应用案例 案例1【电蓬】电路中某点处的电流是通过该点处的电量？关于封间！的瞬时变 化率，如果一电路中的电最为9=户+：， ()求其电波函数0。 2②【=3时的电流是多少？ 3》什么时候电流为28. 容案： -9 解(1) d =(2+y=(ry+0-32+1: 2) 3)=(3°+l0川=3×32+1=28： 3) 解方程0-28.即32+1-28.得1=3 案例2制冷效果】某电器厂在对冰箱（冷后断电测试其制冷效果，‘小时后冰箱的温 24 度为00？+720 T= 。问冰箱湿度T关于时间F的变化率是多少？ 容案： 解冰箱溜度T关于时间「的变化率为 -20y=( 2y-(20y=20050+-2x005-0 dh0.05+1 0.05+1 (0.05r+1 2 (0.051+17 案例3【电阻中电流与电压的关系】在电容器两端加正弦电流电压 出，=U。m(+到，求电流。 容案1 复合函数的求导法则 解因为
应用案例 案例 1 [电流] 电路中某点处的电流 是通过该点处的电量 关于时间 的瞬时变 化率，如果一电路中的电量为 ． (1) 求其电流函数 ； (2) 时的电流是多少？ (3) 什么时候电流为 28． 答案 ： 解 （1） ( ) dq i t dt = = ( 3 t t + ) 3 = + （ ) t t ( ) 2 = + 3 1 t ； (2) i(3) = 2 3 (3 1) t t + = 2 = + = 3 3 1 28 ； (3) 解方程 i t( ) 28 = ，即 2 3 1 28 t + = ，得 t = 3 ． 案例 2 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果， 小时后冰箱的温 度为 ．问冰箱温度 关于时间 的变化率是多少？ 答案 ： 解 冰箱温度 T 关于时间 t 的变化率为 dT dt = 2 ( 20) 0.05 1 t t − + 2 ( ) (20) 0.05 1 t t = − + 2 2(0.05 1) 2 0.05 0 (0.05 1) t t t + − = − + 2 2 (0.05 1) t = + 案 例 3 [ 电 阻 中 电 流 与 电 压 的 关 系 ] 在电容器两端加正弦电流电压 ，求电流 . 答案 ： 解 因为 复合函数的求导法则
sC吃 CW.sin(=CW.oco+U =1sm+ 其中CU。=/是电流的蜂值《最大值)，称叛幅，相位 =+ 2.由 4=U.sa+), oCU.so+p+)」 I- -I.sin(ox+a). 从而可知，电容器上电流与电压有下列关系： (1)电流与电压“是同频率的正弦波： 令 (2)电流比电压4：相位提前2： (3)电压峰值与电流峰值之比为 1 电工中称C)为容抗（容性电抗）。 案例4[发动机的效率】一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的 效案P《)与汽车的速度”（单位：ka/N之间的关系为P=0763-0.0004w.日 发动机的最大效率是多少？ 答案： 解 求发动机的最大效率P大，即求函数P=0.768r-0.00004r的最大值.先求极 =0.768r-000004ry=0.768-0.00012r 值点.d d2=0 令r,得v=O(单位：k)。由实际利圈知，此时发动机的效率最大，最大 效率为
dt du i C c = [ sin( )] = + C U t m [ cos( )] = + C U t m ) 2 sin( = CUm t + + = I sin(t +) m 其中 m m CU = I 是电流的峰值（最大值），称振幅，相位 2 = + ．由 u =U sin(t +) c m ， i = ) 2 sin( CUm t + + = I sin(t +) m ， 从而可知，电容器上电流与电压有下列关系： （1）电流 i 与电压 u 是同频率的正弦波； （2）电流 i 比电压 c u 相位提前 2 ； （3）电压峰值与电流峰值之比为 CU C U I U m m m m 1 = = ， 电工中称 C 1 为容抗（容性电抗）． 案例 4 [发动机的效率] 一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的 效率 （%）与汽车的速度 (单位：km/h) 之间的关系为 ．问 发动机的最大效率是多少？ 答案 ： 解 求发动机的最大效率 p最大 ，即求函数 3 p = 0.768v − 0.00004v 的最大值．先求极 值点． d 3 2 0.768 0.00004 0.768 0.00012 d p v v v v = − = − （ ） ， 令 d 0 d p v = ，得 v = 80 (单位：km/h) ．由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大 效率为
80)41s) 案例5[最大输出功率]设在电路中，电源电动势为E,内阻为，《E。r均为常量)， 问负载电阻R多大时，输出功率P最大？（图2.3.6） 容案： 解消耗在电阻R上的功率P一产R,其中I是回路中的电流，由以姆定律如 /= P= E'R R+F,所以(R+r(0<R<四) dp =0 要使P最大，应使R,即 (R+r(-R)=0 dp 得R=r P=Bi 此时，4R 由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在Q,)内部取得，所以必在P的唯一 P= E 驻点R=”处取得。因此，当R=r时，输出功率最大为4R
（ ） 41 p 80 (% ) 案例 5 [最大输出功率]设在电路中，电源电动势为 E，内阻为 r,（E，r 均为常量）， 问负载电阻 R 多大时，输出功率 P 最大？（图 2.3.6） 答案 ： 解 消耗在电阻 R 上的功率 P I R 2 = ，其中 I 是回路中的电流，由欧姆定律知 R r E I + = ，所以 2 2 (R r) E R P + = (0 R ) . 要使 P 最大，应使 = 0 dR dP ，即 = dR dP ( ) 0 ( ) 3 2 − = + r R R r E 得 R = r 此时， R E P 4 2 = 由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在 (0,) 内部取得，所以必在 P 的唯一 驻点 R = r 处取得．因此，当 R = r 时，输出功率最大为 R E P 4 2 = ．