第五章傅里叶级数与拉普拉斯变换 一、网期为2灯的周期函数展开成傅里叶级数 案例1〔陈冲矩彩波】案例中陈冲矩形波的信号函数八)是以2江为周期的周期函数， 它在一元，)的表达式为 -京≤x<0 05x<开 图(1) 如图(1)所示，求此函数的博里叶级数展开式。 解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下 因为函数)是奇函数，所以f()小os瓜是奇函数，因此f)os瓜在（一不，上 积分为零，于是 a.=0(n=0,l2-）」 么-2nmd-2 sn nds (ow 2（0-0sm） 4 2-- n=135 0 n=2.4.6 于是，函数八)的傅里叶级数熙开式为 =6写3+写5x++2m2-r+叫 由牧敛定理知函数)在←0<x<+,x士k红，k=0,士1,2小范围内与级数相等
第五章 傅里叶级数与拉普拉斯变换 一、周期为 2 的周期函数展开成傅里叶级数 案例 1[脉冲矩形波] 案例中脉冲矩形波的信号函数 f (x) 是以 2 为周期的周期函数， 它在 [− , ) 的表达式为 − − = x x f x 0 0 1, 1, ( ) ， 图（1） 如图(1)所示．求此函数的傅里叶级数展开式． 解: 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下. 因为函数 f (x) 是奇函数，所以 f x nx ( )cos 是奇函数，因此 f x nx ( )cos 在 (− , ) 上 积分为零．于是 an = 0 (n = 0,1,2, ) ， = 0 ( )sin d 2 b f x nx x n = 0 sin d 2 nx x (1 cos ) 2 cos 2 1 0 n n nx n = − = − 2,4,6 1,3,5 0 4 [1 ( 1) ] 2 = = = − − = n n n n n . 于是，函数 f (x) 的傅里叶级数展开式为 f (x) = sin( 2 1) ] 2 1 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 [sin 4 − + − + + + + n x n x x x 由收敛定理知函数 f (x) 在 (− x +, x k , k = 0,1,2) 范围内与级数相等, 即
(sm x+ 1 fx)=开 fkg-0)+fkg+0=-I+1=0 当x■灯时，俏里叶级数收敛于 2 2 此函数的傅里叶级数收敛情况如图(2)所示。从图(1)与图(2)可以比较出函数八) 与其傅里叶级数的差异 图(2) 当n分别取1,2,36时，俏里叶级数的部分和5（四图形与函数）的方波通近的情 况，类似于本章开始演示的图形。 案例2[跳冲三角信号]已如林冲三角信号八)是以2x为周期的周期函数，它在 【-石，)的表达式为 -x+1,-厅≤x<0 f(x)- x+l0≤x<R 如图(3)所示，将函数八)展开成博里叶级数 解： 因为函数国是偶函数，所以()n是奇函数，因此它在（一不，）上积分为零。 于是6=0 (n=12 个个 图(3) 4a,=是e=e+a=+=+2
f (x) = sin( 2 1) ] 2 1 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 [sin 4 − + − + + + + n x n x x x 当 x = k 时，傅里叶级数收敛于 0 2 1 1 2 ( 0) ( 0) = − + = f k − + f k + ． 此函数的傅里叶级数收敛情况如图（2）所示．从图（1）与图（2）可以比较出函数 f (x) 与其傅里叶级数的差异． 图（2） 当 n 分别取 1,2,3,6 时，傅里叶级数的部分和 s (x) n 图形与函数 f (x) 的方波逼近的情 况，类似于本章开始演示的图形． 案例 2 [脉冲三角信号] 已知脉冲三角信号 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，它在 [− , ) 的表达式为 1, 0 ( ) 1, 0 x x f x x x − + − = + ， 如图（3）所示，将函数 f (x) 展开成傅里叶级数． 解: 因为函数 f (x) 是偶函数，所以 f x nx ( )sin 是奇函数，因此它在 (− , ) 上积分为零． 于是 bn = 0 ( 1, 2, ) n = 图（3） = 0 0 ( )d 2 a f x x = + 0 ( 1)d 2 x x ( 1) 2 1 0 2 = + = + x
()cod n=135… 0 月=2,4.6… 由于函数八x在一风，+0)上连续，所以 f()=+-(cosx+cos 05x 32+ (-0x<+0 案例3[曙齿脉冲信号】设据齿脉冲信号函数()的周别为2江，它在一京，可)的表达 式为 = -T≤x<0 0≤x<河 如图《4)所示.将它展开成傅里叶级数 解： 函数)为非奇丰偶函数。计算傅里叶系数如下， a上e- [0月=2.4.6
= 0 ( ) cos d 2 a f x nx x n 0 0 cos sin 1 sin 2 ( 1) cos d 2 = + = + + nx nx n x nx n x nx x = − = = − − = 2,4,6 1,3,5 0 4 [( 1) 1] 2 2 2 n n n n n ． 由于函数 f (x) 在 ( , ) − + 上连续，所以 f (x) = ) 5 cos5 3 cos3 (cos 4 1 2 + − + 2 + 2 + x x x (− x +) . 案例 3 [锯齿脉冲信号] 设锯齿脉冲信号函数 f (x) 的周期为 2 ，它在 [− , ) 的表达 式为 − = x x x f x 0 0 , 0, ( ) ， 如图（4）所示．将它展开成傅里叶级数． 解: 函数 f (x) 为非奇非偶函数．计算傅里叶系数如下． 2 0 0 0 1 1 1 ( ) 2 2 x a f x dx xdx − = = = = （ ） ， 2 0 0 1 1 1 1 ( )cos cos sin cos n x a f x nxdx x nxdx nx nx n n − = = = + 2 2 0 2,4,6 1 (cos 1) 2 1,3,5 n n n n n = = − = − =
么-上aama-a(w+中n cosms)-(1)(n=1.2.3.) 于是，函数()的傅里叶级数展开式为 fm)=至-2esx+ 4露 3cos3x*5cos5x+..) +6mx-2功2x+503x+) (-0<x<+场x*(2k-10mkeZ)
2 0 0 1 1 1 1 ( )sin sin cos sin n x b f x nxdx x nxdx nx nx n n − = = = − + 1 1 ( 1) ( cos ) ( 1,2,3, ) n n n n n + − = − = = ， 于是，函数 f (x) 的傅里叶级数展开式为 sin 3 ) 3 1 sin 2 2 1 (sin cos5 ) 5 1 3 cos3 1 (cos 2 4 ( ) 2 2 + − + + = − + + + x x x x x f x x (− x + x (2k −1) k Z ）