经济数学 浙江商業碱素核粥，墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorce 10.3 数学期望与方差 引例 均值方差模型 均值-方差模型(Mean-Variance Model)投资者将一笔给定的资金 在一定时期进行投资。在期初，他购买一些证券，然后在期末卖出。 那么在期初他要决定购买哪些证券以及资金在这些证券上如何分配， 也就是说投资者需要在期初从所有可能的证券组合中选择一个最优的 组合。这时投资者的决策目标有两个：尽可能高的收益率和尽可能低 的不确定性风险。最好的目标应是使这两个相互制约的目标达到最佳 平衡。由此建立起来的投资模型即为均值方差模型。 证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即 预期收益与风险。那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡 这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。正是在 这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 10.3 数学期望与方差 引例 均值-方差模型 均值-方差模型(Mean-Variance Model)投资者将一笔给定的资金 在一定时期进行投资。在期初，他购买一些证券，然后在期末卖出。 那么在期初他要决定购买哪些证券以及资金在这些证券上如何分配， 也就是说投资者需要在期初从所有可能的证券组合中选择一个最优的 组合。这时投资者的决策目标有两个：尽可能高的收益率和尽可能低 的不确定性风险。最好的目标应是使这两个相互制约的目标达到最佳 平衡。 由此建立起来的投资模型即为均值-方差模型。 证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即 预期收益与风险。 那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡 这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。正是在 这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生
经济数学 浙江商業碱革核粥唐院 10.3 数学期望与方差 引例 该理论依据以下几个假设： 1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内 的证券收益的概率分布。 2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。 3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。 4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在 定的收益水平上，投资者希望风险最小。 根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算 方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值一方差模型。其经 济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式模型可确定 投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配）， 使其总投资风险最小。不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这 就构成了最小方差集合。 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 引例 该理论依据以下几个假设： 1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内 的证券收益的概率分布。 2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。 3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。 4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在 一定的收益水平上，投资者希望风险最小。 根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算 方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型。其经 济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式模型可确定 投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配）， 使其总投资风险最小。不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这 就构成了最小方差集合。 10.3 数学期望与方差
经济数学 浙江商常碱掌桂粥膨院 10.3.1数学期望 一、引例 有甲、乙两名射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手 乙射手 击中环数 8 9 10 击中环数 8 10 概率 0.30.10.6 概率 0.20.50.3 试问哪一个射手本领高？ 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 10.3.1 数学期望 有甲、乙两名射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手 乙射手 击中环数 8 9 10 概率 0．2 0．5 0．3 试问哪一个射手本领高？ 击中环数 8 9 10 概率 0．3 0．1 0．6 一、引例
经济数学 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 10.3.1数学期望 一、引例 分析：这个问题不是一眼就看得出的。这说明分布列虽完整地描 述了随机变量，但却不够集中地反映随机变量某一方面的特征。 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 一、引例 分析：这个问题不是一眼就看得出的。这说明分布列虽完整地描 述了随机变量，但却不够集中地反映随机变量某一方面的特征。 10.3.1 数学期望
经济数学 令浙江商常城掌挂科摩院 10.3.1数学期望 一、引例 解： 现令甲、乙两射手各射N枪，则他们打中的环数大约是 甲： 8×0.3N+9×0.1W+10×0.6W=9.3W 乙： 8×0.2N+9×0.5N+10x0.3N=9.1W 平均地讲，甲平均每枪射中9.3环，乙射中9.1环。因此甲射手的 本领要高一些。 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 解： 一、引例 现令甲、乙两射手各射N枪，则他们打中的环数大约是 甲： 乙： 平均地讲，甲平均每枪射中9.3环，乙射中9.1环。因此甲射手的 本领要高一些。 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3 + + = N N N N 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1 + + = N N N N 10.3.1 数学期望
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 10.3.1数学期望 二、概念 定义3.10 设X为离散型随机变量，X的分布列为 PX==A,G=12,则路上A为 k= 为随机变量X的数学期望或均值，记为 E(X)=∑xP k=1 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 二、概念 定义3.10 X X X 设 为离散型随机变量， 的分布列为 ， ，则称 为随机变量 的数学期望或均值，记为 1 ( ) . k k k E X x p = = 1 k k ki x p = P X x p { } = = k k ( 1, 2, ) k = 为 10.3.1 数学期望
经济数学 浙江有常赋掌拉将唐院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 10.3.1数学期望 二、概念 设X为连续型随机变量，X的概率密度为∫(x), xk=m」x a-→-0Ja b-→+0 为随机变量X的数学期望或均值，同样记作E(X)。 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 二、概念 ， 。 设 X 为连续型随机变量， X 的概率密度为 f (x) 为随机变量 X 的数学期望或均值，同样记作 E(X ) ( ) lim ( ) b a a b xf x dx xf x dx + − →− →+ = 10.3.1 数学期望
经济数学 浙江商高常赋幸挂锵膨院 10.3.1数学期望 三、举例 例1 设离散型随机变量飞的分布列为 5 -1 0 1 2 Pk 0.2 0.10.30.4 求： E5。 解： EE=-1×0.2+0×0.1+1×0.3+2×0.4=0.9 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 三、举例 例1 设离散型随机变量 k p 的分布列为 －１ ０ １ ２ 0.2 0.1 0.3 0.4 求： E 。 解： E = − + + + = 1 0.2 0 0.1 1 0.3 2 0.4 0.9 10.3.1 数学期望
经济数学 金浙江商紫碱事拉協摩院 10.3.1数学期望 三、举例 例2 求 [☑，b]上均匀分布的随机变量的数学 期望 E(X)。 解： a≤x≤b X~U(a,b),其密度函数为f(x)={b-a 0 其它 于是UX0=达=62。 a+b b-a 2 2 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 三、举例 例２ a,b E(X ) 求 上均匀分布的随机变量的数学 期望 。 解： X ~ U(a,b) ，其密度函数为 于是 1 ( ) 0 a x b f x b a = − 其它 2 ( ) ( ) 2 2 b b a a x l x a b E X xf x dx dx b a b a + − + = = = = − − 10.3.1 数学期望
经济数学 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 10.3.1数学期望 三、举例 例3 已知随机变量X的概率密度为 +b0≤x≤1 f(x)= 旦X2,求和b 0 其它 解： 由概率密度函数的性质可知 ∫f达=(+b=1即 二k+b=1 10.3随机变量的数字特征
经济数学 10.3 随机变量的数字特征 三、举例 例３ 已知随机变量 X 的概率密度为 12 7 且 E(X ) = ， 求 和 。 0 1 ( ) 0 kx b x f x + = 其它 k b 解： 由概率密度函数的性质可知 即 1 0 f x dx kx b dx ( ) ( ) 1 + − = + = 1 2 0 1 2 2 kx k + = + = bx b 10.3.1 数学期望