经济数学 浙江商常赋羊挂锵影院 第1章 函数·极限·连续 @1.1 函数 ®1.2 极限的概念 ®1.3 极限的运算 ®1.4 函数的连续性 目录
经济数学 目录 第1章 函数·极限·连续 1.1 函数 1.4 函数的连续性 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算
经济数学 爱浙江方常碱津拉唐院 1,4函数的连续性 1.4.1 函数的连续性 ◆1.4.2 函数的间断点及连续区间 ◆1.4.3初等函数的连续性 →1.4.4闭区间上连续函数的性质 9 主要内容
经济数学 主要内容 1.4.3 初等函数的连续性 1.4.2 函数的间断点及连续区间 1.4.1 函数的连续性 1.4.4 闭区间上连续函数的性质
经济数学 浙江商菜碱素核的墨院 nal C 1.4 函数的连续性 1.4.1连续的概念 =(x 1.函数的改变量 山定义 定义110 设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，当自变量 由x变到x,称差x-x为自变量x在x,处的改变量或增 量，通常用△x表示，即 △x=X-xo 相应地，函数值由fx)变到f(x),称差f()二f(为 函数在x。处的改变量或增量，记作△y,即 △y=f(x)-f(x) 9 1.1 函数
经济数学 1.1 函数 (1) 定义 1.4.1 连续的概念 1.函数的改变量 定义1·10 设函数 在 的某邻域内有定义，当自变量 由 变到 ，称差 为自变量 在 处的改变量或增 量，通常用 表示，即 y = f (x) 0 x x 0 x x 0 x x − 0 x x x 0 = − x x x 0 = − y f x f x ( ) ( ) ( ) 0 f x f x( ) 0 x y 0 相应地，函数值由 变到 ，称差 f x f x ( ) ( ) − 为 函数在 处的改变量或增量，记作 ，即 x 0 x y y = f (x) x y o
经济数学 浙江商常碱津核粥膨院 1.4.1连续的概念 1.函数的改变量 (2)举例 例1 设函数f(x)=2x2-3,求下列自变量与函数的改变量。 (1)自变量由2变到2.01；（2)自变量由2变到1.99； 解： (1)x=2.01-2=0.01 △y=f(2.01)-f(2)=(2×2.012-3)-(2×22-3)=0.0802 (2)△x=1.99-2=-0.01 △y=f1.99)-f(2)=(2×1.992-3)-(2×22-3)=-0.0798 改变量可正可负，也可能为零 9 1.1函数
经济数学 1.1 函数 (2) 举例 1.4.1 连续的概念 1.函数的改变量 例1 设函数 f x x ( ) 2 3 = − 2 ，求下列自变量与函数的改变量。 （1）自变量由2变到2．01 ；（2）自变量由2变到1．99 ； 解：（1） = − = x 2.01 2 0.01 2 2 = − = − − − = y f f (2.01) (2) (2 2.01 3) (2 2 3) 0.0802 （2） = − = − x 1.99 2 0.01 2 2 = − = − − − = − y f f (1.99) (2) (2 1.99 3) (2 2 3) 0.0798 改变量可正可负,也可能为零
经济数学 金浙江商紫碱事拉協摩院 1.4.1连续的概念 2.连续的定义 用什么式子描述？ (1)定义 观察下列函数图形，分析它们有何特征？ y=f(x) y=) 结论：左图在x=x处是连续的，右图在x=x处是间断的。 9 1.1函数
经济数学 1.1 函数 (1) 定义 1.4.1 连续的概念 2.连续的定义 观察下列函数图形，分析它们有何特征？ x 0 x y y = f (x) x y o O 0 x x y y = f (x) y x 结论：左图在 x = x0 处是连续的，右图在 x x = 0 处是间断的。 用什么式子描述？ ?
经济数学 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 1.4.1连续的概念 2.连续的定义 (1)定义 y=f(x 当△x趋向于0时，△y也趋向于0. 即lm△y=0 f(x) 当△x趋向于0时，△y不趋向于0： 即 lim Av≠0 1.1 函数
经济数学 1.1 函数 (1) 定义 1.4.1 连续的概念 2.连续的定义 x 0 x y y = f (x) x y o O 0 x x y y = f (x) y x 当 趋向于0时， 也趋向于0. 即 x y lim 0 0 = → y x 当 趋向于0时， 不趋向于0. 即 0 lim 0 x y → x y
经济数学 浙江商常碱素核榭墨院 1.4.1连续的概念 2.连续的定义 山定义 定义11 设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，在点x处给一个增 量△x,相应的函数的增量为△y,如果Iim△y=0,则称函数y=f(x) 在点x,处连续，x,称为函数y=f(x)的连续点。否则，称函数y=f(x) 在xo处间断，X,称为函数y=f(x)的间断点。 im△y=0 Iim[f(x+△x)-f(x】=0 limf(x+△x)=f(x) Ar->0 1.1函数
经济数学 1.1 函数 (1) 定义 1.4.1 连续的概念 2.连续的定义 定义1·1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，在点 处给一个增 量 ，相应的函数的增量为 ，如果 ，则称函数 在点 处连续， 称为函数 的连续点。否则，称函数 在 处间断， 称为函数 的间断点。 0 y = f (x) x 0 lim 0 x y → = 0 x x y y = f (x) 0 x y = f (x) 0 x 0 x 0 x y = f (x) y = f (x) 0 lim 0 x y → = 0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x → + − = 0 0 0 lim ( ) ( ) x f x x f x → + =
经济数学 众浙江商常碱事挂锵馨院 1.4.1连续的概念 2.连续的定义 )定义 等价定义] 设函数y=f(x)在点x,的某个邻域内有定义，如果limf(x)=f(x) 则称函数y=f(x)在点x。处连续。否则，称函数y=f(x)在x处间断。 函数f(x)在点x,处连续必须满足下面三个条件： >函数f(x)在点x处有定义，即f(x有意义； >函数f(x)在点x处有极限，即1imfx存在； >函数f(x)在点x处的极限值与函数值相等，即limf(x)=f(x) 1.1函数
经济数学 1.1 函数 (1) 定义 1.4.1 连续的概念 2.连续的定义 等价定义 函数 f (x) 在点 x0 处连续必须满足下面三个条件： ➢函数 f (x) 在点 x0 处有定义，即 f x( )0 有意义 ； ➢函数 f (x) 在点 x0 处有极限，即 存在 ； 0 lim ( ) x x f x → ➢函数 f (x) 在点 x0 处的极限值与函数值相等，即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果 则称函数 在点 处连续。否则，称函数 在 处间断。 0 y = f (x) x 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = y = f (x) 0 x 0 y = f (x) x
经济数学 浙江商菜碱素核的墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorce 1.4.1连续的概念 2.连续的定义 (2)举例 例2 用定义证明f(x)=2x2+3 在x=0处连续， 证法一： 给x=0处以改变量△x，则相应函数的改变量为 △y=f(0+△x)-f(0)=2△x2 因为lim△y=lim2△x2=0,所以函数在x=O处连续 △X→U △X→0 证法二： 因为1imf)=1im(2x2+3)=3=f0) r>0 所以函数在x=0处连续。 思考：能否证明上述函数在某一点x处连续？ 1.1函数
经济数学 1.1 函数 (2) 举例 1.4.1 连续的概念 2.连续的定义 例2 用定义证明 f x x ( ) 2 3 = +2 在 x = 0 处连续． 证法一： 2 = + − = y f x f x (0 ) (0) 2 给 x = 0 处以改变量 x ，则相应函数的改变量为 证法二： 2 0 0 lim ( ) lim(2 3) 3 (0) x x f x x f → → = + = = 所以函数在 x = 0 处连续。 2 0 0 lim lim 2 0 x x y x → → 因为 = = ，所以函数在 x = 0 处连续 因为 思考：能否证明上述函数在某一点 x0 处连续？
经济数学 浙江商常碱革核粥影院 1.4.1连续的概念 2.连续的定义 (2)举例 smnx ,x≠0 例3 讨论函数f(x)= 在x=0处连续。 x=0 解： 因为f(0)=1,又 )-lim sin1 即1imf(x)=f(0),所以函数在x=0处连续。 x->0 1.1函数
经济数学 1.1 函数 (2) 举例 1.4.1 连续的概念 2.连续的定义 例3 讨论函数 在 x = 0 处连续． = = 1 0 0 sin ( ) ， x ， x x x f x 解： 因为 f (0) 1 = ，又 0 0 sin lim ( ) lim 1 x x x f x → → x = = 即 ，所以函数在 x = 0 处连续。 0 lim ( ) (0) x f x f → =