§6.2晶体结构的周期性与对称性 任何固体按其内部结构排列的有序程序可以分成二大类:晶体和无定型。前者是长程 有序的,后者则不是。所谓长程有序是指固体中原子(或分子)在空间按一定方式周期性的 重复排列。本节从这种有序排列的周期性和对称性出发来介绍晶体内部空间几何结构的规 6.2.1结构周期性和点阵单位 1.周期性和点阵 具有长程有序的晶体是由一些具有相同结构的单元在空间周期性重复排列而成的 个具有周期性的结构总是包括两个基本要素:(1)重复排列周期的大小和方向,(2)周期性 重复的内容,即结构单元,又称结构基元。例如图62.1(a)一组等径圆球的密置列和(b) 伸展的聚乙烯直链分子。前者重复周期大小是球的直径a,方向是沿着密置列,即图中向量 a表示,结构基元是一个小球:后者重复周期是连续间隔两个碳原子的向量b,而结构基元 是C2H4,而不是通常化学简式(CH2)中的重复单位CH2。如果把周期性结构中的每个结 构基元所在位置用一个抽象的几何点表示,例如等径圆球的球心,C2H2中的一个碳原子, 但不是必须在圆心和碳原子位置,可取在结构基元中任何一个相同位置,这样一组周期性间 隔的点列称为点阵。点阵的严格定义是:“按连接点阵中任意两点的向量平移后能复原的 组点列称为点阵”。因此点阵应该包含无限多个点阵点,并且每个点阵点都有相同的环境, 这样才能保证它们通过平移后复原 图6,21(a)一组等径圆球的密置列;(b)伸展的聚乙烯直链分子 具有周期性结构的晶体,按上面方法可以抽提出点阵。这样的点阵应该是空间三维的, 点阵所具有的平移后复原的特征反映了晶体周期性结构的重复周期的大小和方向,而每一个 点阵点代表周期性重复的内容,即结构基元,因此晶体结构可简单表示为 晶体结构=点阵+结构基元
§6.2 晶体结构的周期性与对称性 任何固体按其内部结构排列的有序程序可以分成二大类：晶体和无定型。前者是长程 有序的，后者则不是。所谓长程有序是指固体中原子（或分子）在空间按一定方式周期性的 重复排列。本节从这种有序排列的周期性和对称性出发来介绍晶体内部空间几何结构的规 律。 6.2.1 结构周期性和点阵单位 1．周期性和点阵 具有长程有序的晶体是由一些具有相同结构的单元在空间周期性重复排列而成的。一 个具有周期性的结构总是包括两个基本要素：（1）重复排列周期的大小和方向，（2）周期性 重复的内容，即结构单元，又称结构基元。例如图 6.2.1（a）一组等径圆球的密置列和(b) 伸展的聚乙烯直链分子。前者重复周期大小是球的直径 a, 方向是沿着密置列，即图中向量 a 表示，结构基元是一个小球；后者重复周期是连续间隔两个碳原子的向量 b, 而结构基元 是 C2H4，而不是通常化学简式（CH2）n 中的重复单位 CH2。如果把周期性结构中的每个结 构基元所在位置用一个抽象的几何点表示，例如等径圆球的球心，C2H2 中的一个碳原子， 但不是必须在圆心和碳原子位置，可取在结构基元中任何一个相同位置，这样一组周期性间 隔的点列称为点阵。点阵的严格定义是：“按连接点阵中任意两点的向量平移后能复原的一 组点列称为点阵”。因此点阵应该包含无限多个点阵点，并且每个点阵点都有相同的环境， 这样才能保证它们通过平移后复原。 图 6.2.1 （a）一组等径圆球的密置列; (b)伸展的聚乙烯直链分子 具有周期性结构的晶体，按上面方法可以抽提出点阵。这样的点阵应该是空间三维的， 点阵所具有的平移后复原的特征反映了晶体周期性结构的重复周期的大小和方向，而每一个 点阵点代表周期性重复的内容，即结构基元，因此晶体结构可简单表示为 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2.点阵单位和晶胞 可以在晶体结构抽提出的三维空间点阵中选择三组互不平行的直线点阵(方向分别为 a、b和c),将空间点阵划分成相同形状和大小的空间格子,其中每个格子都是以向量a、b 和c为边的平行六面体单位,这个单位称为点阵单位。向量长度a、b、c和夹角α、B、y称 为点阵参数(如图6.22所示)。同样该空间格子也将晶体结构截成一个个包含等同内容的基 本单位,这个基本单位就是晶胞。因此晶胞也和点阵单位一样是一个以素向量a、b、c为 边的平行六面体。晶胞包括二个基本要素:(1)晶胞大小和形状,这和与它对应的点阵单位 一样是由三个素向量长度a、b、c和它们的夹角a、B、y所决定,也称为晶胞参数;(2)晶 胞的内容,即晶胞中的原子种类,数目及它们的空间位置。整个晶体可由许多晶胞并置拼成 或晶胞在a、b、c三个方向平移而得到,(就象由砖头砌成墙一样),因此掌握了晶胞,也 就能了解整个晶体结构。 622点阵的划分和晶格 由于在三维空间点中选择三组互不平行的直线点阵的取法有许多种,这样点阵单位形 状就是很任意的。为了研究方便,约定这种a、b、c三个方向直线点阵取法要能使得到的点 阵单位既有较高对称性,又是最简单的。选取原则和次序是以(1)对称性尽量高;(2)相 互夹角尽量为直角:(3)点阵单位中点阵点尽量少。选取后的点阵单位内只含一个点阵点的 称为素单位,对应晶胞为素晶胞:反之,超过一个点阵点(往往出现在体心或面心位置)称 为复单位,对应为复晶胞 决定晶胞形状的三个基本向量a、b、c很自然地构成了晶体三维空间的一套坐标系 这些坐标方向也称为晶轴。晶胞中的原子的位置可以用它在三个晶轴上的投影(x,y,z)的 值表示,其值均小于1,故称为分数坐标。例如平行六面体中心有一个原子,其分数坐标则 为(1/2,1/2,1/2),若在ab面上的面心有一个原子,其分数坐标则是(1/2,1/2,0)。 图62.3给出常见的CsCl晶体的晶胞参数a=b=c,α=B=y=90°,称为立方格子,格子 内只有一个点阵点,是素单位,对应是素晶胞。结构基元就是CsC,C和Cs的分数坐标分 别为C(0,0,0);Cs+(1/2,1/2,1/2)。NaCl也是立方格子,但格子内有4个点阵点(8
2．点阵单位和晶胞 可以在晶体结构抽提出的三维空间点阵中选择三组互不平行的直线点阵（方向分别为 a、b 和 c），将空间点阵划分成相同形状和大小的空间格子，其中每个格子都是以向量 a、b 和 c 为边的平行六面体单位，这个单位称为点阵单位。向量长度 a、b、c 和夹角、、 称 为点阵参数（如图 6.2.2 所示）。同样该空间格子也将晶体结构截成一个个包含等同内容的基 本单位，这个基本单位就是晶胞。因此晶胞也和点阵单位一样是一个以素向量 a、b、c 为 边的平行六面体。晶胞包括二个基本要素：（1）晶胞大小和形状，这和与它对应的点阵单位 一样是由三个素向量长度 a、b、c 和它们的夹角、、 所决定，也称为晶胞参数；（2）晶 胞的内容，即晶胞中的原子种类，数目及它们的空间位置。整个晶体可由许多晶胞并置拼成 或晶胞在 a、b、c 三个方向平移而得到，（就象由砖头砌成墙一样），因此掌握了晶胞，也 就能了解整个晶体结构。 图 6.2.2 点阵的划分和晶格 由于在三维空间点中选择三组互不平行的直线点阵的取法有许多种，这样点阵单位形 状就是很任意的。为了研究方便，约定这种 a、b、c 三个方向直线点阵取法要能使得到的点 阵单位既有较高对称性，又是最简单的。选取原则和次序是以（1）对称性尽量高；（2）相 互夹角尽量为直角；（3）点阵单位中点阵点尽量少。选取后的点阵单位内只含一个点阵点的 称为素单位，对应晶胞为素晶胞；反之，超过一个点阵点（往往出现在体心或面心位置）称 为复单位，对应为复晶胞。 决定晶胞形状的三个基本向量 a、b、c 很自然地构成了晶体三维空间的一套坐标系， 这些坐标方向也称为晶轴。晶胞中的原子的位置可以用它在三个晶轴上的投影（x, y, z）的 值表示，其值均小于 1，故称为分数坐标。例如平行六面体中心有一个原子，其分数坐标则 为（1/2，1/2，1/2），若在 ab 面上的面心有一个原子，其分数坐标则是（1/2，1/2，0）。 图 6.2.3 给出常见的 CsCl 晶体的晶胞参数 a=b=c，===90, 称为立方格子，格子 内只有一个点阵点，是素单位，对应是素晶胞。结构基元就是 CsCl, Cl-和 Cs+的分数坐标分 别为 Cl-（0，0，0）；Cs+（1/2，1/2，1/2）。NaCl 也是立方格子，但格子内有 4 个点阵点（8
个顶点算一个点阵点8×=1],6个面心点算三个点阵点6×=3]),是立方面心结构, 所以是复单位,对应是复晶胞,每个晶胞含4个结构基元,每个结构基元含一个Na和一个 Cl,它们的分数坐标分别是C:(0,0,0),(1/2,12,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2) Na:(1/2,0,0),(0,12,0),(0,0,12),(1/2,1/2,1/2)。同样金刚石也是立方晶 胞,每个晶胞含4个点阵点,也是立方面心结构,晶胞内有8个碳原子,其中4个在点阵点 位置,另外4个不在点阵点上,并与相邻点阵点相距(a+b+c)。分数坐标分别是(0,0, 0),(0,1/2,12),(1/2,0,12),(1/2,12,0)和(1/4,1/4,14),(1/4,314,3/4), (3/4,14,3/4),(3/4,3/4,14)。 图6.2.3晶胞实例 6.2.2结构对称性和晶系的划分 晶体结构除了具有周期性的特征外,还具有一定的对称性。晶体的对称性可用一组对 称元素组成的对称元素系来描述,晶体所具有的对称元素系是对晶体进行分类的基础。 晶体结构也和分子结构一样存在四类对称性和相应对称元素,即旋转轴,反映面,旋 转反轴和对称中心。这些对称元素同样存在于晶胞之中。由于晶体具有空间排列的周期性, 所以晶体结构中一般不存在5次旋转轴和6次以上旋转轴。由于晶体结构还存在平移对称性 (即周期性结构),平移对称操作和前面四类操作(又称为点操作,即操作时图形中总有 点保持位置不变)相结合产生二类新的空间对称操作即螺旋旋轴和滑移反映,对应对称元素 为螺旋轴和滑移面,由于前面四类对称性会影响晶胞的形状和晶体生成的外形,一般称为宏 观对称性,后面的平移、螺旋旋转和滑移反映是反映晶体结构内部排列的,故常称为微观对 称性 1.晶系划分和空间点阵型式 晶体结构可按它们所具有旋转对称元素的多少和轴次的高低分成七类,称为7大晶系, 每个晶系有它自己的特征对称元素。所谓特征对称元素是晶体归入该晶系至少要具有的对称
个顶点算一个点阵点[ 1 8 1 8 = ]，6 个面心点算三个点阵点[ 3 2 1 6 = ]），是立方面心结构， 所以是复单位，对应是复晶胞，每个晶胞含 4 个结构基元，每个结构基元含一个 Na+和一个 Cl-，它们的分数坐标分别是 Cl-：（0，0，0），（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2）； Na+：（1/2，0，0），（0，1/2，0），（0，0，1/2），（1/2，1/2，1/2）。同样金刚石也是立方晶 胞，每个晶胞含 4 个点阵点，也是立方面心结构，晶胞内有 8 个碳原子，其中 4 个在点阵点 位置，另外 4 个不在点阵点上，并与相邻点阵点相距 ( ) 4 1 a + b + c 。分数坐标分别是（0，0， 0），（0，1/2，1/2），（1/2，0，1/2），（1/2，1/2，0）和（1/4，1/4，1/4），（1/4，3/4，3/4）， （3/4，1/4，3/4），（3/4，3/4，1/4）。 图 6.2.3 晶胞实例 6.2.2 结构对称性和晶系的划分 晶体结构除了具有周期性的特征外，还具有一定的对称性。晶体的对称性可用一组对 称元素组成的对称元素系来描述，晶体所具有的对称元素系是对晶体进行分类的基础。 晶体结构也和分子结构一样存在四类对称性和相应对称元素，即旋转轴，反映面，旋 转反轴和对称中心。这些对称元素同样存在于晶胞之中。由于晶体具有空间排列的周期性， 所以晶体结构中一般不存在 5 次旋转轴和 6 次以上旋转轴。由于晶体结构还存在平移对称性 （即周期性结构），平移对称操作和前面四类操作（又称为点操作，即操作时图形中总有一 点保持位置不变）相结合产生二类新的空间对称操作即螺旋旋轴和滑移反映，对应对称元素 为螺旋轴和滑移面，由于前面四类对称性会影响晶胞的形状和晶体生成的外形，一般称为宏 观对称性，后面的平移、螺旋旋转和滑移反映是反映晶体结构内部排列的，故常称为微观对 称性。 1． 晶系划分和空间点阵型式 晶体结构可按它们所具有旋转对称元素的多少和轴次的高低分成七类，称为 7 大晶系， 每个晶系有它自己的特征对称元素。所谓特征对称元素是晶体归入该晶系至少要具有的对称
元素,表6,2.1按对称性由低到高列出了7个晶系的名称、特征和相应的特征对称元素 表6217个晶系的划分和32晶体学点群 对称性晶系特征对称元素 晶胞类型 点阵型式 点群 无 单斜 2或m ab式a==90°4 C2(3)Cs(4)C2h(5) 正交|二个互相垂直的a≠b≠a=B==90°PCD(6)C2v(7)Dh(8) m或三个互相垂 直的2 四方 =b≠a=p==90° C4(9)S4(10) C4s(11)D4(12) (13)D2d(14) 菱面体晶胞a=b=c C3(16)C3i(17) a=B=<120°≠90° D:(18)C3v(19) 六方晶胞a=b≠ Dd(20) a==90°=120° b≠ca=阝=90 C6(21)Ch(22) =120° C6(23)D6(24) 高立方43在立方体的a=b=ca=B==90° FT(28)T(29)030) 体对角线方向 Td(31)O1(32) 根据对称性高低,七个晶系又分成三个晶族,其中立方晶系对称性最高,它有多个高 次轴(大于2次的轴),属于高级晶族;六方、四方和三方晶系次之,它们只有一个高次轴 属于中级晶族;正交、单斜和三斜又次之,没有高次轴,属于低级晶族。由于晶胞是晶体结 构中具有等同内容的基本单位,晶胞的外形也反映了晶体结构所具有的最基本的特征对称 性,因此晶系的划分也可认为是根据晶胞的形状不同进行的分类。表621就反映了七个晶 系和七种晶胞外形的一一对应关系。 属于每一晶系的点阵,根据单位是素单位和复单位的不同,又可分为一种或几种型式, 称为空间点阵型式。例如立方晶系的点阵是具有立方体的点阵单位,但每种单位在不降低其 对称性的前提下可能是素单位,或体心,或面心的复单位。因为体心和面心单位也完全满足 立方晶系有4个3次轴的特征对称元素的要求因此立方晶系有三种点阵型式:简单立方(P) 体心立方(1和面心立方(F。点阵单位型式常以P(Prim)表示简单的,F( lachenzentriert 表示面心, I(nnerzentriert表示体心,以及以A、B、C分别表示在a、b、c方向的侧心和 底心。同理四方晶系只有简单P和体心两种点阵型式,因为四方面心可以由更小的四方体心 代替:正交晶系最丰富,四种点阵型式P、I、F、C(或称A、B)都有:单斜晶系只有P 和C两种;而六方、三方和三斜晶系都只有素单位,习惯上它们的点阵型式分别记为H、R
元素，表 6.2.1 按对称性由低到高列出了 7 个晶系的名称、特征和相应的特征对称元素。 表 6.2.1 7 个晶系的划分和 32 晶体学点群 对称性 晶系 特征对称元素 晶胞类型 点阵型式 点群 低 三斜 无 abc == 90 P C1(1) Ci(2) 单斜 2 或 m abc ==90 P,C C2(3) Cs(4) C2h(5) 正交 二个互相垂直的 m 或三个互相垂 直的 2 abc === 90 P,I,F,C D2(6) C2v(7) D2h(8) 中 四方 4 a=bc === 90 P,I C4(9) S4(10) C4h(11) D4(12) C4v(13) D2d(14) D4h(15) 三方 3 菱面体晶胞 a=b=c ==< 12090 R C3(16) C3i(17) D3(18) C3v(19) D3d(20) 六方晶胞 a=bc ==90 =120 六方 6 a=bc ==90 =120 H C6(21) C3h(22) C6h(23) D6(24) C6v(25) D3h(26) D6h(27) 高 立方 43 在立方体的 体对角线方向 a=b=c === 90 P,F,I T(28) Th(29) O(30) Td(31) Oh(32) 根据对称性高低，七个晶系又分成三个晶族，其中立方晶系对称性最高，它有多个高 次轴（大于 2 次的轴），属于高级晶族；六方、四方和三方晶系次之，它们只有一个高次轴， 属于中级晶族；正交、单斜和三斜又次之，没有高次轴，属于低级晶族。由于晶胞是晶体结 构中具有等同内容的基本单位，晶胞的外形也反映了晶体结构所具有的最基本的特征对称 性，因此晶系的划分也可认为是根据晶胞的形状不同进行的分类。表 6.2.1 就反映了七个晶 系和七种晶胞外形的一一对应关系。 属于每一晶系的点阵，根据单位是素单位和复单位的不同，又可分为一种或几种型式， 称为空间点阵型式。例如立方晶系的点阵是具有立方体的点阵单位，但每种单位在不降低其 对称性的前提下可能是素单位，或体心，或面心的复单位。因为体心和面心单位也完全满足 立方晶系有 4 个 3 次轴的特征对称元素的要求。因此立方晶系有三种点阵型式：简单立方(P)、 体心立方(I)和面心立方(F)。点阵单位型式常以 P (Primitiv) 表示简单的，F (Flachenzentriert) 表示面心，I (Innerzentriert) 表示体心，以及以 A、B、C 分别表示在 a、b、c 方向的侧心和 底心。同理四方晶系只有简单 P 和体心两种点阵型式，因为四方面心可以由更小的四方体心 代替；正交晶系最丰富，四种点阵型式 P、I、F、C（或称 A、B）都有；单斜晶系只有 P 和 C 两种；而六方、三方和三斜晶系都只有素单位，习惯上它们的点阵型式分别记为 H、R
P。于是七个晶系共有十四种空间点阵型式。由于这些点阵型式是由布拉维(A. Bravais 在1866年推得的,所以常称为“布拉维点阵”。图624给出了十四种空间点阵具体型式, 表621也列出了它与七个晶系的关系。 图6.2.4十四种空间点阵具体型式 2.对称性组合和32点群 晶体的理想外形及其宏观观察中所表现的对称性称为宏观对称性。晶体的宏观对称性 是以其微观对称性为基础的,所以晶体宏观对称性中的对称元素一定和结构中微观对称元素 方向一致,即平行。包含平移动作的螺旋轴、滑移面等在宏观对称性中表现为旋转轴和镜面 于是晶体外形和宏观观察中表现出的对称元素只有旋转轴Cn和镜面σ二类,其中旋转轴的轴 次由于周期性限制只有1次、2次、3次、4次和6次轴即C1、C2、C3、C4和C6旋转操 作和镜面操作的组合也只有C2h=S2=和C4on=S4是独立的。因此,晶体中独立的宏观对称 元素共计八种C1、C2、C3、C4、C6、σ、I、S4。这些对称操作都是点操作,所以当晶体 具有一个以上宏观对称元素时,这些对称元素一定通过一个公共点。这八种对称元素通过公 共点的组合共有32种方式,称为晶体学中的32点群。表622列出八种对称元素组合出32 个点群的具体关系,其中第一列为只有旋转轴的组合方式共11种,其它都是它们再和σ、I 或S4进一步组合的方式,括号中表示重复出现的组合方式,表中不重复的组合方式共32种, 即32点群。表中点群符号称为熊夫里斯符号
P。于是七个晶系共有十四种空间点阵型式。由于这些点阵型式是由布拉维（A. Branvais） 在 1866 年推得的，所以常称为“布拉维点阵”。图 6.2.4 给出了十四种空间点阵具体型式， 表 6.2.1 也列出了它与七个晶系的关系。 图 6.2.4 十四种空间点阵具体型式 2． 对称性组合和 32 点群 晶体的理想外形及其宏观观察中所表现的对称性称为宏观对称性。晶体的宏观对称性 是以其微观对称性为基础的，所以晶体宏观对称性中的对称元素一定和结构中微观对称元素 方向一致，即平行。包含平移动作的螺旋轴、滑移面等在宏观对称性中表现为旋转轴和镜面。 于是晶体外形和宏观观察中表现出的对称元素只有旋转轴 Cn 和镜面二类，其中旋转轴的轴 次由于周期性限制只有 1 次、2 次、3 次、4 次和 6 次轴即 C1、C2、 C3、C4 和 C6。旋转操 作和镜面操作的组合也只有 C2h=S2=I 和 C4h=S4 是独立的。因此，晶体中独立的宏观对称 元素共计八种 C1、C2、 C3、 C4、C6、、I、S4。这些对称操作都是点操作，所以当晶体 具有一个以上宏观对称元素时，这些对称元素一定通过一个公共点。这八种对称元素通过公 共点的组合共有 32 种方式，称为晶体学中的 32 点群。表 6.2.2 列出八种对称元素组合出 32 个点群的具体关系，其中第一列为只有旋转轴的组合方式共 11 种，其它都是它们再和、I 或 S4 进一步组合的方式，括号中表示重复出现的组合方式，表中不重复的组合方式共 32 种， 即 32 点群。表中点群符号称为熊夫里斯符号
表622晶体中的32点群 CcccccDDDD cs (C2h) (C6h) (D6h) T 晶体的宏观对称类型32点群就晶体对称性而言(即包含特征对称元素的多少)分属七 个晶系。因此某些属于不同点群的晶体都含有相同的特征对称元素,仍属同一晶系。例如 Oh,O,Td,T和T五个点群都有4个3次轴,故同属立方晶系。32点群和七个晶系的关 系列于表62.1。 6.2.3晶面的表示方法 晶体的空间点阵可划分为一簇平行而等间距的平面点阵,这种平面点阵又有许多种划 分方法,而晶体外形中的每个晶面必然和其中一簇平面点阵平行。这种点阵平面之间的距离 又是晶体结构中的重要结构参数,由它们同样可得到晶体三维结构信息。因此如何标记这种 点阵平面及测量和求算点阵平面间距,就显得相当重要。 1.晶面指标 为了描述和标记这种晶面和点阵平面,一般采用密勒( Miller)提出的方法。即采用晶 面(或点阵平面)在三个晶轴上的倒易截数的互质整数之比(h*,k*,)来标记该晶面,其 中h*,k*,称为晶面指标或密勒指数( Miller index)。例如某点阵平面与a、b、c轴相交于 N1、N2、N3三点,其截距长分别为ra、sb、te,所以截数是r、s、t,此截数之比也能反映 该平面的方向,但当该平面和晶轴(a、或b、或c)平行时,截数就会出现无穷大,为了避 免在晶面标记中出现无穷大的记号∞,故采用截数的倒数之比,即一:-:-,(称为倒易截数 之比)作为晶面的指标。由于点阵的特征,截数r、s、t都是整数,所以其倒易截数之比 定可以化为互质的整数之比,即1:1:1=n*:k*:1*。例如图625中N,N和N2三点 的截数分别是2,2,3,而 =3:3:2,该平面的晶面指标是(3,3,2)。 图中同样给出晶体结构中常见的(100),(110)和(111)面在三维点阵中的取向关系。图 中还给出一些和c轴平行的晶面在wb平面投影的取向,这些平面指标的特点是第3位上全
表 6.2.2 晶体中的 32 点群 Cn I h v d S4 C1 S2=Ci C1h=Cs (C1v=Cs) S4 C2 C2h (C2h) C2v C3 S6=C3i C3h C3v C4 C4h (C4h) C4v C6 C6h (C6h) C6v D2 D2h (D2h) (D2h) D2d D3 D3d D3h (D3h) (D3d) D4 D4h (D4h) (D4h) D6 D6h (D6h) (D6h) T Th (Th) (Th) Td (Td) O Oh (Oh) (Oh) (Oh) 晶体的宏观对称类型 32 点群就晶体对称性而言（即包含特征对称元素的多少）分属七 个晶系。因此某些属于不同点群的晶体都含有相同的特征对称元素，仍属同一晶系。例如 Oh，O，Td，Th 和 T 五个点群都有 4 个 3 次轴，故同属立方晶系。32 点群和七个晶系的关 系列于表 6.2.1。 6.2.3 晶面的表示方法 晶体的空间点阵可划分为一簇平行而等间距的平面点阵，这种平面点阵又有许多种划 分方法，而晶体外形中的每个晶面必然和其中一簇平面点阵平行。这种点阵平面之间的距离 又是晶体结构中的重要结构参数，由它们同样可得到晶体三维结构信息。因此如何标记这种 点阵平面及测量和求算点阵平面间距，就显得相当重要。 1． 晶面指标 为了描述和标记这种晶面和点阵平面，一般采用密勒（Miller）提出的方法。即采用晶 面（或点阵平面）在三个晶轴上的倒易截数的互质整数之比（h*, k*, l*）来标记该晶面，其 中 h*, k*, l*称为晶面指标或密勒指数（Miller Index）。例如某点阵平面与 a、b、c 轴相交于 N1、N2、N3 三点，其截距长分别为 ra、sb、tc，所以截数是 r、s、t，此截数之比也能反映 该平面的方向，但当该平面和晶轴（a、或 b、或 c）平行时，截数就会出现无穷大，为了避 免在晶面标记中出现无穷大的记号，故采用截数的倒数之比，即 r s t 1 : 1 : 1 ，（称为倒易截数 之比）作为晶面的指标。由于点阵的特征，截数 r、s、t 都是整数，所以其倒易截数之比一 定可以化为互质的整数之比，即 * : * : * 1 : 1 : 1 h k l r s t = 。例如图 6.2.5 中 N1，N2 和 N3 三点 的截数分别是 2，2，3，而 3 : 3 : 2 3 1 : 2 1 : 2 1 1 : 1 : 1 = = r s t ，该平面的晶面指标是（3，3，2）。 图中同样给出晶体结构中常见的（100），（110）和（111）面在三维点阵中的取向关系。图 中还给出一些和 c 轴平行的晶面在 ab 平面投影的取向，这些平面指标的特点是第 3 位上全
是0,如果在某一晶轴上的截数是负值,则在晶面指标中用数字上加一横表示,例如(110) 面 图62.5晶面指标表示图实例 晶面指标中一个非常有用的特性应该记住,就是指数绝对值越小,晶面越接近于平行 对应的轴。例如h越小越接近平行于a轴。当h*=0时就平行于a轴,同样(h*0/)面平 行于b轴,(h*k*0)面平行于c轴。 2.晶面距离 平面点阵簇中,相邻两个平面的间距常用d表示,称为晶面间距。密勒指数对表示晶 面间距是非常有用的。已知点阵参数a、b、c和a、B、y以及晶面指标(h*,k,陴),利用 解析几何知识可以严格计算晶面间距。例如图626所示正方格子中(h**0)面间距d 有关系 h*+k-end ko h*2+k*2) 推广到三维立方点阵,则晶面间距计算公式为: * (h*2+k*2+1*2)y2 再推广到一般正交点阵,a≠b≠C,a=B=y=90°则有关系 * 即d (6.2.2) 由上面公式和前面图6.25可见,晶面指标的绝对值越大的晶面其间距越小,从而点阵 平面上的点阵点密度也越小。在晶体实际生长过程中,这种平面长得很快,所以很容易消失 由此在实际晶体的外形上稳定晶面的指数h*,k*,陣很少有大于5的
是 0，如果在某一晶轴上的截数是负值，则在晶面指标中用数字上加一横表示，例如（ 110 ） 面。 图 6.2.5 晶面指标表示图实例 晶面指标中一个非常有用的特性应该记住，就是指数绝对值越小，晶面越接近于平行 对应的轴。例如 h 越小越接近平行于 a 轴。当 h* = 0 时就平行于 a 轴，同样（h*0l*）面平 行于 b 轴，（h*k*0）面平行于 c 轴。 2． 晶面距离 平面点阵簇中，相邻两个平面的间距常用 d 表示，称为晶面间距。密勒指数对表示晶 面间距是非常有用的。已知点阵参数 a、b、c 和、、 以及晶面指标（h*, k*, l*），利用 解析几何知识可以严格计算晶面间距。例如图 6.2.6 所示正方格子中（h*k*0）面间距 dh*k*0 有关系： 2 0 2 2 1/ 2 2 2 2 0 ( * * ) 1 * * h k a d a h k d hk h*k* + = + = 即 。 (6.2.1) 推广到三维立方点阵，则晶面间距计算公式为： 2 2 2 2 1/ 2 2 2 2 2 * ( * * * ) 1 * * * h k l a d a h k l d hkl h*k*l + + = + + = 即 。 (6.2.2) 再推广到一般正交点阵，a b c， = = = 90则有关系： 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * ) * * * ( 1 * * * 1 c l b k a h d c l b k a h d hkl h*k*l + + = + + 即 = 。 (6.2.2) 由上面公式和前面图 6.2.5 可见，晶面指标的绝对值越大的晶面其间距越小，从而点阵 平面上的点阵点密度也越小。在晶体实际生长过程中，这种平面长得很快，所以很容易消失。 由此在实际晶体的外形上稳定晶面的指数 h*，k*，l*很少有大于 5 的