第一章函数的极限与连线 一、函数 案例1[自由落体运动方程]在自由落体运动中，物体下落的距离S随下落时问'的变 化而变化，下落距离S与时间t 之间的函数关系为 58一解行法 其中g为重力加速度。 案例2[被形函数]在电子科学中，有大量波形函数，图1.1.2为一周期为T的锯齿 形波的图形. 解析法 此函数在一个期0，T)上可表示为 y-4s (05x<T) 案例3[股票曲线]股票在某天的价格和成交量随时间的变化常用图形表示，图1.1. 为某一股票在某天的定势图。 图形法 从股票曲线，我们可以看出这只股票当天的价格和成交量随时间的藏动情况 5.5 5.30 549 2.65 案例4[物理实验】设某 物理现象的数学关系为y=0,用实验测符时刻，)的 值，见表1,1.2
第一章 函数的极限与连续 一、函数 案例 1 [自由落体运动方程] 在自由落体运动中，物体下落的距离 S 随下落时间 t 的变 化而变化，下落距离 S 与时间 t 之间的函数关系为 1 2 2 S gt = ， 其中 g 为重力加速度． 案例 2 [波形函数] 在电子科学中，有大量波形函数，图 1.1.2 为一周期为 T 的锯齿 形波的图形． 此函数在一个周期 [0, ) T 上可表示为 h y x T = ，（0 ) x T ． 案例 3 [股票曲线] 股票在某天的价格和成交量随时间的变化常用图形表示，图 1.1.3 为某一股票在某天的走势图． 从股票曲线，我们可以看出这只股票当天的价格和成交量随时间的波动情况． 案例 4 [物理实验] 设某一物理现象的数学关系为 y = (t) ，用实验测得 i t 时刻 ( ) i t 的 值，见表 1.1.2． 解析法 图形法 图 1.1.2 解析法
表1.1.2 90 P: p。 案例5[生产利润]某一-玩具公司生产x件玩具将花费400+5（一④元，知果每 件玩具实48元，那么公司生产x件 玩具获得的净利润是多少？ 解 经过简单的分析，可以得到该公司生产x件玩具获得的净利润'为 y=48x-400+5x-4) 案例6[生产费用]某工厂生产计算机的日生产俺力为0到100台，工厂维持生产的 日固定费用为4万元，生产一台 计算机的直接费用（含材料费和劳务费）是4250元.试建立该厂日生产x台计算机的总 费用函数，并指出其定义域。 解： 设该厂日生产x台计算机的总费用为y(单位：元)，则'为日固定费用和生产x台计 算机所需芯费用之和，即 F)=40000+4250x 由于该厂每天最多能生产10台计算机，所以定义域为10≤x≤100. 案例7[飞行距离】一架飞机A中午12时从某地以400公甲/小时的速度朝北飞行，一 小时后，另一架飞机B从同 地点起飞，速度为300公里/小时，方向朝东.如果两架飞机飞行高度相同，不考虑 球表面的弧度和阻力. 问这两架飞机在时刻（飞机B起飞的时刻为0）相距多远？ 解
表 1.1.2 t 0 1 t 2 t …… m t (t) 0 1 2 …… m 案例 5［生产利润］ 某一玩具公司生产 x 件玩具将花费 400 + 5 x(x − 4) 元，如果每 件玩具卖 48 元，那么公司生产 x 件 玩具获得的净利润是多少？ 解: 经过简单的分析，可以得到该公司生产 x 件玩具获得的净利润 y 为 y = 48x − 400 + 5 x(x − 4) ． 案例 6 ［生产费用］某工厂生产计算机的日生产能力为 0 到 100 台，工厂维持生产的 日固定费用为 4 万元，生产一台 计算机的直接费用(含材料费和劳务费)是 4250 元．试建立该厂日生产 x 台计算机的总 费用函数，并指出其定义域． 解: 设该厂日生产 x 台计算机的总费用为 y （单位：元），则 y 为日固定费用和生产 x 台计 算机所需总费用之和，即 F x x ( ) 40000 4250 = + , 由于该厂每天最多能生产 100 台计算机，所以定义域为{ x 0 100 x }．． 案例 7 [飞行距离] 一架飞机 A 中午 12 时从某地以 400 公里/小时的速度朝北飞行，一 小时后，另一架飞机 B 从同一 地点起飞，速度为 300 公里/小时，方向朝东．如果两架飞机飞行高度相同，不考虑地 球表面的弧度和阻力． 问这两架飞机在时刻 t (飞机 B 起飞的时刻为 0)相距多远？ 解:
授两果飞机在1时刻相距yk,由于两架飞机分别向北向东飞行，所以1时刻两果飞机 所在 地点的选线和各自飞行的路线组成一个直角三角形，如图1.1.4所示。【时刻飞机B 飞行的更离为3001，飞机A早出发1小时，飞行的更离为400 理 有 y=√400(u+1+3002F 案例8【汽车租提】一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为 0元 加每公里收费15元. (1)试建立程用一辆该种汽车一天的租车费（单位：元）与行车路程x(单位：k加) 之间的函数关系： 20 若某人某天付了400元粗车费，何他开了多少k? 解 (1)设粗用一辆该种汽车一天的租车费为》（单位：元），则y为每天的基本粗金00 元和当天行车x公里所收费 用15x之和，即 y=200+15x (2)将400代入上式，得 400-200+15X, 解之，得x飞133（公里）. 案例9【单位阶跃函数] 单位阶跃函数是电学中一个堂田高勒。它可来示为 1,120 m)=0,1<0 案例10[单三角林冲]愁冲器产生一个单三角林冲，其波形如图1.1.8所示，电压口 与时同化≥0)的函数关系式为 一分段函数
设两架飞机在 t 时刻相距 y km，由于两架飞机分别向北向东飞行，所以 t 时刻两架飞机 所在 地点的连线和各自飞行的路线组成一个直角三角形，如图 1.1.4 所示． t 时刻飞机 B 飞行的距离为 300 t ，飞机 A 早出发 1 小时，飞行的距离为 400 ( 1) t + ，由勾股定理， 有 2 2 2 2 y t t = + + 400 ( 1) 300 ，其中 t 0． 案例 8 [汽车租赁] 一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为每天的基本租金 200 元 加每公里收费 15 元． (1) 试建立租用一辆该种汽车一天的租车费（单位：元）与行车路程 x （单位：km） 之间的函数关系； (2) 若某人某天付了 400 元租车费，问他开了多少 km? 解: (1)设租用一辆该种汽车一天的租车费为 y （单位：元）, 则 y 为每天的基本租金 200 元和当天行车 x 公里所收费 用 15 x 之和，即 y x = + 200 15 ． (2)将 400 代入上式，得 400=200+15 x ， 解之，得 x 13.3 (公里) ． 案例 9 [单位阶跃函数] 单位阶跃函数是电学中一个常用函数，它可表示为 u t( ) = 1 0 0 0 t t ， ， . 案例 10 [单三角脉冲] 脉冲器产生一个单三角脉冲，其波形如图 1.1.8 所示，电压 U 与时间 t(t 0) 的函数关系式为 一分段函数
25 4e U= 2E (-r), 0 1e(r,+o) 案例11[个人所得税] 我们如道，当个人的月收入超过一定金额时，应向国家交 纳个人所得税。收入越高，国家 征牧的个人所得税的比例也感高。即“高收入，高税收”，我国于1993年10月31日 发布的《中华人民共和国个人 所得税法》规定月收入超过800元的部分为应钠税所得额（表1.1.3仅保面了原表中前 2级的 税率) 表1.1.3 级数 全月应钠税所得额税率() 1 不超过500元部分5 2 超过500元至2000元邻分10 个人所得税一般在工资中直接扣发.若某单位所有人的月收入都不超过2800元，请建 立月收入与钠税金额之间的函数关系。 解： 设某人月收入为￥元。应交纳所得税为'元， 当0≤x≤800时，y=0 当800<x≤1300时，y=(-800)×5% 当1300<x≤2800时， y=(1300-800)×5%+(x-1300)×10% =25+(x-1300)×10% 故函数关系为
2 , [0, ] 2 2 ( ), [ , ] 2 0, ( , ) E t t E U t t t = − − + ． 案例 11 [个人所得税] 我们知道，当个人的月收入超过一定金额时，应向国家交 纳个人所得税，收入越高，国家 征收的个人所得税的比例也越高．即“高收入，高税收”．我国于 1993 年 10 月 31 日 发布的《中华人民共和国个人 所得税法》规定月收入超过 800 元的部分为应纳税所得额（表 1.1.3 仅保留了原表中前 2 级 的 税率）． 表 1.1.3 级 数 全 月 应 纳 税 所 得 额税 率 (％) 1 不超过 500 元部分 5 2 超过 500 元至 2000 元部分10 个人所得税一般在工资中直接扣发．若某单位所有人的月收入都不超过 2800 元，请建 立月收入与纳税金额之间的函数关系． 解: 设某人月收入为 x 元，应交纳所得税为 y 元． 当 0 x 800 时， y = 0 ； 当 800 x 1300 时， y = (x − 800) 5% ； 当 1300 2800 x 时， y = (1300 − 800)5% + (x −1300)10% = 25 + (x −1300)10% 故函数关系为
0 0≤x≤800 0.05x(x-800) 80040,则旅第少出知4x-40)间，出粗7200-4(x-40)间.利润为 y=200-4x-40Kx-8) 综上分析。故前利润与房价之间的函数乳 利润/间出粗间数 200(x-8). x和 图11.9两 1200-4(x-40)x-8),x>40 如果索第房价为5元/间，则应用公式y=200-4x-40Kx-)求值， 旅馆一天的利润为y=(200-4×5)×(45-8)6680(元)
0, 0 800 0.05 ( 800), 800 1300 0.1 ( 1300) 25, 1300 2800 x y x x x x = − − + ． 函数图形如图 1.1.9 所示． 若某人月工资为 1850 元，则应使用公式 y = 0.1(x −1300) + 25 求值，所交税为 y x=1850 = 0.1550 + 25 = 80 （元）． 案例 12 [旅馆定价] 一旅馆有 200 间房间，如果定价不超过 40 元/间，则可全部出 租．若每间定价高出 1 元， 则会少出租 4 间．设房间出租后的服务成本费为 8 元，试建立旅馆一天的利润与房价间 的函数关系． 解: 设旅馆的房价为 x 元/间，旅馆一天的利润为 y 元． 若 x 40 ，则旅馆出租 200 间，利润为 y = 200(x − 8)． 若 x 40 ，则旅馆少出租 4(x − 40) 间，出租了 200 − 4(x − 40) 间．利润为 y = [200 − 4(x − 40)](x − 8) ． 综上分析，旅馆利润与房价之间的函数为 200( 8), 40 [200 4( 40)]( 8), 40 x x y x x x − = − − − ． 如果旅馆房价为 45 元/间，则应用公式 y = [200 − 4(x − 40)](x − 8) 求值， 旅馆一天的利润为 y = (200 − 45) (45 − 8) =6660（元）. 利润/间出租间数 图 1.1.9 两 点式 点斜式