经济数学 交浙江商常碱掌植粉鲁院 3,3函数的单调性与极值 3.3.1函数的单调性 (1)引子 y=f(x)h （1)观察单调增函数的 图像（右图），当函数 y=f(x)单调增加时，这 条曲线沿X轴正向是上升 的。若该曲线是光滑的， 那么在区间(a,b)内每一 0 9 3.3 函数的单调性与极值
经济数学 (1) 引子 3.3.1 函数的单调性 结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即 f (x) 0 （1）观察单调增函数的 图像（右图），当函数 单调增加时，这 条曲线沿 轴正向是上升 的。若该曲线是光滑的， 那么在区间 内每一 点的切线都存在，其倾斜角如何？ y = f (x) (a , b) x x y o 2 l1 1 l2 y = f (x) 3.３ 函数的单调性与极值
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 3.3.1函数的单调性 )引子 y (2)观察单调减函数的 y=f(x) 图像（右图），当函数 y=f(x)单调减少时，这 条曲线沿x轴正向是下降 的。若该曲线是光滑的， 那么在区间(a,b)内每一 01 点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？0 公 结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即f'(x)<0 9 二3.3函数的单调性与极值
经济数学 (1) 引子 3.3.1 函数的单调性 结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即 f (x) 0 （2）观察单调减函数的 图像（右图），当函数 单调减少时，这 条曲线沿 轴正向是下降 的。若该曲线是光滑的， 那么在区间 内每一 点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？ y = f (x) (a , b) x x y o 1 l1 2 l2 y = f (x) 3.３ 函数的单调性与极值
经济数学 浙江商業碱業核粥，善院 ZheJlang Vecational Cotlege 0f commorco 3.3.1函数的单调性 (1)引子 由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联 系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？ 结论是肯定的 9 一3.3函数的单调性与极值
经济数学 (1) 引子 3.3.1 函数的单调性 由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联 系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？ ? 结论是肯定的 3.３ 函数的单调性与极值
经济数学 众浙江商常械津核神膨院 3.3.1函数的单调性 (2)定理 定理3.6 设函数f(x)在(a,b)内可导： (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)内单调增加。 (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则函数f(x)在(a,b)内单调减少。 9 二3.3函数的单调性与极值
经济数学 (2) 定理 3.3.1 函数的单调性 定理3.6 设函数 f (x) 在 (a , b) 内可导： （2） 如果在 (a , b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 (a , b) 内单调减少。 （1）如果在 (a , b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 (a , b) 内单调增加。 3.３ 函数的单调性与极值
经济数学 令浙江商常碱津挂的馨院 3.3.1函数的单调性 (2)定理 说明1：定理3.6中的开区间换(-0，b][a,+0)(-o0,+0) 等其它各种区间，定理3.6的结论仍然成立。 说明2：f'(x)>0与f'(x)<0换成f'(x)≤0与f'(x)≥0（等 号只在个别点成立)，定理3.6的结论是否仍然成立？ 9 二3.3函数的单调性与极值
经济数学 (2) 定理 3.3.1 函数的单调性 3.３ 函数的单调性与极值 说明1：定理3.6中的开区间换 ， ， 等其它各种区间，定理3.6的结论仍然成立。 (−, b] [a, + ) (−, + ) 说明2： 与 换成 与 （等 号只在个别点成立），定理3.6的结论是否仍然成立？ f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
经济数学 浙江商業碱業核粥墨院 ZheJlang Vecational Cotlege of commorco 3.3.1函数的单调性 (3)举例 例1 讨论函数f()=x3+x在区间(-10,100)内的单调性。 解：因为f'(x)=3x2+1 所以在区间(-10,100)内f'(x)=3x2+1>0 由定理3.6可知f(x)=x3+x在区间(-10,100)内单调递增。 9 =3.3 函数的单调性与极值
经济数学 (3) 举例 3.3.1 函数的单调性 3.３ 函数的单调性与极值 例１ 讨论函数 f x = x + x 在区间 内的单调性。 3 ( ) (−10,100) ( ) 3 1 2 解：因为 f x = x + ( ) 3 1 0 2 所以在区间（-10，100）内 f x = x + f x = x + x 3 由定理3.6可知 ( ) 在区间（-10，100）内单调递增
经济数学 众浙江商常械津核神膨院 3.3.1函数的单调性 3)举例 例2 讨论函数f(x)=x-nx的单调性。 解：因为fx)=x-nx的定义域为0，+o),f(x)=1-」 当x>1时，f'(x)>0, 当0<x<1时，f'(x)<0 由定理3.6知(1，+oo)是f(x)的单调递增区间， (0,1)是f(x)的单调递减区间。 9 二3.3 函数的单调性与极值
经济数学 (3) 举例 3.3.1 函数的单调性 3.３ 函数的单调性与极值 例2 讨论函数 f (x) = x − ln x 的单调性。 f (x) = x − ln x (0,+), x f x 1 解：因为 的定义域为 ( ) = 1− 当 x 1 时， f(x) 0, 当 0 x 1 时， f (x) 0 由定理3.6 知 (1,+) 是 f (x) 的单调递增区间, (0, 1) 是 f (x) 的单调递减区间
经济数学 会浙江商常赋害挂的摩院 3.3.1函数的单调性 (3)举例 由定理3.6可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的 符号来进行判定。当f(x连续时，∫'(x)的正负值的分界点是使 f'(x)=0或f'(x)不存在的点（如例2与例3）. 我们把f'(xo)=O的点x。称为函数f(x)的驻点或稳定点。 9 二3.3函数的单调性与极值
经济数学 (3) 举例 3.3.1 函数的单调性 3.３ 函数的单调性与极值 由定理3.6可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的 符号来进行判定。当 连续时， 的正负值的分界点是使 或 不存在的点（如例2与例3）. f (x) f (x) f (x) = 0 f (x) 我们把 f(x0 ) = 0 的点 称为函数 f (x) 的驻点或稳定点。 0 x
经济数学 浙江商常碱素核粥，墨院 ZheJlang Vecational Cotlege of commorco 3.3.1函数的单调性 3)举例 例3 求函数y=x3-9x2+15x+3的单调区间。 解：因为f(x)的定义域为(-0，+oo),f"(x)=3x2-18x+15 令'(x)=0得驻点X=1,x=5,列表讨论 (-0,1) 1 (1,5) 5(5,+00) f'(x) + + f(x) 所以函数f(x)的单调增区间是-0,1)、(5，+o)单调减区间是(1,5) 9 =3.3 函数的单调性与极值
经济数学 (3) 举例 3.3.1 函数的单调性 3.３ 函数的单调性与极值 例3 求函数 9 15 3 的单调区间。 3 2 y = x − x + x + ( ) 3 18 15 2 解：因为 f(x) 的定义域为 (−,+), f x = x − x + 令 f (x) = 0 得驻点 x =1,x = 5 ，列表讨论 x f '(x) f (x) ( - , 1) 1 ( 1 , 5 ) 5 (5 , + ) + - + 所以函数 f (x) 的单调增区间是 (−,1) 、 (5, + ) 单调减区间是 (1, 5)
经济数学 令浙江商常械掌拉将摩院 3.3.1函数的单调性 (3)举例 例4 证明：当x>0时，ex>1+x。 证明：令f(x)=ex-1-x,则f(0)=0 又因为f'(x)=e×-1>0(x>0), 所以函数f(x)=ex-1-x在(0，+o)单调增加，f(x)>f(0)(x>0) 即 e×-1-x>0(x>0) 所以 ex>1+x(x>0) 9 二3.3函数的单调性与极值
经济数学 (3) 举例 3.3.1 函数的单调性 3.３ 函数的单调性与极值 例4 证明：当 x 0 时， e x 。 x 1+ f(x) e 1 x, x 证明：令 = − − 则 f (0) = 0 f (x) e 1 0 (x 0), x 又因为 = − f x e x (0, + ) x 所以函数 ( ) = −1− 在 单调增加 f (x) f (0)(x 0) , 即 e 1 x 0(x 0) x − − e 1 x(x 0) x + 所以