经济数学 会浙江有常碱津拉的摩院 9.2行列式的计算与性质 9.2.1行列式的计算 定理91 (拉普拉斯展开定理)行列式中任一行（列）的各个元 素与其代数余子式的乘积之 和等于行列式的值.即 D=a141+a2A2+…+anAn(i=1,2,…,n0 或 D=a,A+a,4,+…+anwA(j=1,2,…,n) 9 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 （拉普拉斯展开定理） 行列式 中任一行（列）的各个元 素与其代数余子式的乘积之 和等于行列式的值．即 D 1 1 2 2 ( 1, 2, , ) D a A a A a A i n = + + + = i i i i in in 或 1 1 2 2 ( 1, 2, , ) D a A a A a A j n = + + + = j j j j nj nj 定理9·1
经济数学 浙江商常碱津核粥墨院 9.2.1行列式的计算 例如 a11a2 413 D= a2a23=41141+412A2+413A3（按第-行展开) a31a32a33 =414,1+422A2+42343（按第二行展开) =a1343+a23A23+433A3 （按第三列展开) 9 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 例如 11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33 a a a D a a a a A a A a A a a a = = + + （按第一行展开） 13 13 23 23 33 33 = + + a A a A a A （按第三列展开） 21 21 22 22 23 23 = + + a A a A a A （按第二行展开）
经济数学 ☆浙江商常織掌核粥院 9.2.1行列式的计算 推论 行列式D中任一行（列）元素与另一行（列）对应 元素的代数余子式乘积之和等于零. d a12 例如 若 D= az a22 023’ a31 a32a33 则有 414,1+4242+a343=0 9 一9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 行列式 中任一行（列）元素与另一行（列）对应 元素的代数余子式乘积之和等于零． 推论 D 例如 若 ， 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a = 11 21 12 22 13 23 a A a A a A + + = 0 则有
经济数学 浙江商業碱業技粥，墨院 ZheJlang vecatlonal Cotloge o1 Commorco 9.2.1行列式的计算 -5 2 1 例6 计算行列式 D= 0 7 0 8 -3-9 解： 方法1按第一行展开： D=5m3 8-3 =-5×(-63)-2×0-1×56=259 9 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 例6 计算行列式 ． 5 2 1 0 7 0 8 3 9 D − = − − 解： 方法1 按第一行展开： 1 1 1 2 1 3 7 0 0 0 0 7 5 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 3 9 8 9 8 3 D + + + = − − + − + − − − − − = − − − − = 5 ( 63) 2 0 1 56 259
经济数学 浙江商常碱素核粥，摩院 9.2.1行列式的计算 解： 方法2按第一列展开： -5 2 0 7 0 8 -3-9外 =-5×(-63)+8×(-7) =259 9] 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 解： 方法2 按第一列展开： 1 1 3 1 5 2 1 7 0 2 1 0 7 0 5 ( 1) 8 ( 1) 3 9 7 0 8 3 9 + + − = − − + − − − − − = − − + − 5 ( 63) 8 ( 7) = 259
经济数学 令浙江商常城掌拉期摩院 9.2.1行列式的计算 解：方法3按第二行展开： -5 2 1 0 0=7x-1251 8-9 =7x(45-8)=259 8 -3 -9列 对于给定的行列式，如何展开计算方便？ 9 二9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 解： 2 2 5 2 1 5 1 0 7 0 7 ( 1) 7 (45 8) 259 8 9 8 3 9 + − − = − = − = − − − 方法3 按第二行展开： ? 对于给定的行列式，如何展开计算方便？
经济数学 浙江商業碱業核粥，墨院 ZheJlang vecatlonal Cotloge o1 Commorco 9.2.1行列式的计算 2 14 1 3 -121 例7 计算行列式 D= 1 232 06 2 解： 观察行列式，发现如果按第一行展开，则要计算四个三阶行列 式，又a2=0，如果将第二列或第四行中其他元素尽可能多的变为 零再展开，则计算可以大大简化， 9 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 例7 计算行列式 ． 2 1 4 1 3 1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 D − = 解： 观察行列式，发现如果按第一行展开，则要计算四个三阶行列 式，又 ，如果将第二列或第四行中其他元素尽可能多的变为 零再展开，则计算可以大大简化． 42 a = 0
经济数学 浙江商常織素核种，睾院 9.2.1行列式的计算 解： 12 4 1 1,+r 2 14 -121 5-2r 5 0 62 D= 1 232 -30 -60 062 5 062 5 6 2 6 2 =1×(←1) 人3 -6 0-'(-1 -3 -6 0 5 6 2 0 0 0 =0 9 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 解： 1 2 5 6 2 1 ( 1) 3 6 0 5 6 2 + = − − − 3 1 r r − 5 6 2 ( 1) 3 6 0 0 0 0 − − − 2 1 4 1 3 1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 D − = 2 1 3 1 2 r r r r + − 2 1 4 1 5 0 6 2 3 0 6 0 5 0 6 2 − − = 0
经济数学 安浙江商常碱津拉舟摩院 9.2.1行列式的计算 总结求行列式的方法： 对角线法则（二阶、三阶行列式） 直接使用展开定理 行列变换〉某行（列只有一个元素非零→展开定理 行列变换→上三角行列式（下三角行列式）→主对角线元素 的乘积 9] 一9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.1 行列式的计算 总结求行列式的方法： 对角线法则（二阶、三阶行列式） 直接使用展开定理 行列变换 → 某行(列)只有一个元素非零 → 展开定理 行列变换 上三角行列式（下三角行列式） 主对角线元素 的乘积 → →
经济数学 浙江商菜碱素核的墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorce 9.2.2克莱姆法则 含有n个未知数x,x2,…Xn的n个线性方程的方程组 ax+a22+…+anXn=b a21X+a223+…+a2mXn=b2 anx+an2x2++amx =b 非齐次线性方程组 9 9.2行列式的计算与应用
经济数学 9.2 行列式的计算与应用 9.2.2 克莱姆法则 含有 n 个未知数 x x x 1 2 , , n 的 n 个线性方程的方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 非齐次线性方程组