应用案例 案例1立体的体积]求由题柱面之+广=R与子+2=R所围成的立体体 积 容答案： 解由于圆柱面”+广=R与2+：2=R围成的立休关于三个坐标柱面都对称，图 1(a)出了它在第一卦限的图形. 设所围立体的体积为民在第一卦限的体积为，由对称性可知，厂=8. x2+y2=R3 a 0 图1 5-∬R2- d0,其中区城D如图10-14(b)所示，且区域D可表示为 0SxSR D. 05ySR-x 5-网R-F R-d 广- R 故所围文体的体积'=8.3
应用案例 案例 1 [立体的体积] 求由圆柱面 与 所围成的立体体 积 答案 ： 解 由于圆柱面 2 2 2 x + y = R 与 2 2 2 x + z = R 围成的立体关于三个坐标柱面都对称，图 1(a)画出了它在第一卦限的图形． 设所围立体的体积为 V，在第一卦限的体积为 V1 ，由对称性可知， V = 8V1 ． (a) (b) 图 1 而 = − D V R x 2 2 1 d ，其中区域 D 如图 10-14(b)所示，且区域 D 可表示为 D ： − 2 2 0 0 y R x x R 则 V dx R x dy R R x − = − 0 0 2 2 1 2 2 = 2 2 2 2 0 0 R R x R x y dx − − = 2 2 3 0 2 3 R R x dx R − = （ ） 故所围立体的体积 V = 8V1 = 3 3 16 R ．
案例2[薄片质量]设以原点为圆心，半径为a的平面薄圆版的帝度函数 6以x,)=之+少，求薄片的质量 容案1 解该薄片在xO面上的区域D在极坐标系下可表示为 (050s2x D:0srsa ∬ao.广do0. 案例3[械市人口密度]在对人口的统计中发现，每个城市的市中心人口密度最大.离 市中心越远，人口越稀少，密度感小，最为常见的人口密度镜型P=ce。 (每平方公里 人口数)，其中a,c为大于0的常数，r是距市中心的距离.为了确定起见，设市中心位于 坐标原点（偶，城市半经”5被市的任一点（伍功到原点的距离为1+.实 际上人口密度函数Px)=ce 已知城市中心的人口密度为r=0,P=10 距离城市中心如人口密度为 103 r=lp=- 。。试求该城市的总人口数R。 答案： 解先确定常数口，C, 05 由r0p-10:和=lp= e.可得到a=Lc=10 因此，该城市人口密度函数为
案例 2 [薄片质量] 设以原点为圆心，半径为 a 的平面薄圆板的密度函数 ，求薄片的质量 答案 ： 解 该薄片在 xOy 面上的区域 D 在极坐标系下可表示为 D ： 0 r a 0 2 则 M= x y d D ( , ) = a d r rdr 0 2 2 0 = 2 0 0 4 ] 4 1 [ r d a = 4 2 1 a ． 案例 3 [城市人口密度] 在对人口的统计中发现，每个城市的市中心人口密度最大．离 市中心越远，人口越稀少，密度越小．最为常见的人口密度模型 (每平方公里 人口数)，其中 a，c 为大于 0 的常数，r 是距市中心的距离．为了确定起见，设市中心位于 坐标原点(图 2)，城市半径 =5km．城市的任一点 到原点的距离为 r = ．实 际上人口密度函数 ． 已知城市中心的人口密度为 ， ；距离城市中心 1km 人口密度为 ．试求该城市的总人口数 ． 答案 ： 解 先确定常数 a ， c． 由 5 r = 0, = 10 ；和 5 10 r 1, e = = ．可得到 5 a =1,c =10 ． 因此，该城市人口密度函数为
1=100000g44 图2 x）=10e 因该城市是半径为「=Skm的圆形区域，即 (0srs5 D 0≤0s2x 则戴市人口数R为， ∬10erh 朵 dof 1o'rdr g学oed-r (京)oe活 -10(-e-) -10'x1-t)314159 案例4[平均利胸]设某公司竹售两类商品，睛售第一类商品x个单位和第二类商品 y个单位的利润（单位：元）按下式确定 Px,)=-(x-2002-0y-1002+5000 现已知该公司在一周内睛售第一类商品在150200之间，销售第二类商品在80广100之 间，试求销售这两种商品在一周内的平均刊刑 答案： 解因x,y的变化范围D为
图 2 5 ( ) 2 2 ( , ) 10 x y x y e − + = 因该城市是半径为 r = 5 km 的圆形区域，即 0 5 0 2 r D ： 则城市人口数 R 为 ， R= e dxdy x y D 5 ( ) 2 2 10 − + = − 2 0 5 0 5 2 d 10 e rdr r =2 ) 10 ( ) 2 1 ( 2 5 0 5 2 e d r r − − − =(- )10 5 2 r e （ ）− 5 0 =10 ( )( 1) 5 25 − − − e =10 (1 ) 5 −25 − e 314159 案例 4 [平均利润] 设某公司销售两类商品，销售第一类商品 个单位和第二类商品 个单位的利润(单位：元)按下式确定： 现已知该公司在一周内销售第一类商品在 150~200 之间，销售第二类商品在 80~100 之 间，试求销售这两种商品在一周内的平均利润． 答案 ： 解 因 x， y 的变化范围 D 为
[150≤x≤200 D 80sys100 D所占面积0.50×20·1000. 设该公司在一周内销售两种商品的平均利润为1，则 L.Pr--20-0-1mr4四o 4-20-6-1or+50w06 7高-2-20r+299 3 3000-20x-200y'+292000x 12100000 3000 =4033(元
150 200 80 100 x D y ： D 所占面积 = 50×20 = 1000． 设该公司在一周内销售两种商品的平均利润为 L ，则 L = = D P(x, y) 1 − − − − + D [ (x 200) ( y 100) 5000]d 1000 1 2 2 = − − − − + 200 150 100 80 2 2 [ ( 200) ( 100) 5000] 1000 1 dx x y dy 200 2 150 1 292000 [ 20( 200) ] 1000 3 = − − + x dx 3 200 150 1 [ 20( 200) 292000 ] 3000 = − − + x x 3000 12100000 = 4033(元)