第四章 徽分方程 一、微分方程的微念 案例1〔曲线方程己知曲线过点(1,2)，且角线上任一点M(,》 处切线的斜率是 该点横坐标的倒爱。 求此曲线方程 解 迎 设曲线方程为少=（因），于是曲线在点M(任，》处切战的解率为在，制据题意有 9. d血x (4,1,1) 又曲线过点(1.2》，故有 yl=2 (4.1.2】 对式(4.1.1)两边积分，得 y小}=nx+c 将式(4.1.2)代入上式，得 2=ln1+C. 即C=2 故所求由线方程为 y=hx+2 案例2【白由落体运动]一质量为房的质点，在重力作用下白由下落，求其运动方程
第四章 微分方程 一、微分方程的概念 案例 1 [曲线方程]已知曲线过点(１，２)，且曲线上任一点 处切线的斜率是 该点横坐标的倒数， 求此曲线方程． 解: 设曲线方程为 ，于是曲线在点 处切线的斜率为 ．根据题意有 （4.1.1） 又曲线过点（１，２），故有 （4.1.2） 对式（4.1.1）两边积分，得 将式(4.1.2)代入上式，得 ， 即 ． 故所求曲线方程为 ． 案例 2 [自由落体运动] 一质量为 的质点,在重力作用下自由 下落,求其运动方程
解 建立坐标系如图(1)所示，坐标原点取在质点开始下落点，y触铅直向下，设在时刻 质点的位置为) 由于质点只受重力g作用。且力的方向与》轴正向相同。故由牛顿第二定律，符质 点满足的方程为 dy 州☑■牌· 世州g 即 dy e ■欧+C 方程两边同时积分，得 d 上式两边再同时积分，得 yeGG 其中C.C号是两个独立变化的任意常数 案例3[列车制动]列车在直线轨道上以20米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度 米/秒2 0. 问开始制动后要 经过多少他长时间才能把列车制住？在这段时间内列车行驶了多少路程？ 解： 记列车制动的时刻为0，设制动后1秒列车行驶了s米，由题意知。制动后列车行驶 d's 的如速度山等干-0.4 米/秒2 二阶微分方程 d's =04 (4.1.3) 初始条件为当=0时，5=0
解: 建立坐标系如图（1）所示，坐标原点取在质点开始下落点, 轴铅直向下.设在时刻 质点的位置为 , 由于质点只受重力 作用,且力的方向与 轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质 点满足的方程为 ， 即 ． 方程两边同时积分，得 上式两边再同时积分，得 其中 是两个独立变化的任意常数． 案例 3[列车制动] 列车在直线轨道上以 20 米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度 -0.4 米 秒2 ，问开始制动后要 经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？ 解: 记列车制动的时刻为 t=0，设制动后 t 秒列车行驶了 s 米.由题意知，制动后列车行驶 的加速度 2 2 dt d s 等于-0.4 米 秒2 ，即 2 2 0.4 d s dt = − ， （4.1.3） 初始条件为当 t = 0 时， s = 0， 二阶微分方程
v=4=20 市 将方程(4.1,3)两端月同时对1积分，得 )= =-0.44+C d (4 ,1,40 式(4.1.)两端对1再积分一次，得 s=-02r2+C1+C:, (4.1.50 d点=20 其中C,C都是任意常数，把条件当t0时， 入(4.1.4)式，将C=20 把10时，s0代入式(41.5)，得C1=0.于是，列车制动后的话动方程为 3=-02r2+20r, (4.1.6) 速度方程为 =-0.41+20 (4.1.7) =0 V= 因为列车刺住时速度为零，在式(4.1.7)中，令 d.得0-0.4t*20.解出 得列车从开始制动到完全利住的时间为 /s30 0.4 =50s50 再把t=0代入式(4,1,6)，得列车在制动后所行驶的路程为 =-02×50°+20×50=500m)
20 ds v dt = = . 将方程（4.1.3）两端同时对 t 积分，得 1 ( ) 0.4 ds v t t C dt = = − + ， (4 .1.4) 式(4.1.4)两端对 t 再积分一次，得 2 1 2 s t t = − + + 0.2 C C ， (4.1.5) 其中 C1，C2 都是任意常数，把条件当 t=0 时， 20 ds dt = 代入（4.1.4）式，得 C 20 1 = , 把 t=0 时，s=0 代入式（4.1.5），得 C2 ＝0．于是，列车制动后的运动方程为 2 s t t = − + 0.2 20 ， （4.1.6） 速度方程为 0.4 20 ds v t dt = = − + . （4.1.7） 因为列车刹住时速度为零，在式（4.1.7）中，令 0 ds v dt = = ,得 0=-0.4t+20，解 出 得列车从开始制动到完全刹住的时间为 20 50( ) 0.4 t s = = 再把 t=50 代入式（4.1.6），得列车在制动后所行驶的路程为 2 s m = − + = 0.2 20 50 500( ) 50