经济数学 会浙江有术碱津拉的摩院 2.3复合函数与隐函数的导数 2.3.1复合函数的导数 1.新课引入 引例1已知y=sin2x,求y'。 解：y'=(sin2x)'=(2 sinx cosx)' =2(sin'xcosx+sinxcos'x) 2(cos2 x-sin2 x)=2cos2x 引例2 已知y=(3x-1)2,求y。 解： y'=3x-1)2Y =(9x2-6x+1)y =18x-6 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 引例1 已知 y = sin 2x , 求 y 。 解 : y = (sin 2x) = (2sin x cos x) 2(cos sin ) 2 2 = x − x = 2(sin x cos x + sin x cos x) = 2cos2x 2.3.1 复合函数的导数 1.新课引入 引例2 2 已知 y = (3x −1) , 求 y 。 解: y [(3 1) ] 2 = x − (9 6 1) 2 = x − x + = 18x −6
经济数学 令浙江商常城掌挂科摩院 2.3.1复合函数的导数 1.新课引入 提出问题 1)设y=sin10x,如何求y'? 2)设y=(3x-1)如何求y'? 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 提出问题 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 1.新课引入 ? 1）设 y = sin10x ，如何求 y ？ 100 2）设 y = (3x −1) ，如何求 y ？
经济数学 令浙江商术械掌拉将摩院 2.3.1复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 定理2.5 设函数y=fp(x训由y=f()与u=p(x)复合而成，如果函 数u=p(x)在点x处可导，函数y=fW)在对应点u处可 导，则复合函数y=f[p(x在点x处可导，且 dydy du 或 =yu dx du dx 二2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 定理2.5 dx du du dy dx dy = x u ux 或 y = y 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 y = f[(x)] y = f (u) u = (x) y = f (u) x u = (x) u y = f[(x)] x 设函数 由 与 复合而成，如果函 数 在点 处可导，函数 在对应点 处可 导，则复合函数 在点 处可导，且
经济数学 爱浙江有常碱常拉唐院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 2.3.1复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 如问1)可以用以下方法求解： y=sinl0x可看作是由y=sinw与u=10x复合而成。 因此yk=y=(sinw·(I0x)y =c0su.10=10c0s10x 如问2)可以用以下方法求解： y=(3x-1)100可看作是由y=W0与u=3x-1 复合而成。因此 Jy=y·l=(wY3x-1 =100u9.3=300(3x-1)9 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 x u ux 因此 y = y = (sin u) (10x) = cosu10 = 10cos10x y = sin10x 可看作是由 y = sinu 与 u = 10x 复合而成。 如问1）可以用以下方法求解： 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 x u ux y = y ( ) (3 1) 100 = u x − 99 99 = 100u 3 = 300(3x −1) 如问2）可以用以下方法求解： 100 y = (3x −1) 100 可看作是由 y = u 与 u = 3x −1 复合而成。 因此
经济数学 众浙江商常赋幸挂锵膨院 2.3.1复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 说明 1.复合函数的求导法则实际上是复合函数关于自变量的 导数，等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变 量的导数： 2.该法则可以推广到有多个中间变量的情形。 例如：y=f(W),u=p(),v=(x)均是可导函数，则复合函数 y=f{p[w(x}可导，且 dydy du dv dx du dy dx 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 说明 1.复合函数的求导法则实际上是复合函数关于自变量的 导数,等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变 量的导数; 2.该法则可以推广到有多个中间变量的情形。 例如： y = f (u) ， u = (v) ， v =(x) 均是可导函数， y = f{[(x)]} 可导，且 则复合函数 dx dv dv du du dy dx dy = 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则
经济数学 爱浙江商常碱津拉纳摩院 2.3.1复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 例1 设函数y=ncosx,求少 解：y=nc0sx可看作是由y=lnu与u=cosx复合而成。 因此 少-.恤 dx du d =(In u)'(cosx)' =（←sin对=-s0 =-tanx cosx 例2 设函数y=V-x2,求少 解：y=V1-x2可看作是由y=Vm与u=1-x2复合而成。 因此=血.血=(Wm1-x2y=,1-2y=- dx du dx 2u 1-x2 9] 二2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 y = ln cos x dx dy 例1 设函数 ，求 。 解： dx du du dy dx dy = x x x x u tan cos sin ( sin ) 1 = − = − = − y = ln cos x 可看作是由 y = ln u 与 u = cos x 因此 = (ln u)(cos x) 复合而成。 例2 2 y = 1− x dx dy 设函数 ，求 。 解： y = 1− x 2 可看作是由 y = u 与 2 u = 1− x 复合而成。 dx du du dy dx dy 因此 = ( ) (1 ) 2 = u − x 2 1 ( 2 ) 2 1 x x x u − = − = −
经济数学 爱浙江有常碱常拉将唐院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 2.3.1复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 说明 如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的 导数，如例2的另一种解法。以后复合函数求导我们常用下 面的方法。 例2另解： 少 1 (1-x2)y dx 2V1-x2 -2x 2W1-x2 W1-x2 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的 导数，如例2的另一种解法。以后复合函数求导我们常用下 面的方法。 说明 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 例2另解： dx dy 2 2 2 1 1 2 x x x x − = − − − = (1 ) 2 1 1 2 2 − − = x x
经济数学 令浙江商常赋羊核将膨院 2.3.1复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 例3 求函数y=esinx? +e2的导数。 解：y'=esin+eT=[esin丫=eimr(sinx2y+0 =eimxcosx2.(x2)=2xeimcosx2 例4 求函数y=tan2x+arc cot-√1-x的导数： y'=(tan2x+arc cot 1-x)'=(tan2 x)+(arc cot1-x)' +(W2-y 1 =2tan.x(tanx)'- 1(-1) =2tanxsecx- (2-x)2W1-x 1 =2tanxsecx+ 2(2-x)W1-x 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 解： [ ] [ ] sin 2 2 y = e + e x [ ] 2 sin = x e (sin ) 0 sin 2 2 = e x + x cos ( ) sin 2 2 2 = e x x x sin 2 2 cos 2 xe x x = 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 3.复合函数的求导举例 求函数 sin 2 2 y e e x 例3 = + 的导数。 解： (tan cot 1 ) 2 y = x + arc − x (tan ) ( cot 1 ) 2 = x + arc − x ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 2tan (tan ) 2 − + − = − x x x x x x x x − − − = − (2 ) 2 1 1 ( 1) 2tan sec2 x x x x − − = + 2(2 ) 1 1 2tan sec2 例4 y = tan x + arc cot 1− x 2 + 求函数 的导数
经济数学 众浙江商常械事祛将摩院 2.3.1复合函数的导数 4.课堂练习 求下列函数的导数： 1)y=cos2x y'=-2sin2x 2)y=ecotx y'=-csc2 xecotx 3)y=Intan y'=cscx 2 +4)y=sin3(2x-1) y'=6sin2(2x-1)cos(2x-1) 5)y=sin3x-cos4x y'=3sin2 xcosx+4sin4x 6)y=e x tan2x y'=-3e 3x tan 2x+2e sec 2x *7)y=ln(x+Vx2-1) y= x2-1 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 y = −2sin2x x y xe 2 cot = −csc y = csc x 6sin (2 1)cos(2 1) 2 y = x − x − 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.1 复合函数的导数 4.课堂练习 y 3sin xcos x 4sin4x 2 = + 1 1 2 − = x y y e x x 3 tan 2 −3 = − e x x 2 sec 2 −3 2 + 求下列函数的导数： 1） y = cos 2x x y e cot 2） = 2 ln tan x 3） y = sin (2 1) 3 4） y = x − 5） y sin x cos4x 3 = − 6） y e x x tan 2 −3 = 7） ln( 1) 2 * y = x + x − + +
经济数学 浙江商業碱素核粥，墨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorce 2.3.2隐函数的导数 1.隐函数的概念 把一个由二元方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x) 称为隐函数。 例如：由方程x2+y2=9(y≥0) 所确定的关系为y关于x的隐函数。 把因变量y写成自变量X的显式表达式y=f(x) 这样的函数称作显函数。 9 2.3复合函数与隐函数的导数
经济数学 把一个由二元方程 F(x, y) = 0 所确定的函数 y = f (x) 称为隐函数。 9 ( 0) 2 2 例如：由方程 x + y = y 所确定的关系为 y 关于 x 的隐函数。 2.3 复合函数与隐函数的导数 2.3.2 隐函数的导数 1.隐函数的概念 把因变量 y 写成自变量 x 的显式表达式 y = f (x) 这样的函数称作显函数