第五章疑难解答 定性与稳定性理论简史 十九世促后半叶，康卡莱自54一1912)李量普话天057一19明8)在力学明究中律立了微分 方君的定生理论与通定性程论.1脑1年至1绳年底卡莱发表了影为章分方程所定文的分0 的四首文童颜定了微分方程宾性量诊的理 废卡第在二十世纪初被公认为当代最伟大的数学家，她以伟大的首创精神和卓馆的 教巧处理丁纯数学与应用数学的几平所有领城，共写出了30多卷关于数学，物理与天体 力学的专著，发表了的多篇数学纶文，他在数学的四大门，分所，代数，几何与数论，以及 数学物理中，都有煮出的开创性工作，以至于有人惊叹：在这个数学知积每十年就增加一 信的时代，能够对全部数学有创造性的拿显，也许虎卡荣是达到这种地步的最后一个人， 希尔伯特(H6m,1862一1943)在101年提出了著名的23个数学难思，其中第16 个问思的后华部分可陈述为，记P,(红，)和Q,(:,》是的。次多项式，那么对给定的 P.(an》,Q,(e)平面自怕系统 -P.(.) 贵-0.a 最多有几个极限环1它们的相对位置如何这个间延即使在：一2的情形也投有完全解决， 可见阿题的艰难。179年，我国数学家疏兰环，王明家和史松龄分别证明了4一2时极限 环的量大个数不少于4 192年，李雅普诸夫发表了杰出的博士论文《运动稳定性的一最何题》，开创了稳定 性的研究领城，李推话夫这一工作的意义，在当时实际上是无法作出估价的，近一百年 的历史已经表明，由他创立的这一理论与方法，已经涉透到应用数学，力学，控制晚与系 统理论的众多领城，取得了巨大的发展，形成了从理论到应用的丰高体系，遗锡的是李程 售诺夫本人反有丽见到这一点，在1918年国失人程肿病故去后面自桑并世， 平面线性系统与钓系统的拓扑等价性
第五章疑难解答 定性与稳定性理论简史 平面线性系统与约系统的拓扑等价性
在多52节我们已经如道，约当标准型系统 器- (5.1D 是山平面线性系统 晋-江 (5.2) 经过非奇异线性变换（齐次仿射变换）周得来的.所以，求得(5.1)在（度，了）平面上的轨线 分布后，经过逆变换可以得到原系统(52)在（红，W)平面上的轨线分布，此时，我们称系饶 (5.1)与系统(5,2)是拓扑等价的.请看下斜 考虑系统 di - (5.3) 皇--g 其特征根是4一一宁4一一》可以算出低3》经非寄异线性变换 (5.4) 亿为约当标准型系统 d 0 d 它是稳定结点，如图5一1所示.在（任，）上的：一0和=0，由变赖(5)看出，这两条直 线在（红）平图上分别对应直线 一14e+3:=0相 =2红+■0 在红，》平面上面出这两条直线并由等52所述，奇点类型，稳定性被保特，再注意(：，y) 平面上其它轨线趋于原点时应沿君 -2+，=0 的方向G一0所对应的方向)，即可得到原系统（行3）的相图，见图5一2 米 图5-1 图5-2
一般平面线性系统奇点用近相图的面法 上面介缩的系统(5艺)奇点阳近相图的画法，只具有理论意义，实际计葬时太紫，注 意到其它轨线是府着某一直线趋于原点这一事实，我们给出如下定义， 当+0（或+一∞），有的轨线能沿带某一南定直线，■妇（或：一却）趋向奇点 (0,0)我们把这个直线的虑向称为一个特珠方向， 这样，一旦能找到特称方向，就可以迅违作出相图了.请看下例 术作系统 d =2+3期 业 ■24-3 在(0，)点附近的相图。 解容易计算出(0,0)是酸点，设特珠方向为直线，一红所指的方向：其中常数待 定，则，=妇是一条飘分由线，因此，我们有 -乱-引-行贵 由此控出清足一元二次方程 3+51-2=0 解此方程得与一言和如一一云容易算出向量场在（山，0）处向量为(2,2).再利用蔽点结构 和非奇异线性变换的性质，就可以确定出该系统在奇点(，) 附近的和图，如图5一3所示
一般平面线性系统奇点附近相图的画法