经济数学 令浙江商术械掌挂称摩院 4.3分部积分法 1.分部积分法 形如∫xcosxdx,∫xe'd 用以往学过的方法能否解决 显然当被积函数是由两个不同类型函数 乘积时，直接积分和换元积分法不一定有效。 4.3分部积分法
经济数学 1. 分部积分法 4.3 分部积分法 4.3 分部积分法 x e dx x cos , 形如 x xdx 用以往学过的方法能否解决 ? 显然当被积函数是由两个不同类型函数 乘积时，直接积分和换元积分法不一定有效
经济数学 浙江商菜碱素核的墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorce 1.分部积分法 思考： 1.导数运算与积分运算为互逆运算 2.求两个不同类型函数之积的积分，能否从其导 数开始考虑？ 尝试解决的方法利用两个连续可微函数乘积的求导法则. 设函数山=(x)和v=v(X)具有连续导数， (uv)=uv+uv',uv'=(uv)-u'v, ∫uv'k=uw-∫tk,或「udw=w-∫vdu 9 4.3分部积分法
经济数学 1. 分部积分法 4.3 分部积分法 思考： 1. 导数运算与积分运算为互逆运算 2. 求两个不同类型函数之积的积分，能否从其导 数开始考虑？ 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = 或 尝试解决的方法 利用两个连续可微函数乘积的求导法则. uv dx uv u vdx, = − udv= uv − vdu
经济数学 浙江商常减掌核锅业院 2.分部积分公式 设，是两个连续可微函数，则公式 uw't=uv-tv,或 udv=uv-[vdu 叫作分部积分公式。这种将被积函数的一部分积分先积出的方法叫做 分部积分法。 它的作用在于把不易求的udm化为比较容易求出的vdu来计算. 应用分部积分公式的关键是：选择适当的、w 9 4.3分部积分法
经济数学 2. 分部积分公式 4.3 分部积分法 设u,v是两个连续可微函数，则公式 uvdx = uv − uvdx, 或 udv= uv − vdu 叫作分部积分公式。这种将被积函数的一部分积分先积出的方法叫做 分部积分法。 udv 它的作用在于把不易求的 化为比较容易求出的 vdu 来计算. 应用分部积分公式的关键是：选择适当的u、dv
经济数学 金浙江商紫碱事拉将摩院 2.分部积分公式 「uv'dc=uv-「ddk,或 udv=uv-vdu 如求积分xcosx. 若令u=cosx,=)x'=d 2 j小owmd-ow -sin xdx 显然，儿，y选择不当，积分更难进行 换之，若令W=x,cosxdx=d(sinx)=dy ∫ccosxd=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinx =xsinx+cosx+C. 9] 4.3分部积分法
经济数学 2. 分部积分公式 4.3 分部积分法 如 求积分 cos . x xdx 若令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 换之,若令 u = x, cos xdx = d(sin x) = dv xcos xdx (sin ) = x d x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. uvdx = uv − uvdx, 或 udv= uv − vdu = cos ( ) 2 1 2 x d x
经济数学 浙江商菜碱素核的墨院 ZheJlang vecatlonal Colloge o1 Commorco 2.分部积分公式 uw'dk=uv-「'vdk,或 udy=uv-vdu 根据分部积分公式，关于山，V的选取原则： (1)v要容易求得（通常要用凑微分法求得），且由w求v时，一般 不加积分常数C; (2)Jvdu要比Judw容易积出. 9 4.3分部积分法
经济数学 2. 分部积分公式 4.3 分部积分法 根据分部积分公式，关于 u, v 的选取原则： uv dx uv u vdx, 或 = − udv= uv − vdu (1) v 要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由 dv 求 v 时，一般 不加积分常数C ； (2) vdu 要比 udv 容易积出．
经济数学 会浙江商常碱常拉将院 3.分部积分公式应用 例1 求不定积分 xexdx ●● 思考： 解： 令u=x,ed=d(e) (1)[x"e"dx 则xed=∫xde) (2)∫x2 sin xd =xe-∫e'dr =xe-ex+C 9 二4.3分部积分法
解： 经济数学 3. 分部积分公式应用 4.3 分部积分法 令 u = x, e dx d e dv x x = ( ) = = x e − e dx x x xe dx 则 x = ( ) x x d e x e e C x x = − + 例1 xe dx 求不定积分 x 2 (1) x x e dx 2 (2) sin x xdx 思考:
经济数学 令浙江商术械掌挂称摩院 3.分部积分公式应用 例2 求下列不定积分 (1)xe'dx (2)[x'sin xdx 解：(1)令u=x2,e'=de)=d 则∫x2e'dk=∫x2d(e*)=x'e-∫e'dx2) =x2e'-2[xe'dx=(x2-2x+2)e"+C (2)u=x2,sin xdx=-d(cosx)=-dv 则x2snxd=-∫xd(cosx) =-(x2cosx-2∫xcosxd) =-x2cosx+2xsin x+2cosx+C 9 二4.3分部积分法
解： 经济数学 3. 分部积分公式应用 4.3 分部积分法 (2)令 , 2 u = x sin xdx = −d(cos x) = −dv cos 2 cos ) = x x − x xdx －（ ２ = − (cos ) 2 x d x = −x cos x + 2xsin x + 2cos x +C 2 例2 求下列不定积分 x e dx 2 x (1) (2) x sin xdx 2 e dx d e dv x x = ( ) = = − ( ) 2 2 x e e d x x x x e dx 则 2 x = ( ) 2 x x d e x x e C x = − + + 2 3 ( 2 2) = x e − x e dx x x 2 2 令 , 2 （1） u = x x sin xdx 则 2
经济数学 令浙江方常械掌挂神摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 3.分部积分公式应用 常见类型（一） P(x). (a≠0) 其中 Pn (x)=do+ax+azx+..+anx" 如 ∫xed=Jxd(c)) dv (xear+e-「ear+cdx) 这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内. 9 4.3分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用 4.3 分部积分法 + x e dx ax c u dv + = ( ) 1 ax c x d e a + + = ( − ) 1 x e e dx a ax c ax c P x e dx ax c n + ( ) (a 0) n n n p x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 其中 ( ) 如 这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内. 常见类型（一）
经济数学 会浙江商常碱常拉将院 3.分部积分公式应用 常见类型（二） P (x)sin axdx 或 P,(x)cosaxd (a≠0) 其中 pn(x)=a0+ax+a2x2+…+anx” 这种类型通常是将三角函数先凑入微分号内. 9 一4.3分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用 4.3 分部积分法 常见类型（二） P x axdx n ( )sin 或 P x axdx n ( ) cos (a 0) x cos axdx u dv = (sin ) 1 x d ax a n n n p x = a + a x + a x ++ a x 2 0 1 2 其中 ( ) 如 这种类型通常是将三角函数先凑入微分号内
经济数学 会浙江商术碱津接病修院 3.分部积分公式应用 训练题一 求下列不定积分 (1)xsin 2xdx = 1 xd(cos2x) (xcos2x- cos2xdx) =-x cos 2x+-sin 2x+C 4 (2)x2e*dk=-「x2de) =-(x2e-2∫xedx) =-(x2+2x+2)e+C 9] 二4.3分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用 4.3 分部积分法 (1) x sin 2xdx − x e dx 2 x (2) = − x x + sin 2x +C 4 1 cos 2 2 1 x x e C x = − + + + − ( 2 2) 2 训练题一 求下列不定积分 = − (cos 2 ) 2 1 x d x = − ( cos 2 − cos 2 ) 2 1 x x xdx − = − ( ) 2 x x d e − − = −( − 2 ) 2 x e x e dx x x