经济数学 交浙江商某械津拉锵，摩院 2.5微分 2.5.1微分的概念及其几何意义 1.引入 正方形金属薄片受热后面积的改变量如何计算？ 4x)2 设边长由X,变到x,十△x XA年 原正方形的面积A=七，2 改变后的面积 A=(K。+△x)2 面积的改变量 △A=(x+△x)2-x A=xo =2x·△x+(△x)2. (①：是Ar的线性主部四 (2) (2):是△x的高阶无穷小，当△x很小时可以忽略 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 ? 正方形金属薄片受热后面积的改变量如何计算? 2.5.1 微分的概念及其几何意义 1.引入 2 A = x0 0 x 0 x x x 2 (x) x x 0 x x 0 0 设边长由 x 变到 x0 + x 2 原正方形的面积 A= x0 2 0 改变后的面积 A = (x + x) 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) 面积的改变量 (1): 是 x 的线性主部 (2): 是x 的高阶无穷小，当 x 很小时可以忽略
经济数学 令浙丛商常破津校纳摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 1.引入 所以 当△c很小时 既容易计算又是较好的近似值 △A≈2x·△x. 这个线性主是否所有函数的改变量都有？它是什 么？如何求？ 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 A x x. 0 2 既容易计算又是较好的近似值 ? 这个线性主是否所有函数的改变量都有?它是什 么?如何求? 2.5.1 微分的概念及其几何意义 1.引入 所以 当 x 很小时
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 定义2·4 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x,及x。+△x均在这 区间内，如果函数f(x)在点xo处的增量△y=f(x+△x)-f(x) 可以表示为△y=A·△x+o(△x),其中A与△x无关，0（△x)是 △x的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x处是可微的，称 A·△x为函数y=f(x)在X,处的微分，记作：x= 即 yx==A△x 9 —2.5微分
经济数学 2.5 微分 定义2·4 2.5.1 微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 y = f (x) 设函数 在某区间内有定义， x0 及 x0 + x 区间内， f ( x) y = ( ) ( ) 0 x0 f x + x − f y = A x + o(x) 如果函数 在点 处的增量 可以表示为 x0 ,其中 A 与 无关， o(x) 是 的高阶无穷小， x x 则称函数 y = f (x) 在点 均在这 0 x 处是可微的， Ax y = f (x) 0 x 称 为函数 在 处的微分，记作: x x0 dy = 即 x x0 dy = = Ax
经济数学 众浙江商常碱掌拉将膨院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege 01 Commerco 2.5.1微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 说明 1)如果y=f(x)在点七，处可微，则有△y=A·△x+o(△x) 所以rx)=名-=[4+会]=4 F△xJ 即函数y=f(x)在点xo处可导，则 A=f'(x), dyx=f'(xo)Ax 2)在y=x中 ,少=1；因此对于任何x,△x=k,因此 dy ==f(xo)dx 因而有 来=fx) 因此，导数我们也称之为微商。 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 说 明 y = f (x) x0 如果 在点 处可微，则有 y = A x + o(x) f (x0 ) = = → x y x 0 lim A x o x A x = + → ( ) lim 所以 0 即函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则 ( ) x0 A = f dy x=x = f (x0 )x 0 , 1) 2.5.1 微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 1 dx dy 2) 在 y = x 中， ；因此对于任何 x x = dx ,因此 dy x x f (x0 )dx 0 = = 因而有 ( ) 0 x0 f dx dy x x = = 因此，导数我们也称之为微商。
经济数学 令浙丛商常键建拉纳摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 3》知果y=f)在点出，处可导，则有四然=了0)， 所以A=f'x,)+a(其中a:是当△x→0的无穷小量)。 于是A=f,A+x,因为四然-0，则有 △y=A·△x+o(△x)即函数y=f(x)在点xo处可微， 且 dy=f(xo)Ax =f(xo)dx 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 ， 的无穷小量）。 y = f (x) 如果 在点 x0 处可导，则有 所以 即函数 y = f (x) 在点 x0 处可微， 且 3) lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) x0 f x y （其中 是当 x →0 于是 y = f (x0 )x +x ，因为 lim 0 0 = → x x x ,则有 y = A x + o(x) dy x x f (x0 ) x f (x0 )dx 0 = = = 2.5.1 微分的概念及其几何意义 2.微分的概念
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 定理2·6 如果函数y=f(x)在点七处可微，则函数y=f(x) 在点x,处可导，且A=f'(x):反之，如果若函数y=f(x) 在点X,处可导，则函数y=f()在点xo处可微。 例1 求函数y=x2在x=3处的微分。 解： 由y'=2x 得13=23=6 所以 dy3 =6dx 2.5微分
经济数学 2.5 微分 定理2·6 y = f (x) 0 x ( ) x0 A = f 如果函数 在点 处可微，则函数 在点 处可导，且 ;反之， y = f (x) 0 x 如果若函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y = f (x) 在点 x0 处可微。 2.5.1 微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 2 例1 求函数 y = x 在 x = 3 处的微分。 解： y = 2x 2 3 6 3 = = x= 由 得 y dy dx x 6 所以 =3 =
经济数学 浙江商某織素挂锵摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 △y≈k=n △y与少=，之间有什么关系 定义 如果函数y=f(x)在某区间内每一点都可微，则称f(x) 是该区间内的可微函数。函数f(x)在任意点x的微分记为： 少或(x) 即 少=f'(x) 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 ? y 与 x x0 dy = 之间有什么关系？ 2.5.1 微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 x x0 y dy = 定义 f ( x) x 在某区间内每一点都可微， 是该区间内的可微函数。函数 在任意点 的微分记为： 如果函数 y = f (x) 则称 f ( x) dy 或 df ( x) 即 dy = f (x)dx
经济数学 众浙江商常械津祛将摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 例2 已知函数y=sinx,求d、例与例1。 解： 因为 dy y'dx cos xdx 所以 -号=cos水=- ,=-0.1 例3 求函数y=xe的微分y。 解： dy y'dx =(xex)'dx =(ex+xex)dx =(1+x)e*dx 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 2.5.1 微分的概念及其几何意义 2.微分的概念 已知函数 y = sin x dy x= dy =0.1 = x 例2 ,求 、 与 dy x 。 解： dy = y dx = cos xdx 2 x= dy = cosdx = −dx =0.1 = x dy x = −0.1 因为 所以 求函数 dy 。 x 例3 y = xe 的微分 解： dy y dx xe dx x = = ( ) e xe dx x x = ( + ) x e dx x = (1+ )
经济数学 令浙江商常城掌祛期摩院 2.5.1微分的概念及其几何意义 3.微分的几何意义 N .dy f'(xo)dx o(Ax) =k切△x y=f(x) M △x =tanc.△x=PQ x0+△rx 当△y是曲线的纵坐标的增量时，少就是切线纵坐标 对应的增量。 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x x + x 0 P Q dy f (x )dx 0 = = k 切 x = tan.x = PQ 2.5.1 微分的概念及其几何意义 3.微分的几何意义 当 是曲线的纵坐标的增量时， 就是切线纵坐标 对应的增量。 y dy
经济数学 会浙江商米战津接期摩院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege 01 commerco 2.5.1微分的基本公式与运算法则 1.基本初等函数的微分公式 dC=0(C为任意常数) d(tanx)=sec xdx d(xa)=axa-dk（ax为实数) d(cotx)=-csc2 xdx d(ax)=ax In adx d(secx)=secxtan xdx 特别：d(e)=e'dk d(cscx)=-cscxcotxdx 1 d0og。x)=1 Ftna(a>0,a≠) +d(arcsinx)=- 1-x2 1 特别：40my)=上k +d(arccos x)=- k V1-x2 1 d(sinx)=cos xdx +d(arctan x)= 1+r24 d(cosx)=-sinxdx 1 +d(arccotx)=- 1+K24 9 2.5微分
经济数学 2.5 微分 2.5.1 微分的基本公式与运算法则 1.基本初等函数的微分公式 d a a adx x x ( ) = ln ( 0, 1) ln 1 (log ) = dx a a x a d a x dC = 0 （ C 为任意常数) d x x dx 1 ( ) − = ( 为实数） d e e dx x x 特别： ( ) = dx x d x 1 特别： (ln ) = d(sin x) = cos xdx d(cos x) = −sin xdx d x xdx 2 (tan ) = sec d x xdx 2 (cot ) = −csc d(secx) = secx tan xdx d(csc x) = −csc x cot xdx dx x d x 2 1 1 (arcsin ) − = dx x d x 2 1 1 (arccos ) − = − dx x d x 2 1 1 (arctan ) + = dx x d arc x 2 1 1 ( cot ) + = − + + + +