第九章多元函数徽分法计算题及答案 1,指出下列函数的定复域 a)2=My2-4x+8剧 4x- (2) 1-x2-y) =c求座 2 y 2=hsm-2以求华 '可 Gsm当求色 证 “=r+产+求，0 dx'dy'de 任月=e+2圳求.0受，0 =e,Lr=sm,y=,求 7.设 =20osx-求证2产+=0 &设 arava :=acsm工，求止 9.设 f化y-xarctan上-y广aamn.求0上 10. :=(2+y'em求k与 11.设 Cxdy “f以r-+现了g均为连续可微，求.产 2.设 a
第九章 多元函数微分法计算题及答案 1.指出下列函数的定义域. (1) ln( 4 8) 2 z = y − x + (2) ln(1 ) 4 2 2 2 x y x y z − − − = 2. y z x z z y x = arcsin( ),求 , 3. y z x z z x y = ln sin( − 2 ),求 , 4. y z x z x y z x = sin( ),求 , 5. z u y u x u u x y z = sin( + + ), , , 2 2 2 求 6. ) 4 ), (0, 4 ( , ) sin( 2 ), (0, x y x f x y = e x + y 求f f − 7. 设 dt dz z e x t y t = x−2 y ,且 = sin , = 3 ,求 8. 设 ), 2 0 2 2cos ( 2 2 2 2 = + = − x t z t t z z x 求证： 9. 设 dz y x z = arcsin ,求 ． 10. 设 x y f y x y x y f x y x = − 2 2 2 ( , ) arctan arctan ,求 11. 设 x y z z x y e dz x y = + − 2 arctan 2 2 ( ) ,求 与 12.设 x v x u u f x x y v g x x y f g = ( , ), = ( + ), , 均为连续可微，求
=+g占其中y.g有连续二阶导数，求+ w 13设 dxdy =2x-yJ以其中/化)有连续二阶偏导数，求图 14设 2icy 15.设 fe'sm上r+广其中/u)有连续二阶偏导数，求0 dy 16设 =)+红其中(u,v)有连续二阶偏导数，求 dxdy +:2=白可微，求 17.设 y 18求函数，)=e产(x+少+2)的驻点与极值 19.求函数x川=x之+少-6y的极值。 20.求曲面心-：+少=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程. 21.求曲线 x=t-snt.y =1-cost,:=4sn 吃在号-u2 处的切线与法平 而方程。 22求平面3知+4y-F一26=0上距原点最近的点. 23.一块铁皮宽为，把它的两边折起来做成一个梯形断而的排水槽，问边的倾角8及 底面宽度应为多少，才能使斯面的面积最大？ 24,把一个正数分为三个正数之和，并且使它们的乘积为最大，求这三个正数， +上+三-。和柱面2+y- 25求平面345 的交线上与x0y坐标面距离 最短的点
13.设 x y u y x u f g x y x g y x u yf + = + 2 2 2 ( ) ( ),其中 , 有连续二阶导数，求 14.设 x y z z f x y y x f u v = − 2 (2 , sin ),其中 ( , )有连续二阶偏导数，求 15.设 x y z z f e y x y f u v x = + 2 2 2 ( sin , ),其中 ( , )有连续二阶偏导数，求 16.设 x y z u v y x z x y x = + 2 sin( ) ( , ),其中( , )有连续二阶偏导数，求 17.设 y z y z x z y 2 + 2 = ( ),可微，求 18. 求函数 ( , ) ( 2 ) 2 2 f x y e x y y x = + + 的驻点与极值． 19.求函数 f (x, y) x y 6y 2 3 = + − 的极值． 20.求曲面 e − z + xy = 3 z 在点（2，1，0）处的切平面与法线方程． 21. 求曲线 2 sin , 1 cos , 4sin t x = t − t y = − t z = 在点 1,1,2 2) 2 ( − 处的切线与法平 面方程． 22.求平面 3x + 4y − z − 26 = 0 上距原点最近的点． 23.一块铁皮宽为 l ，把它的两边折起来做成一个梯形断面的排水槽，问边的倾角 及 底面宽度 x 应为多少，才能使断面的面积最大？ 24. 把一个正数 a 分为三个正数之和，并且使它们的乘积为最大，求这三个正数． 25.求平面 1 1 3 4 5 2 2 + + = x + y = x y z ，和柱面 的交线上与 xoy 坐标面距离 最短的点．
答案 .(1)答案1y2>4x-2 (2)答案：y≤4x,0<x2+y2<1 2 a à2√1-对) 在 答案，V- 正 a武 ctg(x-2y) ■-24gx-2y） 3答案： 正1 cos 4答案：少V 0=2x00x2+y2+:2) 0=2yc0x2+y2+） 5答案： 0=200x2+y2+:) &答案，@-l听0导-0 7。答案：山 =emr-(eow1-6) & d止=t-x 9答案1 W2-
答案 1.（1）答案： （2）答案： 4 ,0 1 2 2 2 y x x + y 2. 答案： 2 2 1 2 (1 ) xy x y z x xy y x z − = − = 3. 答案： 2 ( 2 ) ( 2 ) ctg x y y z ctg x y x z = − − = − 4. 答案： x y y x z x y x x y x y x x z cos 1 sin cos 2 1 2 = = − 5. 答案： 2 cos( ) 2 cos( ) 2 cos( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x y z z u y x y z y u x x y z x u = + + = + + = + + 6. 答案： ) 0 4 ) 1, (0, 4 (0, − = x y f ＝ f 7. 答案： (cos 6 ) sin 2 2 3 e t t dt dz t t = − − 8. 9. 答案： 2 2 y y x ydx xdy dz − − =
x2-y2 10. 答案：+ 止=e(2x+y+(2y-x 的.广-w-r。 1山.答案：可x+y 2.答案：1+%+)g 13.答案：0 14.答案：-2斤+(2smx-c0sx/后+ysin xc0s分+c06g 15.答案：e"sin ycos+2e'(0ysny+xcos)/+4后+e'c0s. cosxy-xysin xy-- 16.答案： y(白)-p5 25-0 17,答案： 18答案： 驻点兮，极小值：兮-)=-月 19.答案，极小值/0.V2)--45 x-2-y-1 20.答案：切平面：x+2y-4=0,法线：1 2=0 21.答案：切线： 1 ,法平面： +y+:=+4 22.答案：(3,4，-1). 2然，答案： 0=60,x=3 24.答案：把 分成相等三个部分其乘积最大 4335 25答案5512
10. 答案： 2 2 2 2 x y x y + − 11. 答案： x y x y e x y y x y x x y z dz e x y dx y x dy arctan 2 2 2 2 2 arctan [(2 ) (2 ) ] − − + − − = = + + − 12. 答案： (1+ y)( f + yf )g 1 2 13. 答案：0 14. 答案： 11 12 22 2 − 2 f + (2sin x − ycos x) f + ysin xcos xf + cos xf 15. 答案： 11 12 22 1 2 e sin y cos yf 2e (y sin y x cos y) f 4x yf e cos yf x x x + + + + ． 16. 答案： 2 1 2 3 2 2 2 2 1 cos − sin − − − y y x y x x y x y x y ． 17. 答案： 2 ( ) ( ) ( ) y z yz y y z z y z y − − ． 18. 答案： 2 , 1) 2 1 , 1), ( 2 1 ( e 驻点： − 极小值：f − = − 19. 答案： 极小值f (0, 2) = −4 2 20. 答案：切平面： x + 2y − 4 = 0 ，法线： , 0 2 1 1 2 = − = − z x y 21. 答案：切线： 2 2 2 1 1 1 1 2 − = − = − + y z x ，法平面： 4 2 + + 2 = + x y z ． 22. 答案：（3，4，－1）． 23. 答案： 3 600 l ＝ ，x = 24. 答案：把 分成相等三个部分其乘积最大． 25. 答案 ) 12 35 , 5 3 , 5 4 ( ．