经济数学 令浙江方常械掌挂将摩院 8.3.1偏导数的概念 偏导数的定义 定义1 设函数2=f(x,)在B(x,)的某个邻域有定义，当y 固定在y,而X有增量△x时，相应地，函数有偏增量 f(x+△x,)-f(xo,%) 如果极限 lim f(x+△x,y)-f(x,o) Ar->0 △x 存在，称此极限为函数z=f(x,y)在点B,(x)对x的偏导数，记 作02 ， 8x 9 3.2高阶偏导数
经济数学 定义1 8.3.1 偏导数的概念 偏导数的定义 3.2高阶偏导数 存在，称此极限为函数 在点 对 的偏导数，记 作 ， ， 设函数 在 的某个邻域有定义,当 固定在 而 有增量 时，相应地，函数有偏增量 z f x y = ( , ) x x x y 0 0 0 P x y ( , ) 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , ) + − 0 y 如果极限 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y → x + − z f x y = ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) z x x z x f
经济数学 会浙江商术碱津接病修院 8.3.1偏导数的概念 偏导数的定义 定义1 类似的，如果极限 lim f(xo,y+△y)-f(x,） Ay→0 △y 存在，称此极限为函数=f(x,y)在点B,(x)对y的偏导数，记 作0z f) ay 9] 3.2高阶偏导数
经济数学 定义1 8.3.1 偏导数的概念 偏导数的定义 3.2高阶偏导数 z y 存在，称此极限为函数 在点 对 的偏导数，记 作 ， ， y 类似的，如果极限 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y f x y y f x y → y + − z f x y = ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) y z y f
经济数学 以浙江商業械業核粥墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 训练题一： 1.求z=x3+y3+3x2y2的二阶偏导数， (答案： =3x2+6y, Ox 2=3y2+6x2y) Cy 2.求z=e+lny+x2cosy的二阶偏导数. (答案 _=e*+2xcos y, =-x2 sin y 9 3.2高阶偏导数
经济数学 训练题一： 3.2 高阶偏导数 1. 求 z x y x y = + + 3 3 2 2 3 的二阶偏导数． (答案： ) 2 2 2 2 3 6 , 3 6 z z x xy y x y x y = + = + 2. 求 的二阶偏导数． 2 ln cos x z e y x y = + + (答案： ) 1 2 2 cos , sin z z x e x y x y x y y = + = −
经济数学 浙江商茶碱素核事院 8.3.2高阶偏导数 高阶偏导数的定义 定义2 一般说来，函数2=(x,y)的偏导数 正=fx,% -=f(x,y) 8 仍然是x,y的函数，如果这两个偏导函数关于x,y的偏 导数也存在，则称它们的偏导数是的二阶偏导数，记作 9 3.2高阶偏导数
经济数学 定义2 8.3.2 高阶偏导数 高阶偏导数的定义 3.2高阶偏导数 一般说来，函数 z f x y = ( , ) 的偏导数 ( , ), ( , ) x y z z f x y f x y x y = = 仍然是 的函数，如果这两个偏导函数关于 的偏 导数也存在，则称它们的偏导数是的二阶偏导数，记作 x y, x y
经济数学 爱浙江商常碱津拉纳摩院 ZheJlang Vocational College of Commerce 8.3.2高阶偏导数 高阶偏导数的定义 定义2 2=0购)=w=0 axdy ay ox :=0的)==f ayax ax ay 82 ()=知=f 8228 Ox2Ox Ox y ()==0 其中称如，x为二阶混合偏导数、 类似地，可以定义三阶、四阶、、阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导 数称为高阶偏导数，而称，为z=f(x,y)函数的一阶偏导数. 说明：实际上二阶偏导数就是一阶偏导数的导数 9 3.2高阶偏导数
经济数学 定义2 8.3.2 高阶偏导数 高阶偏导数的定义 3.2高阶偏导数 2 2 ( ) xx xx z z z f x x x = = = 2 ( ) xy xy z z z f x y y x = = = 2 ( ) yx yx z z z f y x x y = = = 2 2 ( ) yy yy z z z f y y y = = = 其中称 为二阶混合偏导数． 类似地，可以定义三阶、四阶、…、阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导 数称为高阶偏导数，而称 为 函数的一阶偏导数． 说明：实际上二阶偏导数就是一阶偏导数的导数 , xy yx z z , x y z z z f x y = ( , )
经济数学 浙江商業碱素核粥，墨院 ZheJiang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 训练题二： 1.求z=x2+2y3-x3y2的二阶偏导数， (答案： =2-6,00 8 axoy ayax s6r202 02 =12y-2x3) 说明：可以证明，当混合偏导数2与2连续时，它们必 axoy Oyox 相等，计算是可以合并同类项. 2.已知z=x2siny,求222za2z ex2'axoy'oy (答案： 0 =-x2sin y ar? =2sin y, =2xcos y, OxOV 9 3.2高阶偏导数
经济数学 训练题二： 3.2 高阶偏导数 1. 求 z x y x y = + − 2 3 3 2 2 的二阶偏导数． (答案： ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 6 , 6 , 12 2 z z z z xy x y x x x y y x y = − = = − = − 说明：可以证明，当混合偏导数 与 连续时，它们必 相等，计算是可以合并同类项． 2 z x y 2 z y x 2.已知 z x y = 2 sin ，求 2 2 2 2 2 , , . z z z x x y y (答案： ) 2 2 2 2 2 2 2sin , 2 cos , sin z z z y x y x y x x y y = = = −
经济数学 浙江商茶碱素核事院 8.3.3全微分 1.全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 (1)给出全微分的定义 定义3 如果二元函数2=f(x,y)在点(x,y)处的增量 △=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可以表示为=A△x+B△y+O(p) (1-1) 其中A、B是x、y的函数，与△x、△y无关，P=V④x)2+(④y)2,o(p) 是一个比p较高阶的无穷小，则称A△x+B△y是函数z=f(x,y)在 点(x,)处的全微分，记作d正，即正=A△x+BAy 这时，也称函数在点(x,y)处可微。 记为d正=f(x,y)d+f'(x,y)d 9 8.3偏导数与全微分
经济数学 定义3 (1) 给出全微分的定义 8.3.3 全微分 1. 全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 8．3 偏导数与全微分 如果二元函数 在点 处的增量 可以表示为 （1-1） 其中A、B是 、 的函数，与 、 无关， ， 是一个比 较高阶的无穷小，则称 是函数 在 点 处的全微分，记作 ，即 这时，也称函数在点 处可微． 记为 z f x y = ( , ) ( , ) x y = + + − z f x x y y f x y ( , ) ( , ) = + + z A x B y o( ) x y x 2 2 = + ( ) ( ) x y o( ) A x B y + z f x y = ( , ) ( , ) x y dz dz A x B y = + ( , ) x y ( , ) ( , ) x y dz f x y dx f x y dy = + y
经济数学 众浙江商常械素挂锵膨院 8.3.3全微分 1.全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 (1)给出全微分的定义 说明： (1)如果函数z=f(x,y)在(x,y)处可微， 则4=∫(x,)B=(x,)因此，求全微分实际就可转换成 求偏导数. (2)在一元函数中，可导与可微是等价的：但在二元函数中，这 个结论未必成立，即∫(x,)f(x,y)都存在，也不能保证函数 在点(xy)处可微.但可以证明：如果函数：=fx,)在点(x,) 的某一邻域内有连续的偏导数f(x,y)f(x,y),则fx,)在 点(x,y)处可微. 9 二8.3偏导数与全微分
经济数学 说明： (1) 给出全微分的定义 8.3.3 全微分 1. 全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 8．3 偏导数与全微分 （1）如果函数 在 处可微, 则 , ．因此，求全微分实际就可转换成 求偏导数． （2）在一元函数中，可导与可微是等价的；但在二元函数中，这 个结论未必成立，即 、 都存在，也不能保证函数 在点（ ，）处可微．但可以证明：如果函数 在点 的某一邻域内有连续的偏导数 、 ，则 在 点 处可微． z f x y = ( , ) ( , ) x y ( , ) y f x y ( , ) A f x y x = ( , ) x f x y ( , ) B f x y y = y z f x y = ( , ) ( , ) x y ( , ) x f x y ( , ) y f x y ( , ) x y f x y ( , ) x
经济数学 交浙江商常战掌拉将膨院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 8.3.3全微分 1.全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 (3)全微分在近似计算中的应用 由全微分的定义可知，如果函数z=f(x,y)在点(x,)可微，则当自 变量的增量△和△y很小时，有下述近似计算公式 △z≈d=f(x,y)△x+f'(x,y)△y 或 f(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+f(x,y)△x+f'(x,y)△y 9 8.3偏导数与全微分
经济数学 (3) 全微分在近似计算中的应用 8.3.3 全微分 1. 全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 8．3 偏导数与全微分 由全微分的定义可知，如果函数 在点 可微，则当自 变量的增量 和 很小时，有下述近似计算公式 或 z f x y = ( , ) ( , ) x y x y ( , ) ( , ) x y = + z dz f x y x f x y y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y + + + +
经济数学 ☆浙江商常碱素核锵业院 8.3.3全微分 1.全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 (2)练习巩固 课堂练习： 1.求函数z=x2+y-sin2y的全微分. (答案：d=2xd+(1-2cos2y)dy） 2.求函数z=e+y的全微分. (答案：db=e+yd+2yve+yddy.) 9 8.3偏导数与全微分
经济数学 (2) 练习巩固 8.3.3 全微分 1. 全微分的概念、运算及在近似计算中的应用 8．3 偏导数与全微分 2. 求函数 的全微分． 2 x y z e + = （答案： ．） 2 2 2 x y x y dz e dx ye dy + + = + 课堂练习 ： 1. 求函数 z x y y = + − 2 sin 2 的全微分． （答案： dz xdx y dy = + − 2 (1 2cos 2 ) ．）