应用案例 案例1【第二半宙速度]地球对物体的引力P与物体的质量网以及物体离地心的 gR F== 距离8之间的关系为 g,其中8是重力如速度，R为地球半径.验证：如 果物体以%≥V2g求 的初速度发射，则水远不会返国地球 答案： 0= 解由牛顿第二定律F=和，其中由，有 F= dsdd山s_dr. 三团 dr dsd山ds 放有 R 型 ds 变量分离，得 dr=-gR'sds 两边积分 ∫d=-gR∫d +C 得 25 将条作=R,=代入上试，得C=-欢 1 即 vi2gR -+-2gR 2gR 由此可见，当￥很大时，等很小，即当%≥V2gR=12/)(我们称 =11.2/s为第二字宙速度)时，速度'水述大于0，所以物体水远不会返日地而
应用案例 案例 1 [第二宇宙速度] 地球对物体的引力 与物体的质量 以及物体离地心的 距离 之间的关系为 ，其中 是重力加速度， 为地球半径．验证：如 果物体以 的初速度发射，则永远不会返回地球 答案 ： 解 由牛顿第二定律 F = ma ，其中 dt dv a = ，有 v s v m t s s v m t v F = m = = d d d d d d d d ， 故有 2 2 d d s R mg s v mv = − ， 变量分离，得 vdv gR s ds 2 −2 = − ， 两边积分 vdv gR s ds 2 −2 = − ， 得 C s v gR = + 2 2 2 ， 将条件 s = R 、 0 v = v 代入上式，得 2 0 1 2 C v gR = − ，即 v gR s gR v 2 2 2 0 2 2 = + − ． 由此可见，当 s 很大时， s gR2 2 很小，即当 0 v gR km s = 2 11.2( / ) （我们称 v0 = 11.2km/s 为第二宇宙速度）时，速度 v 永远大于 0，所以物体永远不会返回地面．
米例2[环境污染目题]某水塘原有50000吨清水（不含有害杂质），从时间=0开 始，含有有害桑质%的浊水流入该水糖，渣入的速度为2吨/分，在塘中充分湿合（不考 虑沉淀)后又以2纯/分的速度流出水塘。月经过多长时间后糖中有害物质的浓度达到 4%9 容案： 2) 解设在时刻1墙中有害物质的含量为Q0),此时塘中有害物质的浓度为S0000,于是 有 do d!一单位时间内有害物质的变化量 =(单位时间内流进塘内有害物质的量) -(单位时问内流出塘的有害物质的量)， d.5x2-00x2--00 印 d100 50000 1025000 上式是可分离变量方程，分离变量并积分得 00)-2500=Ce2 由初始条件1=0，Q-0得C=-2500,放 g01-25nl-ea 塘中有害物质浓度达到4%时，应有Q=50000×49%=2000(吃，这时1应满足 2000=25001- 由此解得1影4023G(分)=6706（小时），即经过6706小时后，塘中有害物质浓度达 -m00)=2500 到%，由于一 糖中有害物质的最终浓度为% 案例3[刑率债察中死亡时间的鉴定]牛懒冷却定律指出：物体在空气中冷卸的速度与 物体温度和空气温度之差成正比，现将牛领冷却定律应用于刑事债察中死亡时间的鉴定，当
案例 2 [环境污染问题] 某水塘原有 吨清水(不含有害杂质)，从时间 开 始，含有有害杂质 的浊水流入该水塘．流入的速度为 2 吨／分，在塘中充分混合(不考 虑沉淀)后又以 2 吨／分的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到 ? 答案 ： 解 设在时刻 t 塘中有害物质的含量为 Q(t) ，此时塘中有害物质的浓度为 ( ) 50000 Q t ，于是 有 t Q d d =单位时间内有害物质的变化量 =(单位时间内流进塘内有害物质的量) -(单位时间内流出塘的有害物质的量)， 即 ( ) ( ) 10 25000 1 2 50000 2 100 5 d d Q t Q t t Q = − = − ， 上式是可分离变量方程，分离变量并积分得 ( ) 25000 2500 t Q t Ce − − = . 由初始条件 t = 0，Q = 0 得 C = −2500 ，故 ( ) = − − 25000 2500 1 t Q t e . 塘中有害物质浓度达到 4% 时，应有 Q = 50000 4% = 2000 (吨)，这时 t 应满足 = − − 25000 2000 2500 1 t e ． 由此解得 t 40236 (分) = 670.6 (小时)，即经过 670.6 小时后，塘中有害物质浓度达 到 4% ，由于 lim ( ) = 2500 →+ Q t t ，塘中有害物质的最终浓度为 5%． 案例 3 [刑事侦察中死亡时间的鉴定]牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与 物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．当
一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的7℃按照牛顿冷卸定律开始下降，如果两个小时后 尸体温度变为35℃，并且假定圆围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间 的变化规律.又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，都么谋杀是何时发生 的t 容案： dH dH 解设尸体的置度为H0,其冷却速度为山，根据题意。山=-H-20),即 得微分方程 dH d =-k(H-20) H(0)=37 (6-23) 其中k>0是常数，分离变量并求解得 H-20=Ce 代入初值条件HO)=37,求得C=17.于是得该初值问愿的解为 H-20+17e 为求出长值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条作，有 35-20+17e2 求符k*0.063,于是温度函数为 H=20+17ea0 (6-240 将H=30代入式你-20聚解，有行e 10 ,即得84（小时） 于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体技发现前的84小时，即8小时24分钟，所 以谋杀是在上午7点38分发生的
一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 ℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后 尸体温度变为 35℃，并且假定周围空气的温度保持 20℃不变，试求出尸体温度 随时间 的变化规律．又如果尸体发现时的温度是 30℃，时间是下午 4 点整，那么谋杀是何时发生 的？ 答案 ： 解 设尸体的温度为 H (t) ，其冷却速度为 t H d d ，根据题意， t H d d = −k(H − 20) ，即 得微分方程 ( ) ( ) d 20 d 0 37 H k H t H = − − = ， (6-23) 其中 k 0 是常数．分离变量并求解得 kt H Ce− − 20 = ． 代入初值条件 H(0) = 37 ，求得 C =17 ．于是得该初值问题的解为 kt H e − = 20 +17 ． 为求出 k 值，根据两小时后尸体温度为 35℃这一条件，有 2 35 20 17 − = + k e ， 求得 k 0.063 ，于是温度函数为 t H e 0.063 20 17 − = + ， (6-24) 将 H = 30 代入式(6-24)求解 t ，有 t e 0.063 17 10 − = ，即得 t 8.4 （小时）． 于是，可以判定谋杀发生在下午 4 点尸体被发现前的 8.4 小时，即 8 小时 24 分钟，所 以谋杀是在上午 7 点 36 分发生的．
案例4[LC电路】设有一个由电阻R,自够L、电容C和电源B串联组成的刷C 中联电路，其中R,乙及C为常数，电源8为交流电动势品n,这里马及0也 是常数。电路在电动势作用下，不断发生振荡，试建立描述电路中点振动的微分方程。 容案1 解设电路中的电流为)，电容器极板上的电量为9=q)。 两极板间的电压为， 自感电动劳为：。由电学知道 =-gE=-L 由回路电压定律，得 E-1-9-B=0 图6-3 Lcd+Rc恤 h +=Eo sin on 即 这就是串联电路的振汤方程， 它是一个关于表知函数的二阶常系数线性事齐次方程。它描述了在交流电压作用下， C电路中的点振落，这种振荡称为强迫嚴荡， 运用求解二阶常系数线性非齐次方程的方法，可以得到上述方程的解
案例 4 [RLC 电路] 设有一个由电阻 、自感 、电容 和电源 串联组成的 RLC 串联电路，其中 、 及 为常数，电源 为交流电动势 ，这里 及 也 是常数．电路在电动势作用下，不断发生振荡，试建立描述电路中点振动的微分方程． 答案 ： 解 设电路中的电流为 it() ,电容器极板上的电量为 q q t = ( ) ，两极板间的电压为 c u ， 自感电动势为 EL ．由电学知道 dq d i t = ， c q u C = , L di E L dt = − ． 由回路电压定律，得 di 0 d q E L Ri t C − − − = ， 即 2 2 0 sin c c c d u du LC RC u E t dt dt + + = ． 这就是串联电路的振荡方程． 它是一个关于未知函数 c u 的二阶常系数线性非齐次方程．它描述了在交流电压作用下， RLC 电路中的点振荡，这种振荡称为强迫振荡． 运用求解二阶常系数线性非齐次方程的方法，可以得到上述方程的解． 图 6-3