经济数学 爱浙江商常碱津拉将摩院 8,4二元函数的极值问题 8.4.1二元函数的极值及其求法 例1设某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分 别为10元和13元，生产x万件甲产品与y万件乙 产品的总成本是 C(x,y)=2x2+y+y2 当两种产品的产量各为多少时利润最大？最大利润 是多少？ 9 8.4二元函数的极值问题
经济数学 例1 设某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分 别为10元和13元，生产 万件甲产品与 万件乙 产品的总成本是 当两种产品的产量各为多少时利润最大？最大利润 是多少？ ? 8.4.1 二元函数的极值及其求法 8.４ 二元函数的极值问题 2 2 C x y x xy y ( , ) 2 = + + x y
经济数学 浙江商業碱素核粥，唐院 ZheJlang vecatlonal Cotloge o1 Commorco 例如，函数2=x十y 1.无条件极值 在点0,0)处有极小值 ()给出极值的定义 定义1 极值存在的必要条件 定义1设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某个邻域内有 定义，如果对该邻域内的任意点(x,y)(x,y)≠(xo,o》, 都有(x,y)f(xo,o),则称(xo,o)函 数在点(x,%的极大值（或极小值）极大值、极小值统称为极 值，使函数取得极值的点(xo,yo)称为极值点， 9 8.4二元函数的极值问题
经济数学 定义1 (1)给出极值的定义 1．无条件极值 定义1 设函数 在点 的某个邻域内有 定义，如果对该邻域内的任意点 （ ） ， 都有 )，则 称 函 数在点 的极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极 值，使函数取得极值的点 称为极值点． z f x y = ( , ) ( , ) 0 0 x y (x, y) (x, y) ( , ) 0 0 x y f (x, y) ( , ) 0 0 f (x, y) f x y ( , ) 0 0 f x y ( , ) 0 0 f x y ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y 例如，函数 在点 处有极小值 2 2 z x y = + (0,0) 极值存在的必要条件 8.４ 二元函数的极值问题
经济数学 令浙江商术械掌挂神摩院 (2)给出极值的判别方法 极值存在的充 定理1 分条件 如果函数f(x,y)在点(xo,yo)处有极值，且f(xo,),f(xo,)存在，则必有 f(x%)=0,f(x,%)=0事实上，在点(x0,y0)的某一邻域内，取y=o ，则函数f(x,y)是x的一元函数，它在x。取得极值，所以f(x,)=0,同理 f(x,y)=0使f(xo,%),f(xo,)=0的点(x0,yo)称为函数z=f(x,y)的 驻点.极值点通常可在驻点取得，但驻点不一定是极值点.如点(0,0)是函数二=xy 的驻点，而函数z=xy在点(0,0)处没有极值。 但也并不是极值点必是驻点，如点(0,0)是函数二=xy的极小值点，但点0,0)不是函 数z=y的驻点，而是函数z=y的不可导点。由此可知，驻点与不可导点都有可 能是函数的极值点，我们把驻点与不可导点称为函数极值的可疑点。 9 8.4二元函数的极值问题
经济数学 定理1 (2) 给出极值的判别方法 极值存在的充 分条件 8.４ 二元函数的极值问题 如果函数 在点 处有极值，且 存在，则必有 ， 事实上，在点 的某一邻域内，取 ，则函数 是 的一元函数，它在 取得极值，所以 ,同理 使 的点 称为函数 的 驻点．极值点通常可在驻点取得，但驻点不一定是极值点．如点 是函数 的驻点,而函数 在点 处没有极值。 但也并不是极值点必是驻点，如点 是函数 的极小值点，但点 不是函 数 的驻点，而是函数 的不可导点。由此可知，驻点与不可导点都有可 能是函数的极值点，我们把驻点与不可导点称为函数极值的可疑点。z f x y = ( , ) x 0 y y = (0,0) ( , ) 0 0 x y z xy = f (x, y) 0 0 f x y y ( , ) 0 = 0 f x y ( , ) ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x y ( , ), ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y 0 0 0 0 f x y f x y x y ( , ), ( , ) 0 = 0 x 0 0 f x y x ( , ) 0 = 0 0 f x y x ( , ) 0 = 0 0 f x y y ( , ) 0 = (0,0) (0,0) z xy =| | z xy =| | z xy =| | (0,0)z xy =
练习巩固： 1.求函数f(x,y)=x3+y3-3xy的极值。 (答案：函数f(x,y)=x3+y2-3y在(1,1)处有极小值f(L,1)=-1) 2.设某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10元和13元，生产 万件甲产品与万件乙产品的总成本是C(x,y)=2x2+y+y2 当两种产品的产量各为多少时利润最大？最大利润是多少？ (答案：当甲产品产量为1万件，乙产品产量为6万件时利 润最大，且 z=f1,6)=10×1+13×6-2×12-1×6-62=44 最大利润为44万元.) 8.4二元函数的极值问题
(答案：当甲产品产量为1万件，乙产品产量为6万件时利 润最大，且 即最大利润为44万元．) 练习巩固 ： 2. 设某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10元和13元，生产 万件甲产品与万件乙产品的总成本是 当两种产品的产量各为多少时利润最大？最大利润是多少？ 1. 求函数 的极值． (答案：函数 在(1，1)处有极小值 ) 3 3 f x y x y xy ( , ) 3 = + −3 3 f x y x y xy ( , ) 3 = + − 2 2 z f = = + − − − = (1, 6) 10 1 13 6 2 1 1 6 6 44 (1,1) 1 f = − 2 2 C x y x xy y ( , ) 2 = + + 8.４ 二元函数的极值问题
经济数学 ×浙江商業碱素核的墨院 ZheJlang Vecational Cotlege o1 commorco 说明： (我们知道，如果函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，则 z=f(x,y)在D上必有最大值和最小值.) (1)求最大值和最小值的方法是：求出在D内的全部驻点与不可导 点的函数值，再与边界上的最大值和最小值比较，其中最大的就是最大 值，最小的就是最小值 (2)但在求解实际问题的最大值和最小值时，可根据问题的实际意 义来确定.即如果知道所求函数在区域D内一定能取得最大值或最小 值，且函数如在内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是所 求函数D在上的最大值或最小值. 9 8.4二元函数的极值问题
经济数学 说明： （我们知道，如果函数 在有界闭区域 上连续，则 在 上必有最大值和最小值．） （1）求最大值和最小值的方法是：求出在 内的全部驻点与不可导 点的函数值，再与边界上的最大值和最小值比较，其中最大的就是最大 值，最小的就是最小值． （2）但在求解实际问题的最大值和最小值时，可根据问题的实际意 义来确定． 即如果知道所求函数在区域 内一定能取得最大值或最小 值，且函数 在内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是所 求函数 在上的最大值或最小值． z f x y = ( , ) D z f x y = ( , ) D D D D D 8.４ 二元函数的极值问题
经济数学 浙江商業碱素核粥善院 8.4.2条件极值 条件极值及其求法 1.在上面讨论的极值问题中，自变量在定义域内可以任意取值且 相互独立，称为无条件极值.但是，在有些实际问题中，自变 量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附加有约束条件的 极值问题，称为条件极值.例如，求函数 z=f(x,y) 在约束条件 p(x,y)=0 下的极值就是一类条件极值问题. 二8.4二元函数的极值问题
经济数学 8.4.2 条件极值 条件极值及其求法 8.4二元函数的极值问题 (x, y) = 0 1. 在上面讨论的极值问题中，自变量在定义域内可以任意取值且 相互独立，称为无条件极值．但是，在有些实际问题中，自变 量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附加有约束条件的 极值问题，称为条件极值．例如，求函数 在约束条件 下的极值就是一类条件极值问题． z f x y = ( , ) ( , ) 0 x y =
经济数学 会浙江高术酸害挂的带院 2.求这类条件极值的方法一拉格朗日乘数法，其步骤如下： 第一步构造拉格朗日函数 F(x,y)=f(x,y)+0(x,y) 其中为某一常数。 第二步求F(x,y)种、y的一阶偏导数，令它们都为零，并与 p(x,y)=0联立得方程组 F(x,y)=f(x,y)+元0：(x,y)=0 F(x,y)=f(x,y)+九0(x,y)=0 p(x,y)=0 从方程组中消去，解出xy,则(x,y)可能是极值点。 第三步根据实际问题的性质，判别(x,y)是否为极点. 二8.4二元函数的极值问题
经济数学 (x, y) = 0 2. 求这类条件极值的方法——拉格朗日乘数法，其步骤如下： 第一步 构造拉格朗日函数 其中 为某一常数． 第二步 求 对 的一阶偏导数，令它们都为零，并与 联立得方程组 从方程组中消去 ，解出 ，则 可能是极值点． 第三步 根据实际问题的性质，判别 是否为极值点． 经济数学 8.4二元函数的极值问题 F x y f x y x y ( , ) ( , ) ( , ) = + x y 、 F x y ( , ) ( , ) 0 x y = ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y x y = + = = + = = ( , ) x y x y 、 ( , ) x y
经济数学 浙江商菜械素核粥，墨院 ZheJlang vecatlonal Colloge o1 Commorco 练习巩固： 1.求体积为8，而表面积最小的长方体。 (答案：当长、宽、高都为2时，长方体表面积最小.) 2.设某企业生产甲、乙两种产品，产量分别为x和y,利润函数为 L(x,y)=6x-x2+16y-4y2-2 每生产单位甲产品需消耗某种原材料2000kg,生产单位乙产品需消耗同种原材 料4000kg,现有该原材料14000kg,问两种产品产量各为多少时，总利润最 大？ (答案：当甲产品产量为3万件，乙产品产量为2万件时， 利润最大。) 8.4二元函数的极值问题
经济数学 8.4二元函数的极值问题 (答案：当甲产品产量为3万件，乙产品产量为2万件时， 利润最大．) 练习巩固 ： 2. 设某企业生产甲、乙两种产品，产量分别为 和 ，利润函数为 每生产单位甲产品需消耗某种原材料2000kg，生产单位乙产品需消耗同种原材 料4000kg，现有该原材料14000kg，问两种产品产量各为多少时，总利润最 大？ 1. 求体积为8，而表面积最小的长方体． (答案：当长、宽、高都为2时，长方体表面积最小．) 2 2 L x y x x y y ( , ) 6 16 4 2 = − + − −x y
经济数学 令浙江商术碱津拉期峰杭 小结 1.掌握二元函数的极值概念； 2.会求二元函数的极值； 3.理解拉格朗日乘数方法，并能求出实际问题的极值。 9 8.4二元函数的极值问题
经济数学 8.4二元函数的极值问题 3．理解拉格朗日乘数方法，并能求出实际问题的极值。 1．掌握二元函数的极值概念； 2．会求二元函数的极值； 小结
经济数学 众浙江商常械事祛将摩院 作业 普高生 P2041820 9 二8.4二元函数的极值问题
经济数学 8.4二元函数的极值问题 作业 普高生 Ｐ204 18 20