浙江商业职业技术学院 课件 矩阵的初等变换_经济数学第九章（6）

经济数学 众浙商候主拉的馨院 9.6矩阵的初等变换 9.6.1矩阵的初等变换 1.矩阵初等变换的概念 定义916 以下3种变换称为矩阵的初等行（列)变换. (1)互换变换：互换矩阵的两行（列）的所有元素.记法： 5→r,(C,→C) 9 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 定义9·16 以下3种变换称为矩阵的初等行（列）变换． 1. 矩阵初等变换的概念 (1)互换变换：互换矩阵的两行（列）的所有元素．记法： ( ) i j i j r r c c  

经济数学 爱浙江商常碱津拉纳摩院 9.6.1矩阵的初等变换 (2)倍乘变换：用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列） 的所有元素.记法： kr(kc) (③)消去变换：把矩阵的某一行（列）的所有元素的倍加到另 行（列）的对应元素上去.记法： i+kr;(c;+kc) 矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初 等变换。 9] 一9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 (2)倍乘变换：用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列） 的所有元素．记法： ( ) i i kr kc (3)消去变换：把矩阵的某一行（列）的所有元素的倍加到另一 行（列）的对应元素上去．记法： ( ) i j i j r kr c kc + + 矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初 等变换．

经济数学 浙江商常碱素核，墨院 ZheJlang Vecational Cotlege of commorco 9.6.1矩阵的初等变换 定义917 矩阵A经过有限次初等变换转化为矩阵B，则矩阵A与矩阵B 等价，记为A~B 定理99 任何一个矩阵，总可以经过一系列初等行变换化为与之等价的阶 梯形矩阵. 9 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 定义9·17 定理9·9 任何一个矩阵,总可以经过一系列初等行变换化为与之等价的阶 梯形矩阵． 矩阵 经过有限次初等变换转化为矩阵 ，则矩阵 与矩阵 等价，记为 ． A B A B A B ~

经济数学 会浙商掌被车挂纳心院 9.6.1矩阵的初等变换 2 -1-1 1 2 1 1-2 1 4 例21 用初等行变换将矩阵B 化为 4 -6 2 -2 4 阶梯形矩阵 3 6 -9 7 9 解： 「2 -1 -1 1 2 1 -2 1 4 5←→ 1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 B= -6 2 -2 (B) 2 -3 1 -1 2 3 6 -9 7 3 6 -9 9 B→B是把a变为1，为消第一列其它元素做准备； 9 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 例21 用初等行变换将矩阵 化 为 阶梯形矩阵 . 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 B   − −   − =     − −     − 解： 9.6.1 矩阵的初等变换 1 2 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 ( ) 4 6 2 2 4 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 3 6 9 7 9 r r r B B      − − −     − − − = ⎯⎯⎯→         − − − −         − − B B → 1 是把 a 11 变为1,为消第一列其它元素做准备；

经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 9.6.1矩阵的初等变换 解： 1 1 -2 1 4 0 2 -3 -2 2 (B2 0-5 5 -3 -6 B→B是保留a消 去下方元素： 0 3 -3 -3 「11 -21 4 B→B是把a变为 73+5 1”-3 01-11 0 (B) 1,消法下方的元 00 0 2-6 素； 00 0 1-3 9 一9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 解： 2 3 3 1 4 1 2 3 2 1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 ( ) 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3 r r r r r r B − − −   −   − ⎯⎯⎯→    − − −     − − 2 3 2 4 2 1 2 5 3 3 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ( ) 0 0 0 2 6 0 0 0 1 3 r r r r r B + −   −   − ⎯⎯⎯→    −     − 是保留 ,消 去 下方元素； 11 a 1 2 B B → 11 a 是把 变为 1,消去 下方的元 素 ； 22 a 2 3 B B → 22 a

经济数学 众浙江商常碱掌拉将膨院 ZheJlang Vecational Cotlege of commorco 9.6.1矩阵的初等变换 解： 「11-214 n1111 B→B是把变为 行最简形矩阵特点：非零行的第一个非零元为1， 方的元 且这些非零元所在的列的其它元素都为0· 阶梯形 0000 0 「10-10 R、R是保留a 行阶梯形矩阵特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度 为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元· 粑件。 0 00 00 9] 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 解： 3 4 4 3 2 4 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ( ) 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r B  −   −   − ⎯⎯⎯→    −     1 2 2 3 5 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 ( ) 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r B − −   −   − ⎯⎯⎯→    −     是把 变为 1,消去 下方的元 素 ； 为行阶梯形 矩阵. 34 a 3 4 B B → 34 a 4 B 是保留 与 ，消去其上方 元素； 为行最简形 矩阵 . 22 a 4 5 B B → 34 a 5 B 行阶梯形矩阵特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度 为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元． 行最简形矩阵特点：非零行的第一个非零元为1， 且这些非零元所在的列的其它元素都为0．

经济数学 浙江商常战掌核业院 9.6.1矩阵的初等变换 定理910 任何一个非奇异矩阵，总可以经过一系列初等行变换化为单位阵。 32 1 例22 将矩阵 A=12 2 化为单位阵。 343 解： 因为detA=-2≠0， 所以矩阵为非奇异矩阵， 9 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 任何一个非奇异矩阵,总可以经过一系列初等行变换化为单位阵． 定理9·10 例22 将矩阵 化为单位阵． 3 2 1 1 2 2 3 4 3 A     =       解： 因为 det 2 0 A= −  ，所以矩阵为非奇异矩阵．

经济数学 会浙江商术碱津接病修院 ZheJlang Vocational College of Commerce 9.6.1矩阵的初等变换 解： 「32 1 [「122 「1 2 2 g-3 A=12 2 r2→ 321 -3 0-4 -5 343 343 0-2 -3 「1 2 2 2 27 52→ 0 -2 0 13/2 0 -4 -5 0 -4 -5 [1 2 2 1 0 -17 r+5 「100 5+4 0 13/2 1-2→ 01 3/2 → 0 1 0 0 0 1 0 0 1 001 9 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 解： 2 1 1 2 3 1 3 3 3 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 1 0 4 5 3 4 3 3 4 3 0 2 3 r r r r r r A −  −             = ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − −             − −       2 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 0 2 3 0 1 3/ 2 0 4 5 0 4 5 r r r  −     ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→             − − − −     1 3 2 3 3 2 1 2 3 4 2 2 1 2 2 1 0 1 1 0 0 0 1 3/ 2 0 1 3/ 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 r r r r r r r r + − + −       − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→                        

经济数学 众浙江有常赋掌拉将膨院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 9.6.1矩阵的初等变换 2.用初等变换求逆矩阵 定理911 设A为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，若对n×2n阶 矩阵(AE)作一系列初等行变换，使它变为(EB)则B=A, 9 9.6矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 2.用初等变换求逆矩阵 定理9·11 设 为 阶可逆矩阵， 为 阶单位矩阵，若对 阶 矩阵 作一系列初等行变换，使它变为 则 ． A n E n n n 2 ( ) A E ( ) E B 1 B A− =

经济数学 浙江商常織業核期影院 9.6.1矩阵的初等变换 「32 1 例23 用初等行变换求矩阵 22 的逆矩阵。 43 解： 作一个 nx2n 的矩阵(AE), 并作初等行变换 「321100 [12 2010 (AE)= 122010 r→ 3 21100 43001 34300 1 9 9.6 矩阵的初等变换

经济数学 9.6 矩阵的初等变换 9.6.1 矩阵的初等变换 例23 用初等行变换求矩阵 的逆矩阵. 3 2 1 1 2 2 3 4 3 A     =       解： 作一个 n n 2 的矩阵 ( ) A E ，并作初等行变换 1 2 3 2 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 ( ) 1 2 2 0 1 0 3 2 1 1 0 0 3 4 3 0 0 1 3 4 3 0 0 1 r r A E          = ⎯⎯⎯→            