经济数学 令浙江商掌稽津挂钠鲁院 第3章复习 第一部分基本内容复习 基本定理、概念、方法关系图： 格种 洛必达 中值 函数的 类型 函数 法则 的 定理 单调性 的 不定 极值 式的 和 极限 最值 边际与弹性 的概念 9 第3章导数的应用
经济数学 第一部分 基本内容复习 第3章 导数的应用 各种 类型 的 不定 式的 极限 函数 的 极值 和 边际与弹性 最值 的概念 函数的 单调性 洛必达 法则 基本定理、概念、方法关系图： 中值 定理
经济数学 众浙江方菜赋掌拉锵摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 第一部分基本内容复习 1.基本定理 (1)罗尔定理 定理3.1 如果函数f(x)满足下列条件： (I)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)f(a)=f(b): 则在区间(a,b)内至少存在一点5，使得f'(5)=0 9 第3章导数的应用
经济数学 (1) 罗尔定理 第一部分 基本内容复习 1.基本定理 第3章 导数的应用 定理3.1 如果函数 f (x) 满足下列条件： ⑵ 在开区间 (a, b) 内可导； ⑴ 在闭区间 [a, b] 上连续； ⑶ f (a) = f (b) ； 则在区间 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 f () = 0
经济数学 众浙江商常碱津挂掷膨院 第一部分基本内容复习 1.基本定理 (2)拉格朗日中值定理 定理3.2 如果函数∫(x)满足下列条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； 则在区间(a,b)内至少存在一点5，使得 f(b)-f(a)=f(E) b-a 9 第3章导数的应用
经济数学 (2) 拉格朗日中值定理 第3章 导数的应用 定理3.2 如果函数 f (x) 满足下列条件： （2）在开区间 (a, b) 内可导； （1）在闭区间 [a, b] 上连续； ( ) ( ) ( ) f b a f b f a = − − 则在区间 (a, b) 内至少存在一点 , 使得 第一部分 基本内容复习 1.基本定理
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 第一部分基本内容复习 1.基本定理 (3)综合举例 例1 函数f(x)=nx在闭区间1，©]上是否满足拉格朗日中值定 理？如果满足，找出使定理结论成立的ξ的值。 解：因为f(x)=nx是初等函数，所以f(x)在[L,e]上连续； 又因为f'(x)=二，所以f(x)在(L,e)内可导； 所以满足定理的条件。且有等式：f(e)-f(I)=f'(5)(e-1) 即 Ie-In1=-(e-l) 解得ξ=e-1由于e-l∈(l,e)因此5=e-1即是所找的值 9] 二第3章导数的应用
经济数学 (3) 综合举例 第一部分 基本内容复习 1.基本定理 第3章 导数的应用 例1 函数 在闭区间[1,e]上是否满足拉格朗日中值定 理？如果满足，找出使定理结论成立的 的值。 f (x) = ln x 解：因为 f(x) = ln x 是初等函数，所以 f (x) 在 [1, e] 上连续； , x 1 又因为 f(x) = 所以 f (x) 在 (1, e) 内可导； 所以满足定理的条件。且有等式: f (e) − f (1) = f ( )(e −1) 即 ( 1) 1 ln e − ln 1= e − 解得 = e −1 由于 e −1(1, e) 因此 = e −1 即是所找的值
经济数学 令浙江方常械掌挂种摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 第一部分基本内容复习 2.利用洛必达法则求函数极限 (①)洛必达法则 定理3.4 如果函数f(x)与8(x)满足条件： (1)limf(x)=0(或co),limg(x)=0(或oo): X→X0 X〉X0 (2)在xo的某领域内（x0除外)，f"(x),g'(x)都存在， 且g'(x)≠0： (3)lim f'() g存在（或为00） 则 lim f(x) lim f'(x) x→x0g(x) xog'(x) 9 第3章导数的应用
经济数学 (1) 洛必达法则 第一部分 基本内容复习 2.利用洛必达法则求函数极限 第3章 导数的应用 定理 3.4 如果函数 f (x) 与 g(x) 满足条件： （2）在 的某领域内（ 除外）， 都存在， 且 ； 0 x f (x), g (x) 0 x g (x) 0 lim f(x) 0( ) lim g(x) 0( ) x x0 x x0 = = → → （1） 或 , 或 ； （3） ( ) 存在（或为 ） ( ) lim 0 g x f x x x → 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x = → →
经济数学 会浙一商术酸主挂的串院 第一部分基本内容复习 2.利用洛必达法则求函数极限 (2)举例 求lm ex-1 例2 x-0 sinx 解： e-1 lim lim- -=1 x→0SinX x-0 COSX 9 第3章导数的应用
经济数学 第一部分 基本内容复习 第3章 导数的应用 (2) 举例 2.利用洛必达法则求函数极限 例2 求 x e x x sin 1 lim 0 − → 解： 1 cos lim sin 1 lim 0 0 = = − → → x e x e x x x x
经济数学 众浙江商常碱事拉锵轡院 第一部分基本内容复习 2.利用洛必达法则求函数极限 (2)举例 例3 求mhnx 解： -0 9 二第3章导数的应用
经济数学 第一部分 基本内容复习 第3章 导数的应用 (2) 举例 2.利用洛必达法则求函数极限 例3 求 x x x ln ln lim →+ 0 ln 1 1 lim ln 1 lim ln ln lim = + = = →+ x →+ x x →+ x x x x x 解：
经济数学 浙江商業械業核粥墨院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 第一部分基本内容复习 3.函数的单调性及极值的计算 (1)基本判定定理 定理3.6 设函数f(x)在(a,b)内可导： (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)内单调增加。 (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则函数f(x)在(a,b)内单调减少。 9 第3章导数的应用
经济数学 第一部分 基本内容复习 第3章 导数的应用 (1) 基本判定定理 ３.函数的单调性及极值的计算 定理3.6 设函数 f (x) 在 (a , b) 内可导： （2） 如果在 (a , b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 (a , b) 内单调减少。 （1）如果在 (a , b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 (a , b) 内单调增加
经济数学 令浙江商常城事核粉摩院 第一部分基本内容复习 3.函数的单调性及极值的计算 ()基本判定定理 定理3.8（极值的第一充分条件） 设函数f(x)在xo的某个领域内可导，且f'(xo)=0。 ()如果当x0;当x>x时，f"(x)x时，f'"(x)>0则函 数f(x)在x处取得极小值。 (3)如果在xo的两侧，(x)具有相同的符号，则函数f(x)在 X0处不取得极值。 9 第3章导数的应用
经济数学 第一部分 基本内容复习 第3章 导数的应用 (1) 基本判定定理 ３.函数的单调性及极值的计算 定理3.8 （极值的第一充分条件） 设函数 f (x) 在 x0 的某个领域内可导，且 f (x0 ) = 0 。 ⑴ 如果当 时， ；当 时， ,则函 数 在 处取得极大值。 0 x x f (x) 0 0 x x f (x) 0 f (x) 0 x ⑵ 如果当 时， ；当 时， 则函 数 在 处取得极小值。 0 x x f (x) 0 0 x x f (x) 0 f (x) 0 x 0 x f (x) f (x) 0 x ⑶ 如果在 的两侧， 具有相同的符号，则函数 在 处不取得极值
经济数学 令浙江商常城掌祛期摩院 ZheJlang Vocational College of Commerce 第一部分基本内容复习 3.函数的单调性及极值的计算 (1)基本判定定理 定理3.9（极值的第二充分条件） 设函数f(x在x处具有二阶导数，且f'(xo)=0f"(x)≠0，则 (I)当f"(xo)0时，函数f(x)在x处取得极小值。 9] 二第3章导数的应用
经济数学 第一部分 基本内容复习 第3章 导数的应用 (1) 基本判定定理 ３.函数的单调性及极值的计算 定理3.9 （极值的第二充分条件） 设函数 f (x) 在 x0 处具有二阶导数，且 f (x0 ) = 0 ， f (x0 ) 0 ，则 ⑴ 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极大值。 0 ⑵ 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x 处取得极小值