经济数学 令浙江商米碱津拉的修吃 2.2导数的基本公式与运算法则 2.2.1导数的基本公式 1.复习提问 。什么叫导数？它可以用哪一个极限式子说明？ ●根据导数的定义求函数的导数有哪几步？ 导函数与函数在某点导数之间有什么关系？ 可导与连续的关系是什么？ 2.2导数的基本公式与运算法则
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 ⚫ 什么叫导数？它可以用哪一个极限式子说明？ ⚫ 根据导数的定义求函数的导数有哪几步？ ⚫ 导函数与函数在某点导数之间有什么关系？ ⚫ 可导与连续的关系是什么？ ? 2.2.1 导数的基本公式 1.复习提问
经济数学 爱浙江商常碱津拉纳摩院 2.2.1导数的基本公式 2.基本导数公式 C=0（C为任意常数) (cot.x)'=- 1 (x“y=xa-1(a为实数) sin?x=-cse2x (a)'=a*na(a>0,a≠1) (secx)=secxtanx 特别：(e)'=e (cscx)=-cscxcotx (log,)'=-1 -(a>0,a≠1) xIna 1 +(arcsinx)'= 特别：血y=1 1-x2 (arccosx)=- (sinx)=cosx W1-x2 (cosx)'=-sinx (arctan.x)=1 (tan.x)'=1 1+x2 cost=secx (arccotx)=- 1 1+k2 9 2.2 导数的基本公式与运算法则
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 2.2.1 导数的基本公式 2.基本导数公式 C = 0 （ C 为任意常数) (a ) = a lna (a 0,a 1) x x ( 0, 1) ln 1 (log ) = a a x a a x 1 ( ) − = x x ( 为实数） x x 特别： (e ) = e x x 1 特别： (ln ) = (sin x) = cos x (cos x) = −sin x x x x 2 2 sec cos 1 (tan ) = = x x x 2 2 csc sin 1 (cot ) = − = − (secx) = secx tan x (csc x) = −csc x cot x 2 1 1 (arcsin ) x x − = 2 1 1 (arccos ) x x − = − 2 1 1 (arctan ) x x + = 2 1 1 ( cot ) x arc x + = − + + + +
经济数学 众浙江方菜赋掌拉锵摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 2.2.1导数的基本公式 3.课堂练习 在下列空格处填上适当的函数使等式成立： 1)(e2y=0 2)x'=1 1 3)(x2y=2x 4)(Wx)'=2 1 5)(sin=o 6)(y= -是 8)(3x)'=3n3 2.2导数的基本公式与运算法则 9
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 在下列空格处填上适当的函数使等式成立： 0 2 x 1 0 2 1 x − 3 2 x − 3 ln 3 x 1 ( x ) = ____ ( ) ____ 2 1） e = 4） ) ____ 3 (sin = 5） ) ____ 1 ( = x 6） ) ____ 1 ( 2 = x 7） (3 ) = ____ x 8） 2） x = ____ 3） ( ) ___ 2 x = 2x 2.2.1 导数的基本公式 3.课堂练习
经济数学 浙丛有候建推的居院 2.2.2导数的四则运算法则 定理2·2 设函数u=(x)与v=v(x)在x点处可导，则它们的和 （差)函数(x)士v(x)在X处也可导，即： [u(x)±v(x)=t'(x)±v'(x) 也就是说：两个可导函数代数和的导数等于各个函数导数 的代数和。 推论 有限个可导函数代数和的导数等于各个函数导数的代数，即 [4(x)±42(x)±…±un(x)=4(x)±(x)±…±n(x) 9 2.2 导数的基本公式与运算法则
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 定理2·2 u = u(x) v = v( x) u(x) v(x) x [u(x) v(x)] = u (x) v (x) 设函数 与 在 点处可导，则它们的和 （差）函数 在 处也可导，即： 也就是说：两个可导函数代数和的导数等于各个函数导数 的代数和。 x 2.2.2 导数的四则运算法则 有限个可导函数代数和的导数等于各个函数导数的代数，即 推论 [u (x) u (x) u (x)] 1 2 n ( ) ( ) ( ) = u1 x u 2 x u n x
经济数学 浙江商常碱津拉降院 2.2.2导数的四则运算法则 例1 已知f(x)=lnx+sinx,求f'()。 解：fx)=(血x+siny=uyy+((Gsinx=上+osx 例2 已知f(x)=Vx-arctanx+e,求f'(x)及f'四)。 解：f'()=(Nx-arctanx+e')y =(x)'-(arctan x)'+(e*)' 1 1 2We1+x2+e* fw-+ee 1 2 9 一2.2导数的基本公式与运算法则
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 解： f (x) = (ln x + sin x) = (ln x) + (sin x) x x cos 1 = + 解： = ( ) − (arctan ) + ( ) x x x e x e x x + + = − 2 1 1 2 1 ( − arctan + ) x f (x) = x x e 2 1 1 0 1 2 1 2 + = − + f (1) = − e e 例1 已知 f (x) = ln x + sin x ，求 f ( x) 。 x 例2 已知 f (x) = x − arctan x + e ，求 f ( x) 及 f (1) 。 2.2.2 导数的四则运算法则
经济数学 会浙江商米战津接期摩院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 2.2.2导数的四则运算法则 定理2·3 设函数u=(x)与v=(x)在x点处可导，则它们的积 函数(x)·v(x)在x处也可导，且 [u(x)v(x)J=u(x)v(x)+u(x)v'(x) 推论 1.三个可导函数积的导数等于各个函数导数的积。即： [u(x)v(x)w(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x) 2.(Cu(x)'=Ct(x)（C为常数)。 9 2.2导数的基本公式与运算法则
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 。 定理2·3 u(x) v(x) [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) u = u(x) v = v( x) x 设函数 与 在 点处可导，则它们的积 函数 在 处也可导，且 x 2.2.2 导数的四则运算法则 推论 1．三个可导函数积的导数等于各个函数导数的积。即： [u(x)v(x)w(x)] = u (x)v(x)w(x) + u(x)v (x)w(x) + u(x)v(x)w (x) 2．(Cu(x)) = Cu (x) （ C 为常数）
经济数学 浙丛有候建推的居院 2.2.2导数的四则运算法则 例3 已知y=x2nx,求y'。 解： y=(x2Inx)=(x2)'Inx+x2(Inx) =2xmx+x:1 =2xInx+x 例4 已知y=3e*-xtanx+√2，求y'。 解： y'=3(e*)'-(x)'tanx-x(tanx)'+(2)' =3e*-tanx-xsec2x 例5 已知y=xe*simx,求y'。 解： y'=(xe*sinx)'=(x)'e*sinx+x(e*)sinx+xe*(sinx)' =e*sinx+xe*sinx+xe*cosx 9 2.2导数的基本公式与运算法则
经济数学 2.2 导数的基本公式与运算法则 解： ( ln ) ( ) ln (ln ) 2 2 2 y = x x = x x + x x x x x x 1 2 ln 2 = + = 2xln x + x 解： y = 3(e ) − (x)tan x − x(tan x) + ( 2) x e x x x x 2 = 3 − tan − sec 2.2.2 导数的四则运算法则 例3 已知 y = x 2 ln x ,求 y 。 例4 已知 y = 3e x − x tan x + 2 ,求 y 。 解： = (xe sin x) x = (x) e sin x + x(e )sin x + xe (sin x) x x x e x xe x xe x x x x = sin + sin + cos y 例5 已知 y = xe x sin x ,求 y
经济数学 会浙江商术碱津接病修院 2.2.2导数的四则运算法则 定理2·4 设函数u=4(x)与v=x)在x点处可导，且(x)≠0，则 它们的商函数四在x处也可导，且 v(x) (x) u'(x)v(x)-u(x)v'(x) v(x) v2(x) 推论 1 v'(x) 函数倒数的求导公式 v(x) [v(x2 9 2.2 导数的基本公式与运算法则
经济数学 定理2·4 u = u(x) v = v( x) x 设函数 与 在 点处可导，且 ，则 它们的商函数 在 处也可导，且 x v( x) 0 ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x v x u x − = 2.2 导数的基本公式与运算法则 2.2.2 导数的四则运算法则 推论 函数倒数的求导公式 2 1 [ ( )] ( ) ] ( ) [ v x v x v x = −
经济数学 会浙江商米战津接期摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 2.2.2导数的四则运算法则 例6 已知y= Inx ,求y'。 解： 1 y'=x(lnx)-(x)'Inx x.--Inx 1-Inx x2 例7 已知y= 1+sinx ,求y。 1-sinx 解： 1+sinx y'= cosx(1-sinx)-(1+sinx)(-cosx) 1-sinx (1-sinx)2 2cosx (1-sinx)2 9 2.2导数的基本公式与运算法则
经济数学 解： − + = x x y 1 sin 1 sin 2 (1 sin ) cos (1 sin ) (1 sin )( cos ) x x x x x − − − + − = 2 (1 sin ) 2cos x x − = 2.2 导数的基本公式与运算法则 2.2.2 导数的四则运算法则 已知 ,求 y 。 x x y ln 例6 = 解： 2 x x x x x y (ln ) −( )ln = 2 2 1 1 x x x x x x ln ln − = − = 已知 ,求 y 。 x x y 1 sin 1 sin − + 例7 =
经济数学 浙丛有候建拉棉居院 2.2.2导数的四则运算法则 例8 已知y=tanx,求y'。 解： sinx (sinx)'cosx-sinx(cosx)' y'= cosx cosx cosxcosx+sinxsinx 1 cos2x cos2x =sec2x 即 (tanx)'=- 1 =sec2x os2x 9 一2.2导数的基本公式与运算法则
经济数学 解： x x x x x x x y 2 cos (sin ) cos sin (cos ) cos sin − = = x x x x x x x 2 2 2 sec cos 1 cos cos cos sin sin = = + = 即 x x x 2 2 sec cos 1 (tan ) = = 2.2 导数的基本公式与运算法则 2.2.2 导数的四则运算法则 例8 已知 y = tan x ,求 y