应用案例 案例1【下料问要用铁板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才怪使用料最省？ 答案： 2 解设X米，宽为》米，则其高应为少，此水箱所用材料的面积为 s=20+y2+2=20+2+3 22 y x'y (x>0y>0) -08=2-3=0 S=20-2 解上述方程组，得 x=迈，y=迈 根貂题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在区域D:X>0y>0内取 得.又两数在区域D内只有唯一的驻点(5，，因此，可以断定当x=2,y=V5时 S取得最小值，即当水箱的长为巨米，宽巨米，高巨米时。做水箱所用的村料最省。 案例2[原料采购)某公司在生产中使用A和B两种原料，己知A和B两种原料分别使 用石单位和》单位可生产)单位的产品，这里 U(xy)=8y+32x+40y-4x2-6y2 并且A凰料每单位的价值为10美元，B原料每单位的价值为4美元，产品每单位的售 价为0美元，求公可的最大利洞 答案： 解生产U(不》单位的产品的总成本为10x+4y,总收入为(x,月，从面利润函 数为 P气x,y)=40U(x,）-0x+4y) =408ry+32x+40y-4x2-6y2)-10r-4y
应用案例 案例 1 [下料问题]要用铁板做一个体积为２立方米的有盖长方体水箱，问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 答案 ： 解 设 x 米，宽为 y 米，则其高应为 xy 2 ．此水箱所用材料的面积为 ) 2 2 2( xy x xy S = xy + y + ) 2 2 2( x y = xy + + （ x 0, y 0 ） ) 0 2 2( 2 = − = x S y x ) 0 2 2( 2 = − = y S x y 解上述方程组，得 3 x = 2 ， 3 y = 2 根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在区域 D : x 0, y 0 内取 得．又函数在区域 D 内只有唯一的驻点 ( 2, 2) 3 3 ，因此，可以断定当 3 x = 2 ， 3 y = 2 时， S 取得最小值．即当水箱的长为 3 2 米，宽 3 2 米，高 3 2 米时，做水箱所用的材料最省． 案例 2 [原料采购]某公司在生产中使用Ａ和Ｂ两种原料，已知Ａ和Ｂ两种原料分别使 用 单位和 单位可生产 单位的产品，这里 并且Ａ原料每单位的价值为 10 美元，Ｂ原料每单位的价值为４美元，产品每单位的售 价为 40 美元，求公司的最大利润 答案 ： 解 生产 U(x, y) 单位的产品的总成本为 10x + 4y ，总收入为 40U(x, y) ，从而利润函 数为 P(x, y) = 40U(x, y) − (10x + 4y) 40(8x y 32x 40y 4x 6y ) 10x 4y 2 2 = + + − − − −
=320xy+1270x+1596y-160x2-240y2 P =320y+1270-320x=0 ap =320x+1596-480y=0 解得驻点(xo%)-(21.88125,17.9125 放八名月在（名：）点达到最大值。即公司的最大利淘为 P21.88125,17.91259)=28189(美元) 案例3[购物方案]小孙有0元钱，他决定川米购买两种急需物品：计算机磁盘和录 音磁带。设他购买不张磁盘，'盒录音磁带的效用函数〔所谓效用函数，就是描述人们同 时购买两种育品各方单位，》单位时满意程度的量。而当效用函数达到最大值时，人们购 物分配的方案最住，)为 U(红，)=血不+血y如累每张碱盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱， 才能达到最满意的效果？ 容案， 解这是一个条件楼值问题，既求0(：月=hx+hy在约来条件8x+10y=200之下 的极值点，应用拉格朗日乘数法，定义拉格阴日函数 L(x,y)=hx+hy+2(8x+10y-200) L,任，)=+8就=0 乙，低，3=1+10以=0 L2(x,y,)=8x+10y-200=0 解将=125，%=10 限累（红，川的实际含义，取，=2，人=10，即如果买12张腊批，10盒腿带的话， 小孙最满意
2 2 = 320x y +1270x +1596y −160x − 240y = + − = = + − = 320 1596 480 0 320 1270 320 0 x y y P y x x P 解得驻点 ( , ) (21.88125,17.9125) x0 y0 = 故 P(x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 点达到最大值，即公司的最大利润为 P(21.88125,17.9125) 28189 （美元） 案例 3 [购物方案]小孙有 200 元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录 音磁带．设他购买 张磁盘， 盒录音磁带的效用函数（所谓效用函数，就是描述人们同 时购买两种商品各 单位、 单位时满意程度的量．而当效用函数达到最大值时，人们购 物分配的方案最佳．）为 如果每张磁盘８元，每盒磁带 10 元，问他如何分配他的 200 元钱， 才能达到最满意的效果? 答案 ： 解 这是一个条件极值问题，既求 U(x, y) = ln x + ln y 在约束条件 8x +10y = 200 之下 的极值点,应用拉格朗日乘数法,定义拉格朗日函数： L(x, y,) = ln x + ln y + (8x +10y − 200) 8 0 1 ( , ,) = + = x L x y x 10 0 1 ( , ,) = + = y L x y y L (x, y,) = 8x +10y − 200 = 0 解得 x0 = 12.5， y0 = 10 根据 (x., y) 的实际含义，取 x0 = 12 ， y0 = 10 ，即如果买 12 张磁盘，10 盒磁带的话， 小孙最满意．
案例4【求体积求由圆性面之+》=R2与2+：2=R2所国成的立体体积 容案： 解由于题柱面产+少一R与x之+：2=R围成的立体关于三个坐标柱面都对称，图 10-14(a》画出了它在第一并限的图形. 设所围立体的体积为？在第一卦限的体积为，白对称性可知，P=8. + (a) d 图10-14 -∬R-r 而 d口，其中区域D如图10-14b)所示，且区规D可表示为 0Sx≤R D. 0sys R-x 则 片-R- fIR-Fb FR-xd=2R 16 R' 放所围立体的体积'=8=3
案例 4 [求体积] 求由圆柱面 与 所围成的立体体积 答案 ： 解 由于圆柱面 2 2 2 x + y = R 与 2 2 2 x + z = R 围成的立体关于三个坐标柱面都对称，图 10-14(a)画出了它在第一卦限的图形． 设所围立体的体积为 V，在第一卦限的体积为 V1 ，由对称性可知， V = 8V1 ． (a) (b) 图 10-14 而 = − D V R x 2 2 1 d ，其中区域 D 如图 10-14(b)所示，且区域 D 可表示为 D ： − 2 2 0 0 y R x x R 则 V dx R x dy R R x − = − 0 0 2 2 1 2 2 = R x y dx R x R 2 2 0 0 2 2 − − = 3 0 2 2 3 2 R x dx R R − = 故所围立体的体积 V = 8V1 = 3 3 16 R ．
案例5[薄片质量]设以原点为圆心，半径为：的平面薄圆版的密度函数 6武x,》=2+少，求将片的质量. 答案： 0s8≤2m 解 该薄片在O面上的区城D在极坐标系下可表示为D: 0srsa ∬ao广of 案例6[煤市人口密度]在对人口的统计中发现，每个戴市的市中心人口密度最大，离 市中心越近，人口越稀少，密度感小.最为常见的人口密度模型Pc? (每平方公里人 口数)，其中a,C为大于0的常数，？是距市中心的距离，为了确定起见，设市中心位于坐 标螺点（图101），藏巾半轻”=.城市的任一点（无》到原点的离为T =层+y 实际上人口密度函数风无，川=c0 ,己知城市中心的人口密度为 103 r=0,p=10 P■1.P= ；距离城市中心1km人口密度为 命。试求该城市的总人口 数R 容案： 解先确定常数口，C 10 由P=0p=l0.r=lp= e.可得到4=Lc=103 因此，该城市人口密度函数为 4 1000 5-100000w' 图10-15
案例 5 [薄片质量]设以原点为圆心，半径为 a 的平面薄圆板的密度函数 ，求薄片的质量． 答案 ： 解 该薄片在 xOy 面上的区域 D 在极坐标系下可表示为 D ： 0 r a 0 2 则 M= x y d D ( , ) = a d r rdr 0 2 2 0 = 2 0 0 4 ] 4 1 [ r d a = 4 2 1 a ． 案例 6 [城市人口密度]在对人口的统计中发现，每个城市的市中心人口密度最大．离 市中心越远，人口越稀少，密度越小．最为常见的人口密度模型 (每平方公里人 口数)，其中 a，c 为大于 0 的常数，r 是距市中心的距离．为了确定起见，设市中心位于坐 标原点(图 10-15)，城市半径 =5km．城市的任一点 到原点的距离为 r = ．实际上人口密度函数 ． 已知城市中心的人口密度为 ， ；距离城市中心 1km 人口密度为 ．试求该城市的总人口 数 答案 ： 解 先确定常数 a ， c． 由 5 r = 0, = 10 ； 5 10 r 1, e = = ．可得到 5 a =1,c =10 ． 因此，该城市人口密度函数为 图 10-15
\xy）=10e2 因该城市是以半径为F=5的圆形区城，即 [0srs5 10≤8s2m 城市人口数为骨，则 川10'ert f"dof10'entr 分[oed- 2 =(京103[e]8 =10'(-e-) =10'm1-e)=314159
5 ( ) 2 2 ( , ) 10 x y x y e − + = 因该城市是以半径为 r = 5 km 的圆形区域，即 0 5 0 2 r D ： 城市人口数为 R ，则 R= e dxdy x y D 5 ( ) 2 2 10 − + = − 2 0 5 0 5 2 d 10 e rdr r =2 ) 10 ( ) 2 1 ( 2 5 0 5 2 e d r r − − − =(- )10 5 [ ] 2 r e − 5 0 =10 ( )( 1) 5 25 − − − e =10 (1 ) 5 −25 − e 314159