经济数学 交浙江商常战掌拉将膨院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege 01 Commerco 第5章小结、习题课 一、基本概念 二、综合举例 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 第5章 小结、习题课 一 、 基本概念 二、综合举例
经济数学 浙江商常識基核粥凿 一、基本概念 定积分 变上限积分函数 牛顿一莱布尼兹公式 广义积分 元法 分部积分法 换元积分法 无穷限广义积分 无界函数广义积分 定积分的应用 凑微分 式代换 三角代换 几何上的应用 经济上的应用 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 一、基本概念 定积分 变上限积分函数 牛顿－莱布尼兹公式 广义积分 微元法 分部积分法 换元积分法 无穷限广义积分 无界函数广义积分 定积分的应用 凑微分 根式代换 三角代换 几何上的应用 经济上的应用
经济数学 令浙江商常碱术拉期摩院 二、综合举例 1.比较定积分大小 例32 比较定积分∫。xdk与∫inl+x)dk的大小. 解：因为当0≤x≤1时，x>n(1+),所以 ∫。xk>∫。n1+x)d 注：令f到=xh0+动，则/=1中 当x>0时，"(x)>0,所以f(x)单调增加. f(x)>f(0)=0,即x>ln(1+x) 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 1．比较定积分大小 解： 例32 比较定积分 与 的大小． 1 0 ln(1 ) + x dx 1 0 xdx 因为当 时， ，所以 注：令 ，则 ， 当 时， ，所以 单调增加． ，即 . x 0 0 1 x x x + ln(1 ) 1 1 0 0 xdx x dx + ln(1 ) f x f ( ) (0) 0 = f x( ) 1 ( ) 1 1 1 x f x x x = − = + + f x ( ) 0 f x x x ( ) ln(1 ) = − +x x + ln(1 )
经济数学 令浙江方常械掌挂神摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 二、综合举例 2.变上限积分函数求导 例33 已知G(x)=∫edk,求G'(x): 解： G-)-)+ds -fa-y =-e*+2xex 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 解： 2．变上限积分函数求导 例33 已知 ，求 G x ( )． 2 ( ) x t x G x e dx = ( ) 2 2 2 0 0 ( ) x x t t x x e dx e dx e e x = − + = − + ( ) 2 2 0 0 ( ) x x t t t x x G x e dx e dx e dx = = + 2 2 x x = − + e xe
经济数学 令浙江商常城掌挂科摩院 二、综合举例 3.利用牛顿一莱布尼茨公式计算定积分 例34 计算2+压=D· 解： +-山=2压-+-lh --左a -f-x+2x2-nf-106-l-n2 3 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 3．利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分 解： 3 1 2 2 2 1 2 10 2 11 ( 2 ln ) ln 2 3 3 x x x x − = − + − = − 2 1 1 1 ( 1 ) x dx x x = − + − 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x dx dx x x + − − + − = 例34 计算 ． 2 1 ( 1)( 1) x x dx x + −
经济数学 令浙江方术械掌拉期摩院 二、综合举例 4.换元积分法 例35 计第心中 解： 心=子=0-a =a-iee+=6-e+啡 =1-ln(e+1)+ln2 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 4．换元积分法 解： 例35 计算 ． 1 0 1 1 x dx e + 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 ( 1) ln( 1) 1 x x x dx d e x e e = − + = − + + 1 1 1 0 0 0 1 1 (1 ) 1 1 1 x x x x x x e e e dx dx dx e e e + − = = − + + + = − + + 1 ln( 1) ln 2 e
经济数学 交浙江商常械掌拉期摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 二、综合举例 4.换元积分法 例36 解：令1=√-x,则x=1-,=-21dh 且当x=3/4时，t=1/2,当x=1时t=0。所以 =,(22牛 =20+六h=+h--n2 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 4．换元积分法 解： 例36 计算 ． 1 3 4 1 1 1 dx − − x 令 ,则 , 且当 x = 3/ 4 时， ,当 时 。所以 2 t x = −1 x t = −1 dx tdt = −2 x =1 t = 0 1 1 0 2 1 0 0 2 1 1 1 1 ( 2 ) 2 1 1 1 1 t dx t dt dt x t t − + = − = − − − − t =1/ 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 (1 ) [ ln 1] ln 2 1 2 dt t t t = + = + − = − −
经济数学 令浙江商常城掌挂科摩院 二、综合举例 5.分部积分法 例37 计算∫，0-sin2d. 解： )sin2xd---dcos2x c2co2-) -1--cos2xcx=1--Isi 4 44sn2x月=1-产 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 5．分部积分法 解： 2 2 0 0 1 1 1 cos 2 1 sin 2 1 4 2 4 4 4 xdx x = − − = − − = − 2 2 0 0 1 1 (1 )cos 2 cos 2 (1 ) 2 2 x x xd x = − − + − 2 2 0 0 1 (1 )sin 2 (1 ) cos 2 2 x xdx x d x − = − − 例37 计算 2 ． 0 (1 )sin 2 x xdx −
经济数学 会浙江商常碱津拉期摩院 二、综合举例 5.广义积分的计算和判敛 例38 计算广义积分erd· 解： "xedsfed-) =m)月 9 二第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 5．广义积分的计算和判敛 解： 2 2 0 1 1 1 1 lim ( ) 2 2 2 2 x x x e e − + − →+ = − = − − = − 2 2 2 0 0 1 ( ) 2 x x xe dx e d x + + − − = − − 例38 计算广义积分 ． 2 0 x xe dx + −
经济数学 名交浙江方常碱常拉将膨院 ZheJlang Vecational Cotlege 0f commorco 二、综合举例 6.定积分的应用 例39 求由曲线y=1,直线y=x及x=2所围成图形的面积. 解：作出图形（如图所示）·选择x作为积分 变量，积分区间为1,21，所求图形的面积为 X=2 A=(x- -)d=( -ln2 2x-1nx水=2 9 第5章定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 二、综合举例 6．定积分的应用 解： 例39 求由曲线 , 直线 y x = 及 所围成图形的面积． 1 y x = x = 2 作出图形（如图所示）．选择x作为积分 变量，积分区间为 [1, 2] ，所求图形的面积为 2 2 2 1 1 1 1 3 ( ) ( ln ) ln 2 2 2 A x dx x x x = − = − = −