正方形的性质与判定
正方形的性质与判定
定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 、矩}形邻边 一个角 正方形 菱形 正方形 相等 是直角 由正方形的定义可知,正方形既是有一组邻边相等的矩形, 又是有一个角为直角的菱形.如图(1) 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特 殊的菱形 正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形， 又是有一个角为直角的菱形．如图(1)． 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 定义： 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特 殊的菱形． 正方形的性质= 菱形的性质+矩形的性质
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线 求证:(1)AC=BD,AC⊥BD,A0=C0,B0=D0;A D (2)AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC B
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角. 求证:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2)AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. A B C D O
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质所以结论易 证 证明∷四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是平行四边形也是矩形也是菱形 ∴AO=COBO=DAC=BAC⊥BD; D AC平分∠BAD和∠ BCD BD平分∠ADC和 ∠ABC
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易 证. 证明: ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ∴AO=CO,BO=D O; AC=B D; ∵四边形ABCD是正方形, AC⊥BD; AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和 ∠ABC
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等 已知:四边形ABCD是正方形 A D 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90° (2)AB=BC=CD-DA 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有B 性质所以结论易证
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°. (2)AB=BC=CD=DA. 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有 性质,所以结论易证. A B C D 已知:四边形ABCD是正方形
证明: 四边形ABCD是正方形, 四边形ABCD是矩形也是菱形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° ABEBCECDEDA
证明: ∴四边形ABCD是矩形,也是菱形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° , AB=BC=CD=DA. ∵四边形ABCD是正方形
正方形的判定方法 对角线相等的菱形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形的判定方法：
随堂练习 1.在ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则ABCD的周长为 D A.6 C.12D.15A 解析】选C可证明ABCD是菱形 B 2.在正方形ABCD的外侧作等边△ADE, 则∠AEB的度数为(C) A.10°B.12.5°C.15°D.20°
2. 在正方形ABCD的外侧作等边△ADE， 则∠AEB的度数为（ ） 1. 在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3， 则□ABCD的周长为 （ ） 随 堂 练 习 A．6 B．9 C．12 D．15 A B C D 【解析】选C.可证明□ABCD是菱形． A．10° B．12.5° C．15° D．20° C
3.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角 线AC=6,BD=8,则此菱形的边长为 B D A.5 B.6 C.8D.10 解析】选A根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理 得菱形的边长为5 4.若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线长的平 方和为() A A.16 B.8 C.4D.1
3. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角 线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为 （ ） A．5 B．6 C．8 D．10 A B C D 【解析】选A.根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理 得菱形的边长为5 4．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平 方和为（ ） A．16 B．8 C．4 D．1 A
5.如图,已知正方形ABCD,以AB为边向正方形外作等边三 角形ABE,连结DE,CE, 则∠DEC= 解析】△ABE为等边三角形 ∠BAE=60°,∠DAE=150°, △ABE为等腰三角形, ∠AED=15°同理∠BEC=15°所 以∠DEC=30° 案:30
5.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三 角形ABE，连结DE，CE， 则∠DEC=_______ E C B D A 【解析】△ABE为等边三角形 ∠BAE=60° ， ∠DAE=150° ， △ABE为等腰三角形， ∠AED=15°同理∠BEC=15°所 以∠DEC=30° 答案：30°