第七章徽分方程复习思计算题及答案 x=te 1,验证y= 是微分方程1+沙+少=0的解， 2.求方程y血d-血=0的通解。 3.求方程少+20=4不的通解。 4.求方积可+2=。心的通解。 d's 5.求方程交 -+8=0 满足初始条件。=4,81。=-2 的特解。 6.求方程y+2y-3y=(2x+1'的一个特解
第七章 微分方程复习题计算题及答案 １． 验证 是微分方程 的解． ２． 求方程 的通解． ３． 求方程 的通解． ４． 求方程 的通解． ５． 求方程 满足初始条件 ， 的特解． ６． 求方程 的一个特解．
答案 1.解1 少=。 1 一安7+”严0+9，箱此试代入微分方程++广=0，得 0+d2-e)- 1 +=-1 。*0+) 。使其微分方程恒等。 x■e2 所以，少=e 是微分方程1+沙+少=0的解， 2解： 此方程为可分离变量的微分方程。 yh xdx=xIn yly y 2 2 h2y=h2x+C,其中C=2C, 3解： 法一此方程为可分离变量的微分方程 y'+2xy=4x y=2(2- y=2x 2-y J*-2h -p-外r+G m2-=-2x2-2G 2-y=e9r-20 y=2+Ce 法二此方程为阶线性非齐次方程。 先计算少+2)=4乐所对应的齐次微分方程的通解。 dy=2x =-2xk y'+20=0 dx y
答案 1. 解 ： ，将此式代入微分方程 ，得 ，使其微分方程恒等， 所以， 是微分方程 的解． 2. 解 ： 此方程为可分离变量的微分方程． ，其中 。 3. 解 : 法一 此方程为可分离变量的微分方程． 法二 此方程为一阶线性非齐次方程． 先计算 所对应的齐次微分方程的通解．
nb=-x+C y=Ce,其中C=如9 再用常数变号法求一阶线性非齐次方程的通解， ◆yCxe y=Cx-2xC”,将此式代入y+2四=4怀，得 C"(xle-2xclxke+2x.clxle""=4x C=40,积分得C=2a+C 所以，所求微分方程少+2y=4红的通解为=(2”+Ce”=2+C。 4.解： 此方程为一阶找性非齐次方程， 先计算+2y= 所对应的齐次微分方程的通解. '+2y=0 dx x abM=-2hl内+C 不，其中C=9 再用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解， y=cyc)-c()2x 将此式代入+2y=。”得 xCx-c2+2.C国.。 C因-er C(x)=xe ow=a+c 1 所以，所分方程+2y=。”的酒解为72+C 反解：
，其中 . 再用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解． 令 ，将此式代入 ,得 ，积分得 所以，所求微分方程 的通解为 ． 4. 解 : 此方程为一阶线性非齐次方程． 先计算 所对应的齐次微分方程的通解． ，其中 再用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解． 令 ， ，将此式代入 得 所以，所求微分方程 的通解为 ． 5. 解 :
+2 方程中 +8=0 所对应的特征方程为2+2+1=0，解得特征根为 万=乃=-1 所以，所求通解为 S=(C+Ctk (1) S=Ce--(C +Ct (2) 将初始条件=4,1=-2分别代入式（1)和（2.得 4=C C=4 -2=C,+4于是得lC=2 +2必 d's 所以方程 +6=0 满足初始条件4,1-2的特解为 S=4+24+ 6解： R(=2x+1.2=1 方程少+2y-3y=2x+1k'所对应的齐次方程少+2y-3y=0 的特征方程为r2+2-3=0 1=-35=1 1=1是特征根的单根，所以银设特解产=红+小水，将其代入 2(x)+(27+pk2x)+++q2(x)=P(x) 得2)=2ar+b,Q(x)-2a
方程 所对应的特征方程为 ，解得特征根为 . 所以，所求通解为 （１） （２） 将初始条件 ， 分别代入式（１）和（２），得 于是得 所以方程 满足初始条件 ， 的特解为 ． 6. 解 : , 方程 所对应的齐次方程 的特征方程为 是特征根的单根，所以假设特解 ，将其代入 得 ,