24.2垂定理
问题情境 赵州桥主桥拱的半径是多少? 问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形它的跨度(孤所对的弦的长)为374m拱高(孤的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？
活动一 实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论? 可以发现: 圆是轴对称图形,任何一条 直径所在直线都是它的对称轴
实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条 直径所在直线都是它的对称轴．
思考 如图,AB是⊙o的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足 为E (1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么2 (1)是轴对称图形.直径CD所在 的直线是它的对称轴 (2)线段:AE=BE 重合,点A与点B重合,AE与BE重合ACAD4◇/1 弧:AC=BC 把圆沿着值径ΦD折叠时,CD两侧的两个半圆 B 分别与BC合
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足 为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E （1）是轴对称图形．直径CD所在 的直线是它的对称轴 （2）线段：AE=BE 弧： AC=BC 把圆沿着直径 AD=BD CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、 分别与 、 重合。 AC AD BC B D
AE=BE AC=BC AD即直径CD平分弦AB, 并且平分A&ACB 垂径定理:垂直于弦的直径平分 弦,并且平分弦所对的两条弧 A B 推论:平分弦(不是直径)的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ③AE=BE L 由①CD是直径 可推得 ④AC= 何语言事 ②cD⊥AB 题 MAD 由QP是 可推得② CDRDAB ③AE= ④AC=BC ADE BD
· O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧． AE＝BE， AC=BC AD=BD 即直径CD平分弦AB， 并且平分 AB及 ACB ◼由① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ③AE = BE ⌒ ⌒ ④AC = BC⌒ ⌒ ⑤AD = BD ③AE = BE ◼由①CD是直径 可推得 ②CD⊥AB ⑤AD = BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC
辨析定理的应用条件 下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件? (2) (3) (5) (6)
辨析定理的应用条件： 下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件? O (1) O (2) O (3) (4) O (5) O (6)
解决求赵州桥拱半径的问题 如图,用A示主桥拱,设所在圆的圆心为0,半 径为R.经过圆心o作弦AB的垂线OC,D为垂足, oC与AB相交于点D,根据前面的结论,D是AB的中 点,C是A的中点,CD就是拱高 C 在图中AB=374,CD=72, D A B AD=-AB=-×37.4=18.7 2 R OD= OC-CD= R 在R么D中,由勾股定理,得 OA2= AD2 即R2=DDP2+(R-7.2)解得:R≈27.9(m) 赵州桥的主桥拱半径约为279m
解得：R≈27．9（m） 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2） 2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2 = AD2 + OD2 OD = OC－CD = R－ 7.2 在图中 AB=37.4，CD=7.2， B O D A R C AB 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中 点，C是 AB的中点，CD就是拱高． A B AB 37.4 18.7 2 1 A B 2 1 A D = = =
动 练习 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心 到解的距为3,求O的半径 1.1 .AE==AB==×8=4 22 在Rt△AO中 0A2=5E2+AE2 OA=VOE+AE=v3+42=5 cm 答:⊙O的半径为5cm
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． O · A B E 练习 答：⊙O的半径为5 cm。 Rt AO E 在 △ 中 8 4 2 1 A B 2 1 A E = = = 解： O E ⊥ A B 2 2 2 O A = O E + A E O A O E A E 3 4 5 c m 2 2 2 2 = + = + =
2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等 的 两条弦,0D⊥ABD,OE⊥AC于E,求证四 边 0D⊥ABAB⊥AC 形ADOE是正方形EAD=∠ODA=90 四边形ADoE为矩形AE=ACAD=1AB 又∵Ac=AB AE= AD 四边形ADOE为正方形。E
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等 的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四 边 形ADOE是正方形． D ·O A B C E 又 ∵AC = AB ∴ AE = AD ∴ 四边形ADOE为正方形。 证明： O E⊥ A C O D ⊥ A B A B ⊥ A C OEA= EAD= ODA= 9 0 A B 2 1 A C A D 2 1 四边形ADOE为矩形，AE = =
活动三练习 3、在直径是20cm的⊙o中,AB的度数是60° 那么弦AB的弦心距是5√3cm
D A B O 3、在直径是20cm的⊙O中，AB 的度数是60° ， 那么弦AB的弦心距是 5 3 cm 。 练习