矩形的性质与判定 W
矩形的性质与判定
学习目标 1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及 相关结论; 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算
学 习 目 标 1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及 相 关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
新 课导入 请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪 些性质? 边:对边平行且相等; 角:对角相等; 对角线:对角线互相平分
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪 些性质？ 边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分． 新 课 导 入
知识讲解 □D A 个角变形成直角 C 分析:(1)矩形的形成过程是平行四边形的一个 角由量变到质变的变化过程 (2)矩形只比平行四边形多一个条件:“一个角 是直角”,不能用“四个角都是直角的平行四边形 是矩形”来定义矩形 定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
A B C D A B C D 一 个 角 变 形 成 直 角 分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个 角由量变到质变的变化过程． （2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角 是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形 是矩形”来定义矩形． 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 知 识 讲 解
矩形与平行四边形之间的关系 平行四边形 矩形 (3)矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的 切性质(共性),还具有它自己特殊的性质(个性)
矩形与平行四边形之间的关系 平行四边形 矩形 （3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一 切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．
D B (4)从边、角、对角线方面,观察或度量猜想矩形的 特殊性质 ①边:对边平行且相等(与平行四边形相同),邻边互 相垂直 ②角:四个角是直角(性质1) ③对角线:相等且互相平分
（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的 特殊性质． ①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互 相垂直； ②角：四个角是直角（性质1）； ③对角线：相等且互相平分． A B C D O
定理:矩形的四个角都是直角 已知:如图,四边形ABCD是矩形 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90° D 分析:由矩形的定义利用对角相等邻 角互补可使问题得证 证明: B 四边形ABCD是矩形 ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形 ∴∠C=∠A=90° ∠B=180°-∠A=90° ∠D=180°-∠A=90° 四边形ABCD是矩形
定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻 角互补可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形. ∴∠A=90 ,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=90 , ∠B=180-∠A=90 , ∠D=180-∠A=90. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90. ∴四边形ABCD是矩形. D B C A
定理:矩形的两条对角线相等 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线 求证:AC=BD 分析:根据矩形的性质可转化 为全等三角形(SAS)来证明 D 证明: ∵四边形ABCD是矩形 B C ∴AB=DC∠ABC=∠DCB=90° ∵BC=CB ∴△ABC≌△DCB(SAS) ACEDB
定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形. ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. 分析:根据矩形的性质,可转化 为全等三角形(SAS)来证明. D B C A ∵BC=CB. ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB
练一练:如图,在矩形ABCD中: ①AB∥CD,AB=CD; AD∥BC,AD=BC B ②∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° AC= BD=2A0= 20C=20B=20D 问:在Rt△ABC中,斜边AC上的中线是OB,它与斜边的 关系是0B=2AC 问:是不是所有的三角形都有这样的性质?关键是是不 是任何一个三角形都可以放进一个矩形里? 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A B C D O 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 练一练：如图，在矩形ABCD中： ①AB∥CD，AB=CD； AD∥BC，AD=BC ②∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° ③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD 问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的 关系是OB= AC． 问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不 是任何一个三角形都可以放进一个矩形里? 2 1
)例题 【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点0,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长 解析:四边形ABCD是矩形 D AC=BD且OA=OC=LAC OB=OD=- BD B ∴O4=OD 你认为例1还可以怎 ∵∠AOD=120° 么去解? 180°-120° ∴∠ODA=∠OAD =30 ∵∠DAB=90° BD=2AB=2×2.5=5(cm)
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长. 解析: ∵四边形ABCD是矩形. ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm). . 2 1 ∴AC=BD,且 OA = OC = AC ∵∠DAB=90°. D B C A O . 2 1 OB = OD = BD OA = OD. ∵∠AOD=120°. 30 . 2 180 120 0 0 0 = − ∴∠ODA=∠OAD= 你认为例1还可以怎 么去解？ 例 题