43考点及常见题型精解 4.3.1本章考点 本章考点有以下几个方面： (1)渐开线的五大特性； (2)齿廓实现定角速比的条件： (3)正常齿制渐开线标准直齿轮、斜齿轮几何尺寸计算； (4)变位齿轮、斜齿轮、锥齿轮传动的特点 (5)斜齿轮、锥齿轮当量齿轮、当量齿数、最少齿数； (6)齿轮的切削加工原理、方法，根切现象。 4.3.2常见题型精解 例4.1新开线齿廓上各点的压力角是不同的，（基圆）上的压力角为零，（齿顶圆）上的压力角 最大，新开线齿轮（分度圆）上的压力角取为标准值。 【评注】渐开线齿廓上某点的速度方向与该点的法线方向之间的夹角称为该点的压力角。压力角的大小反映了渐开线齿廓啮合 时相互作用的正压力与速度方向方向之间夹角的大小。其大小c0sc,=,/”:与渐开线上该点离基圆的距离有关，离基圆越远，则 压力角越大。 例4.2已知一正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的齿数Z=26,模数m=3mm,a=20°，则其 齿廓在分度圆处的曲率半径(P=13.33mm),在齿处的曲率半径(a.一20.51mm)。 【评注】渐开线上任意点处的公法线必与基圆相切，该点与切点之间的距离就是该点的曲率半径。正常齿制新开线标准直齿 圆柱齿轮的分度圆半径：”=mz/2=39mm；齿顶圆半径：。=y+m=39+3=42mm；基圆半轻 ,=rc0sa=39×c0s20°=36,65mm。分度圆处的曲率半径：；齿顶圆处的曲率半径： 。=2-不=2-366=2051mm.要记住的是，这条线即是该点的公法线0=-云=9-366-13,3m咖、 是基圆的切线、同时又是齿廓啮合时正压力的作用方向。 例4.3分度圆大小一定的渐开线齿轮的齿廓形状，决定于齿轮参数（压力角）的大小；而 渐开线标准齿轮分度圆上的齿厚，取决于参数（模数）的大小。 【评注】渐开线齿廓的形状决定于基圆的大小，当分度圆半径。=？c0s心决定于压力角c的大小。注意题中并没有说这是 标准渐开线齿轮的齿廓，而是一般渐开线齿廓。新开线标准齿轮分度圆上的齿厚5=2是由模数决定的。 例4.4一对渐开线标准直齿圆柱齿轮，按标准中心距安装时，其顶隙和侧隙分别为(c*)、 (零).两轮的（节）圆将分别与其（分度）圆相重合；两轮的啮合角将等于（压力）角。 例4.5一个采取了正变位修正的直齿圆柱齿轮与同样基本参数的标准齿轮相比较，其（齿顶）圆及 (齿根)圆变大了；而（分度）圆及（基）圆的大小则没有变。 【评注】一些初学者容易认为只有在切制标准直齿轮产生根切时，即在切制齿数z2“的齿轮也进行变位修正。标准齿轮虽然具有设计简 单、互换性好等一系列优点，但也暴露出许多不足：①标准齿轮的齿数不能少于最少齿数一，否则用范成法加工时，产生根切， 使齿轮传动的重合度降低，并降低轮齿的抗弯强度；②标准齿轮不适用于实际中心距口不等于标准中心距Q的场合。当口'>Q 时，虽仍保持定角速比，但会出现过大的齿侧间隙，重合度减小；当父<Q时，根本无法安装。③一对互相啮合的标准齿轮，小齿 轮齿廓曲渐开线曲率半径小，齿根厚度小于大齿轮齿根厚度，抗弯强度弱低。 如图4.3所示，变位齿轮与标准齿轮的齿廓都是在同一基圆形成的渐开线，只是截取的线段不同。正变位时，取远离基圆的渐 开线，所以齿顶圆和齿根圆均变大；负变位时取靠近基圆的渐开线，齿顶圆和齿根圆均变小。变位前后，因齿轮的模数与压力角仍与 刀具相同，所以齿轮的模数、压力角、齿距、分度圆均不变
4.3 考点及常见题型精解 4.3.1 本章考点 本章考点有以下几个方面： （ 1）渐开线的五大特性； （ 2）齿廓实现定角速比的条件； （ 3）正常齿制渐开线标准直齿轮、斜齿轮几何尺寸计算； （ 4）变位齿轮、斜齿轮、锥齿轮传动的特点 （ 5）斜齿轮、锥齿轮当量齿轮、当量齿数、最少齿数； （ 6）齿轮的切削加工原理、方法，根切现象。 4.3.2 常见题型精解 例 4.1 渐开线齿廓上各点的压力角是不同的， （基圆） 上的压力角为零，（ 齿顶圆） 上的压力角 最大，渐开线齿轮（分度圆） 上的压力角取为标准值。 【 评注 】渐开线齿廓上某点的速度方向与该点的法线方向之间的夹角称为该点的压力角。压力角的大小反映了渐开线齿廓啮合 时相互作用的正压力与速度方向方向之间夹角的大小。其大小 与渐开线上该点离基圆的距离有关，离基圆越远，则 压力角越大。 例 4.2 已知一正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的齿数 Z=26 ，模数 m=3mm ，α =20 °，则其 齿廓在分度圆处的曲率半径( 13.33mm )，在齿顶处的 曲率半径( 20.51mm) 。 【 评注 】渐开线上任意点处的公法线必与基圆相切，该点与切点之间的距离就是该点的曲率半径。 正常齿制渐开线标准直齿 圆柱齿轮的分度圆半径： ；齿顶圆半径： ； 基圆半径 。分度圆处的曲率半径： ；齿顶圆处的曲率半径： 。要记住的是，这条线即是该点的公法线 、 是基圆的切线、同时又是齿廓啮合时正压力的作用方向。 例 4.3 分度圆大小一定的渐开线齿轮的齿廓形状， 决定于齿轮参数（压力角） 的大小；而 渐开线标准齿轮分度圆上的齿厚，取决于参数 （模数） 的大小。 【 评注 】渐开线齿廓的形状决定于基圆的大小，当分度圆半径 决定于压力角 的大小。注意题中并没有说这是 标准渐开线齿轮的齿廓，而是一般渐开线齿廓。渐开线标准齿轮分度 圆上的齿厚 是由模数决定的。 例 4.4 一对渐开线标准直齿圆柱齿轮，按标准中心距安装时，其顶隙和侧隙分别为（ c*m）、 （零）.两轮的 （节） 圆将分别与其 （分度） 圆相重合；两轮的啮合角将等于 （压力）角。 例 4.5 一个采取了正变位修正的直齿圆柱齿轮与同样基本参数的标准齿轮相比较，其( 齿顶)圆及 ( 齿根)圆变大了；而( 分度) 圆及( 基) 圆的大小则没有变。 【 评注 】一些初学者容易认为只有在切制标准直齿轮产生根切时，即在切制齿数 时才用变位齿轮。其实，在现代机 械中，因变位齿轮可弥补标准齿轮的某些缺陷，应用非常广泛，许多齿数 的齿轮也进行变位修正。标准齿轮虽然具有设计简 单、互换性好等一系列优点，但也暴露出许多不足：①标准齿轮的齿数不能少于最少齿数 ，否则用范成法加工时，产生根切， 使齿轮传动的重合度降低，并降低轮齿的抗弯强度；②标准齿轮不适用于实际中心距 不等于标准中心距 的场合。当 时，虽仍保持定角速比，但会出现过大的齿侧间隙，重合度减小；当 时，根本无法安装。③一对互相啮合的标准齿轮，小齿 轮齿廓曲渐开线曲率半径小，齿根厚度小于大齿轮齿根厚度，抗弯强度弱低。 如图 4.3 所示，变位齿轮与标准齿轮的齿廓都是在同一基圆形成的渐开线，只是截取的线段不同。正变位时，取远离基圆的渐 开线，所以齿顶圆和齿根圆均变大；负变位时取靠近基圆的渐开线，齿顶圆和齿根圆均变小。变位前后，因齿轮的模数与压力角仍与 刀具相同，所以齿轮的模数、压力角、齿距、分度圆均不变
正变位齿轮x>0标准齿轮x=0负变位齿轮XQ或QQ时，啮合角心>心。因为啮合角心是啮合线与两节圆公切线之间的夹角， 当安装中心距比标准中心距加大时，啮合线也即两齿轮基圆的内公切线与节圆公切线之间的夹角加大， 即啮合角变大，即>a。 【评注】一对外啮合渐开线标准直齿轮按标准中心距安装时，两节圆与分度圆重合，即1'=”、 '=?;其啮合角等于齿轮压力角心=a,齿侧间隙为零，顶隙为标准值c=c∴。 当按非标准中心距安装时，若>Q,两节圆分别大于两分度圆，即1'>1、>2，其啮合角大于齿轮 压力角，即心>。，侧隙大于零，顶隙大于标准顶隙c>c∴。此时虽能实现传动，但传动不平稳，产生附加动载 荷，并伴有噪声。若Q'Q时，节圆大于分度圆，根据 渐开线的特性，可知此时的>心。每一齿轮都有唯一的压力角，但一对齿轮传动的啮合角会因实际中心距不同而变化。 例4.7一对按标准中心距安装的正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮，小齿轮已损坏，需配制。 今测得两轴中心距a=310mm,大齿轮齿数名=10，齿顶圆直径.：=408mm,压力角六=20°，试确 定小齿轮的模数、齿数、压力角、分度圆直径、齿顶圆直径。 解由d.:=m,+2m得 m=da 408 =4mm 小齿轮的模数 z2+2100+2 由a=mM6+2)/2得 2a 2x310 Z=二-22= -100=60mm 小齿轮的齿数 4. 小齿轮为正常齿制新开线标准齿轮，其压力角 %1=20° 小齿轮的分度圆直径 d,=2,=4×60=240mm
图 4.3 例 4.6 一对渐开线标准外啮合直齿轮非标准安装时，安装中心距 与标准中心距 中哪个大？啮合 角 与压力 中哪个大？为什么？ 答：当两齿轮非标准安装时，只有这两种情况： 或 。但 时根本无法安装，只有 。 当安装中心距 时，啮合角 。因为啮合角 是啮合线与两节圆公切线之间的夹角， 当安装中心距比标准中心距加大时，啮合线也即两齿轮基圆的内公切线与节圆公切线之间的夹角加大， 即啮合角变大，即 。 【 评注 】一对外啮合渐开线标准直齿轮按标准中心距安装时，两节圆与分度圆重合，即 、 ；其啮合角等于齿轮压力角 ，齿侧间隙为零，顶隙为标准值 。 当按非标准中心距安装时，若 ，两节圆分别大于两分度圆，即 、 ，其啮合角大于齿轮 压力角，即 ，侧隙大于零，顶隙大于标准顶隙 。此时虽能实现传动，但传动不平稳，产生附加动载 荷，并伴有噪声。若 时，两标准齿轮根本无法安装。 若要实现实际中心距与标准直齿轮中心距不等而又不改变传动比，有两种办法：第一种是采用直齿轮变位修正，用不等移距 变位齿轮传动的方法凑配中心距。第二种是采用斜齿圆柱齿轮，用改变螺旋角的大小凑配中心距。 本章学习要特别注意区分两对概念：第一对概念是分度圆和节圆。齿轮的分度圆是模数和压力角均为标准值的圆。节圆是两 齿轮啮合时相切的一对圆。只有当一对齿轮啮合传动时才有节圆的，对于一个单一的齿轮来说是不存在节圆的。而不论齿轮是否啮 合，每个齿轮都有一个唯一的、大小完全确定的分度圆。第二对概念是压力角和啮合角。齿轮的压力角是指分度圆上的压力角，其实 质是指单个齿轮渐开线上某一点的速度方向与该点的法线方向所夹的角。啮合角是指一对啮合齿轮传动时基啮合线与两节圆公切线之 间的夹角，它在数值上等于渐开线齿廓在节圆上一点处的压力角。这里也同样告诉大家，当中心距 时，节圆大于分度圆，根据 渐开线的特性，可知此时的 。每一齿轮都有唯一的压力角，但一对齿轮传动的啮合角会因实际中心距不同而变化。 例 4.7 一对按标准中心距安装的正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮 ,小齿轮已损坏,需配制。 今测得两轴中心距 ,大齿轮齿数 ，齿顶圆直径 ,压力角 ，试确 定小齿轮的模数、齿数、压力角、分度圆直径、齿顶圆直径。 解 由 得 小齿轮的模数 由 得 小齿轮的齿数 小齿轮为正常齿制渐开线标准齿轮 ,其压力角 小齿轮的分度圆直径
小齿轮的齿顶圆直径 d.=d+2m=240+2×4=248mm 例4.8采用齿条刀具加工正常制渐开线标准直齿圆柱齿轮。已知刀具的齿形角：=20°，刀具上相邻两 齿对应点的距离为5万，加工时范成运动的速度分别为齿条刀具的线速度v=60mm5轮坯角速度 a=1rad5试求被加工齿轮的模数、压力角、齿数、分度圆直径及基圆半径。 解 刀具的齿距P=3刀，所以刀具的模数m=p/刀=5mm 被加工齿轮的模数与刀具的模数相同，故m=5mm 齿轮的压力角与刀具的压力角相同，故位=20° 范成运动时，刀具的线速度与齿轮的分度圆处线速度相同，所以 齿轮的分度圆半径及直径 y50 y=一=- =50mm a 1 d=100mm -10=20 2== 齿轮的齿数 m 5 基圆半径 ',=Yc0sc=50Xc0s20°=46.98m 【评注】用齿条刀具范成齿轮时的运动条件应是在节点处的线速度相同，即'刀二Y®，它直接决定一被加工齿轮的齿数。 例4.9已知-对用模数m%=25mm,压力角：刀=20°，及为*n-=1,ca=025的滚刀加工的斜齿园 柱齿轮传动，其安装中心距Q=70mm,两齿轮的齿数名=14名，=40，试计算这对斜齿轮的螺旋角及小 齿轮的分度圆半径、齿顶圆半径、齿根圆半径。 解用同一把刀具加工的两齿轮其法面模数、压力角、齿顶高系数、齿顶系数均分别与刀具的相应参 值相同。 1 a= 由 2cos6m+ 得 arccom=arcco 25×04+40-1536° 螺旋角 2a 2×70 m31= 2.5x14 n= =18.15mm 小齿轮的分度圆半径 2cos 2cos15.36 小齿轮的齿顶圆半径 Y=片+h=18.15+2.5=20.65mm 小齿轮的齿根圆半径 'n=1-hr=18.15-1.25×2.5=15.03mm 例4.10如图4.4所示的机构中，已知模数均为m,=2mm”,齿轮1、2为一对斜齿圆柱齿轮，齿 数=15，名=32，齿轮3、4为一对正常齿制直齿圆柱齿轮马=20，名=30，齿轮1、4同轴线 求： (1)斜齿轮的螺旋角为多少？(2)当用范成法加工齿轮1时是否会发生根切？(3)齿轮1、2的当量 齿数是多少？
小齿轮的齿顶圆直径 例 4.8 采用齿条刀具加工正常制渐开线标准直齿圆柱齿轮。已知刀具的齿形角 ,刀具上相邻两 齿对应点的距离为 ,加工时范成运动的速度分别为齿条刀具的线速度 ,轮坯角速度 试求被加工齿轮的模数、压力角、齿数、分度圆直径及基圆半径。 解 刀具的齿距 ,所以刀具的模数 被加工齿轮的模数与刀具的模数相同，故 齿轮的压力角与刀具的压力角相同，故 范成运动时，刀具的线速度与齿轮的分度圆处线速度相同，所以 齿轮的分度圆半径及直径 齿轮的齿数 基圆半径 【 评注 】用齿条刀具范成齿轮时的运动条件应是在节点处的线速度相同 ,即 ，它直接决定一被加工齿轮的齿数。 例 4.9 已知一对用模数 ， 压力角 ，及 , 的滚刀加工的斜齿圆 柱齿轮传动，其安装中心距 ，两齿轮的齿数 ，试计算这对斜齿轮的螺旋角及小 齿轮的分度圆半径、齿顶圆半径、齿根圆半径。 解 用同一把刀具加工的两齿轮其法面模数、压力角、齿顶高系数、齿顶系数均分别与刀具的相应参 值相同。 由 得 螺旋角 小齿轮的分度圆半径 小齿轮的齿顶圆半径 小齿轮的齿根圆半径 例 4.10 如图 4.4 所示的机构中，已知模数均为 ， 齿轮 1 、 2 为一对斜齿圆柱齿轮，齿 数 ， ，齿轮3、4为一对正常齿制直齿圆柱齿轮 ， ，齿轮1、4同轴线。 求： （1）斜齿轮的螺旋角为多少？（2）当用范成法加工齿轮1时是否会发生根切？（3）齿轮1、2的当量 齿数是多少？
图4.4 解(1)正常齿制直齿圆柱齿轮的中心距 1 a4-5m,(3+2W=7×2x(20+30）=50mm 1 12= 因齿轮1、4同轴线， 2c0sEm,(8+2,)=a4 8=arccoom=arcco 2×05+3-195654 2au 2x50 （2)当用范成法加工螺旋角为日=19°6'54“的斜齿轮不发生根切的最少齿数： 2=z,c0B=17×c031956'54"=14.43 因名=15>2仙=14.43，所以不会发生根切 (3)两斜齿轮的当量齿数 15 =18.06 cos8 cos1956'54 22 32 3,2= =38.53 c0s6co195654 【评注】因斜齿轮的当量齿轮为直齿轮，判别斜齿轮1是否发生根切也可以用(3)小题求出的当量齿数直接判别。 例4.11作图题：如图4.5所示，已知一对渐开线齿轮的基圆、齿顶圆及主动轮的角速度01的方 向，试作出理论啮合线和实际啮合线。 解根据渐开线的性质，两齿轮的啮合线应与两齿轮的基圆相切，但由于主动轮逆时针方向转动，故 啮合线应切于齿轮1基圆的左下方和齿轮2基圆的右上方，则切点之间的线段X从就是理论啮合线。两 齿轮实际啮合时，应是开始于从动轮的齿顶，终止于主动轮的齿顶，故实际啮合线是两轮的齿顶圆与 理论啮合线的交点之间的线段且马，。如图4.6所示。 图4.5 图4.6
图 4.4 解 （1）正常齿制直齿圆柱齿轮的中心距 因齿轮 1、4同轴线， （ 2）当用范成法加工螺旋角为 的斜齿轮不发生根切的最少齿数： 因 ，所以不会发生根切。 （ 3）两斜齿轮的当量齿数 【 评注 】因斜齿轮的当量齿轮为直齿轮，判别斜齿轮 1是否发生根切也可以用（3）小题求出的当量齿数直接判别。 例 4.11 作图题：如图 4.5 所示，已知一对渐开线齿轮的基圆、齿顶圆及主动轮的角速度 的方 向，试作出理论啮合线和实际啮合线。 解 根据渐开线的性质，两齿轮的啮合线应与两齿轮的基圆相切，但由于主动轮 逆时针方向转动，故 啮合线应切于齿轮1基圆的左下方和齿轮2基圆的右上方，则切点之间的线段 就是理论啮合线。两 齿轮实际啮合时，应是开始于从动轮的齿顶，终止于主动轮的齿顶，故实际啮合线是两轮的齿顶圆与 理论啮合线的交点之间的线段 。如图4.6所示。 图 4.5 图 4.6
