snx 分析：当x。→0时，分子、分母的极限均为0， 为 0型。这种0型的极限用我们第一章学过的方法已经 0 0 不能求解了，那么，该如何求呢？ 这就是我们接下来要学习的洛必达法则T。 9 二3.2洛必达法则
经济数学 3.2.1 型不定式 0 0 极限 如何求？ x e x x sin 1 lim 0 − → 、 分析：当 时，分子、分母的极限均为0， 为 型。这种 型的极限用我们第一章学过的方法已经 不能求解了，那么，该如何求呢？ 这就是我们接下来要学习的洛必达法则Ⅰ。 x →0 0 0 0 0 1. 引子 3.2 洛必达法则 ?
经济数学 交浙江方常械掌挂将摩院 0 3.2.1 0 型不定式 2.定理 定理3.4 如果函数f(x)与8(x)满足条件： (1)lim f(x)=0,lim g(x)=0 x→X0 (2)在xo的某领域内(x0除外)，f'(x),g'(x)都存在， 且g'(x)≠0； 1→8x)存在（或为00） (3)lim f'(x) 则 lim f(x)lim f'(x) x→x08(x)x→x0g'(x) 9 3.2洛必达法则
经济数学 定理 3.4 2. 定理 3.2.1 型不定式 0 0 如果函数 f (x) 与 g(x) 满足条件： （2）在 的某领域内（ 除外）， 都存在， 且 ； 0 x f (x), g (x) 0 x g (x) 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0 0 0 = = → → f x g x x x x x （1） , ； （3） ( ) 存在（或为 ） ( ) lim 0 g x f x x x → 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x = → → 3.2 洛必达法则
经济数学 令浙江商常城掌祛期摩院 0 3.2.1 0 型不定式 2.定理 定理3.4告诉我们：如果八四符合定理的条件，则可通过对分子、 8(x) 分母分别求导后再求极限来确定1imf() →x08(x) 说明：对于x的其他变化趋势(x→0，X→+0，X→0，x→x0 X→X,)时的9型未定式的极限，上述定理仍然成立. 0 9 三3.2洛必达法则
经济数学 2. 定理 3.2.1 型不定式 0 0 3.2 洛必达法则 定理3.4告诉我们：如果 符合定理的条件，则可通过对分子、 分母分别求导后再求极限来确定 。 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x ( ) ( ) g x f x 说明：对于x的其他变化趋势（ ， ， ， ）时的 型未定式的极限，上述定理仍然成立． x → x →+ x →− + → 0 x x − x → x0 0 0
经济数学 令浙江方常械掌挂科摩院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 0 3.2.1 0 型不定式 3.举例 tanx 例1 利用洛必达法则求极限lim x>0 X 0 解：这是口型未定式，根据洛必达法则，得 0 tanx =lim (tanx)' lim- x->0 X x-0(x)' 1 =lim- -=1 x-0 COS2x 9 二3.2洛必达法则
解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得 0 0 经济数学 3. 举例 3.2.1 型不定式 0 0 3.2 洛必达法则 例１ 利用洛必达法则求极限 x tanx lim x→0 (x) (tanx) lim x tanx lim x 0 x 0 = → → 1 cos x 1 lim 2 x 0 = = →
经济数学 令浙江商常城掌挂科摩院 0 3.2.1 0 型不定式 3.举例 x2-2x 例2 求极限lim x1x3-3x+2 解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得 0 x2-2x (x2-2x)/ lim =lim- 1x3-3x+21(x3-3x+2) =lim 13x2-3 lim 21 6x3 例2说明洛必达法则可以累次使用下去 9☐ 3.2洛必达法则
经济数学 3.2.1 型不定式 0 0 3.2 洛必达法则 3. 举例 例２ 求极限 3 2 2 lim 3 2 1 − + − → x x x x x ( 3 2) ( 2 ) lim 3 2 2 lim 3 2 1 3 2 1 − + − = − + − → → x x x x x x x x x x ) 0 0 ( 3 3 2 2 lim 2 1 − − = → x x x 3 1 6x 2 lim x 1 = = → 0 0 解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得 例2说明洛必达法则可以累次使用下去
经济数学 会浙江商术碱津接病修院 0 3.2.1 0 型不定式 3.举例 例3 求极限lim ex-e-x x->0 x2 解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得 ex-e-x ex+e-x lim lim =00 x→0 「x02X 9 三3.2洛必达法则
经济数学 3.2.1 型不定式 0 0 3.2 洛必达法则 3. 举例 例3 求极限 2 0 lim x e e x x x − → − 解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得 0 0 = + = − − → − → 2x e e lim x e e lim x x x 0 2 x x x 0
经济数学 浙江商業碱業核粥，墨院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 0 3.2.1 0 型不定式 3.举例 -arctan x +例4 求极限 lim 2 -co 1 sin 0 解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得 0 π 1 -arctan x lim =lim- 1+x2 x)+00 1 x→+01 1 sin- cos x2 1 =lim 4∞1+x2 1 cos 9 二3.2洛必达法则
经济数学 3. 举例 3.2.1 型不定式 0 0 +例4 求极限 x x x 1 sin arctan 2 lim − →+ 3.2 洛必达法则 x x x x x x x 1 cos 1 1 1 lim 1 sin arctan 2 lim 2 2 − + − = − →+ →+ 1 1 cos 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x x 0 0 解：这是 型未定式，根据洛必达法则，得
经济数学 令浙江商常城事核粉摩院 0 3.2.1 型不定式 3.举例 +例5 求极限limx-sinx x0 sinx3 x-sinx 1-cosx 解： 1-cosx 1 lim lim- lim x0 sinx3 x03x2COSx3 x→0 3x2 COSx3 1-cosx lim =lim sinx 1 x→03x2 x-→06x6 9 3.2洛必达法则
经济数学 3. 举例 3.2.1 型不定式 0 0 3.2 洛必达法则 +例5 求极限 3 0 sin sin lim x x x x − → 2 3 0 2 3 0 3 0 cos 1 3 1 cos lim 3 cos 1 cos lim sin sin lim x x x x x x x x x x x x − = − = − → → → 6 1 6 sin lim 3 1 cos lim 0 2 0 = = − = → → x x x x x x 解：
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 0 3.2.1 0 型不定式 4.训练题一 1.求极限im 2-8 x3x-3 2.求极限lim h(2+x) x0(x+1)2 3.求极限lim sinx *tex-2 4求极限me-l x→0Sinx 答案：1.81n2 2.003.12 4.1 9 二3.2洛必达法则
经济数学 4. 训练题一 3.2.1 型不定式 0 0 3.2 洛必达法则 1. 求极限 2. 求极限 3. 求极限 4. 求极限 2 sin lim 0 + − → x −x x e e x 2 0 ( 1) ln( 2 ) lim + + → x x x 3 2 8 lim 3 − − → x x x x e x x sin 1 lim 0 − → 答案：1. 8ln2 2. 3. ½ 4. 1
经济数学 浙江商常碱革拉锵串院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 3.2洛必达法则 3.2.2一型不定式 00 1.引子 极限imhx 如何求？ 分析：当X→十0时，分子、分母的极限均为0， 为型。这种”型的极限用我们第一章学过的方法已经 00 不能求解了，那么，又该如何求呢？ 这就是我们接下来要学习的洛必达法则口。 9 二3.2洛必达法则
经济数学 3.2 洛必达法则 3.2.2 型不定式 极限 如何求？ →+ x ln x lim x 1. 引子 3.2 洛必达法则 、 分析：当 时，分子、分母的极限均为 ， 为 型。这种 型的极限用我们第一章学过的方法已经 不能求解了，那么，又该如何求呢？ 这就是我们接下来要学习的洛必达法则Ⅱ。 x →+ ?