免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 教学课题§17.2一元二次方程根的判别式( 课 时2 教学目标1.能正确说出一元二次方程根的判别式定理 2.会根据根的判别式,不解方程,判断数字系数的一元二次方程根的情况 3.会根据方程根的情况,求方程中待定系数的取值范围 能力目标:培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力,并进一步提高学生计算能力 教学重点:一元二次方程根的判别式的应用 教学难点:根据方程根的情况,求方程中待定系数的取值范围 教学方法:启发引导、讲练结合 教学过程 (一)复习引入 1.一元二次方程的一般形式是什么?它的求根公式是什么? -b±√b2-4ac ax2+bx+c=0(a≠0) 2 2.用公式法解下列一元二次方程 2x+2=0 (3)x(x+1)=-2 引导学生观察一元二次方程根的情况有几种?分别是怎样的 通过这组练习,我们发现一元二次方程根的情况有3种。即有两个不等实根,有两个相等 实根,无实根。为什么会有这三种情况呢?方程的根的情况是由求根公式中哪一部分条件决 定的?能不能不解方程就判别根的情况呢? (二)讲授新课 1.讲解根的判别式的定义、符号 我们知道,任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用配方法可将其变形为 ∵a≠0∴4a2>0,∴b2-4ac的符号直接影响着方程的根的情况。 (1)当b2-4ac>0时,方程右边是一个正数,故方程有两个不相等的实数根 b-√b2-4ac (2)当b2-4ac=0时,方程右边是0,显然有两个相等的实数根。 b (3)当b2-4ac<0时,方程右边是一个负数,而方程左边的(x+)2不可能是一个负 数,因此方程也就没有实数根 由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定。我们把 b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“△”来表示。 即△=b2-4ac 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 教学课题 §17．2 一元二次方程根的判别式（一） 课 时 2 教学目标 1．能正确说出一元二次方程根的判别式定理 2．会根据根的判别式，不解方程，判断数字系数的一元二次方程根的情况 3．会根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围 能力目标：培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力，并进一步提高学生计算能力 教学重点：一元二次方程根的判别式的应用 教学难点：根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围 教学方法：启发引导、讲练结合 教学过程： （一） 复习引入 1． 一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式是什么？ ax 2＋bx＋c=0 (a≠0) ; x= a b b ac 2 4 2 − − [来源:学科网Z XXK ] 2． 用公式法解下列一元二次方程： (1)3x2－4x－2=0 (2) x2－2 2 x＋2=0 ( 3) x(x＋1)=-2 引导学生观察一元二次方程根的情况有几种？分别是怎样的？ 通过这组练习，我们发现一元二次方程根的情况有 3 种。即有两 个不等实根，有两个相等 实根，无实根。为什么会有这三种情况呢？方程的根的情况是由求根公式中哪一部分条件决 定的？能不能不解方程就判别根的情况呢？ （二） 讲授新课 1．讲解根的判别式的定义、符号 我们知道，任何一个一元二次方程 ax 2＋bx＋c=0 (a≠0)用配方法可将其变形为 (x＋ a b 2 ) 2 = 2 2 4 4 a b − ac ∵a≠0 ∴4a2＞0，∴b2－4ac 的符号直接影响着方程的根的情况。 （1） 当 b 2－4ac＞0 时，方程右边是一个正数，故方程有两个不相等的实数根。 x 1= a b b ac 2 4 2 − + − , x2= a b b ac 2 4 2 − − − , （2） 当 b 2－4ac=0 时，方程右边是 0，显然有两个相等的实数根。 x1= x2= a b 2 − （3） 当 b 2－4ac＜0 时，方程右边是一个负数，而方程左边的(x＋ a b 2 ) 2 不可能是一个负 数，因此方程也就没有实数根。 由此可知，一元二次方程 ax 2＋bx＋c=0 (a≠0) 的根的情况可由 b 2－4ac 来判定。我们把 b 2－4ac 叫做一元二次方程 ax 2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示。 即△=b2－4ac
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.讲解一元二次方程根的判别式定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是: ①当△>0时,有两个不相等的实数根。 ②当△=0时,有两个相等的实数根 ③当△0 ∴原方程有两个不相等的实数根。 (2)原方程可变形为16y2-24y+9=0 △=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=576-576=0 ∴原方程有两个相等的实数根 3)原方程可变形为5x2-7x+5=0 ∴△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-1000即8k+9>0∴k> ∴当k>--时,方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个相等的实数根 ∵.△=0即8k+9=0∴k 8 ∴当k=--时,方程有两个相等的实数根 (3)∵方程没有实数根 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 2．讲解一元二次方程根的判别式定理 一元二次方程 ax 2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的情况是： ① 当△＞0 时，有两个不相等的实数根。 ② 当△=0 时，有两个相等的实数根。 ③ 当△＜0 时，没有实数根 ④当△ 0 时，方程有实数根。 反过来也成立。 3．例题分析 例1． 不解方程，判别下列方程根的情况： （1） 2x2＋3x－4=0 （2） 16y2＋9=24y （3） 5(x2＋1)－7x=0 解：（1）∵△=b2－4ac= 32－4×2×(-4)=9+32=41＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根。 （2）原方程可变形为 16y2－24y ＋9=0 ∵△=b2－4ac=（-24）2－4×16×9=576－576=0 ∴原方程有两个相等的实数根。 (3)原方程可变形为 5x2－7x＋5=0 ∵△=b2－4ac= (-7)2－4×5×5=49－100＜0 ∴原方程没有实数根。 小结：①将方程化为一元二次方程的一般形式，正确找出 a、b、c ②只需判断△值的符号，而不必算出具体数值 ③根的判别式可以判断一元二次方程根的情况 例 2.已知：关于 x 的方程 2x2－(4k＋1)x＋2k2－1=0 当 k 取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3） 方程没有实数根 解：△=[- (4k＋1)] 2－4×2(2k2－1)=16 k2＋8k＋1－16 k2＋8=8k＋9 （1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴△＞0 即 8k＋9＞0 ∴k＞ 8 9 − ∴当 k＞ 8 9 − 时，方程有两个不相等的实数根 （2）∵方程有两个相等的实数根 ∴△=0 即 8k＋9=0 ∴k= 8 9 − [来源: Z xx k.C om] ∴当 k= 8 9 − 时，方程有两个相等的实数根 （3）∵方程没有实数根
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴△0,△=0,△<0 求出待定系数的取值范围 思考:假设二次项系数不是2,而是k还需要考虑什么呢?如何解答呢? (三)巩固练习 (1)不解方程,判别下列方程根的情况 1)2x2+x-11=0 )3x2-2√6 3)3x-2x2-18=0 4)x2-2mx+4(m-1)=0(m为常数) (2)a取什么值时,关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-2=0①有两个不相等的实数根?②有 两个相等的实数根?③没有实数根? (3)m取什么值时,关于x的方程(m+2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根? (四)小结: (1)根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况 (2)只有当方程是一元二次方程时,才有根的判别式,所以使用时应注意二次 项系数不为0这个条件 (五)作业: 判断方程kx2-4x+4=0的根的情况 (六)课后记 教学课题§17.2一元二次方程根的判别式(二) 教学目标:1.能熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况 2.会根据一元二次方程根的情况,求待定系数的取值范围 能力目标:培养学生的计算能力和解决问题的能力 教学重点:一元二次方程根的判别式的应用 教学难点:一元二次方程根的判别式的应用 教学方法:启发引导、讲练结合 教学过程 (一)复习引入 不解方程,判断下列方程根的情况: 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴△＜0 即 8k＋9＜0 ∴k＜ 8 9 − ∴当 k＜ 8 9 − 时，方程没有实数根 小结：给出了方程的根的情况的结论,求 a、b、c 中所含字母的取值或取值范围的方法是： ⚫ 计算△ ⚫ 由方程根的情况转化为解△＞0，△=0，△＜0 ⚫ 求出待定系数的取值范围 思考：假设二次项系数不是 2，而是 k 还需要考虑 什么呢？如何解答呢？ (三)巩固练习 （1）不解方程，判别下列方程根的情况 1) 2x2＋x－11=0 2) 3x2－2 6 x＋2=0 3) 3x－ 2x2－18=0 4) x 2－2mx＋4(m－1)=0 (m 为常数) （2）a 取什么值时，关于 x 的方程 x 2＋2(a－1)x＋a 2－2=0①有两个不相等的实数根？②有 两个相等的实数根？③没有实数根？ （3）m 取什么值时，关于 x 的方程(m＋2)x2＋2x－1=0 有两个不相等的实数根？ [来源:学#科#网Z #X# X#K ] （四）小结： （1） 根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况 （2） 只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式，所以使用时应注意二次 项系数不为 0 这个条件[来源:学科网 ZXX K] （五）作业： 判断方程 kx2－4x＋4=0 的根的情况 [来源:学#科#网] （六）课后记 教学课题 §17．2 一元二次方程根的判别式（二） 教学目标：1.能熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况 2.会根据一元二次方程根的情况，求待定系数的取值范围[来源: Z | xx |k. Com ] 能力目标：培养学生的计算能力和解决问题的能力 教学重点：一元二次方程根的判别式的应用 教学难点：一元二次方程根的判别式的应用 教学方法：启发引导、讲练结合 教学过程 （一） 复习引入 不解方程，判断下列方程根的情况：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.3x2+6x=5 (√2x+2)=-1 (二)讲授新课 例1.k取什么值时,方程(k-2)x2-4x+3=0有两个实数根? 解:△=(-4)2-4(k-2)×3=16-12k+24=-12k+40 方程有两个实数根 ∴△≥0-12k+40≥0∴k≤10 1:b 二次项系数k-2≠0,∴k≠2 10 综上所述,当k≤一且k≠2时,方程有两个实数根 小结: ◇当二次项系数含有字母时,要注意字母的取值范围 ◆注意数形结合的思想 今△0方程有实数根 练习:m取什么值时,方程mx2-3mx+m+5=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根 解:∵方程mx2-3mx+m+5=0有两个相等的实数根 ∴1△=(-3m)2-4m×(m+5)=0 ∴△=9m2-4m2-20m=5m2-20m=0 5m(m-4) =0,m2=4 当m=4时,方程mx2-3mx+m+5=0有两个相等的实数根 例2.方程(k-1)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根,求非负整数k的值. 解:∵方程(k-1)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根 △=(-2)2-4(k-1)×3=4-12k+12=16-12k>0 又∵k-1≠0∴k≠1 综上所述∴k=0时,方程(k-1)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根 小结:首先利用根的判别式,求出方程中字母系数k的取值范围,再取符合题意的特殊解, 然后再代入方程进行检验,以决定取舍 练习:(1)已知方程(k-3)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根,求正整数k的值 (2)已知方程(k-3)x2-2x+3=0有两个不相等的整数根,求正整数k的值 (3)已知m是正整数,关于x的方程x2-2(5-m)x+m+1=0的两个根都是正整数,求m的 解:(1)△=-12k+40 方程(k-3)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根 12k+40>0 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 3 -2 -1 0 1 2 3 10 4 1.3x2＋6x=5 2. 2 x ( 2 x＋2)=-1 (二)讲授新课 例 1．k 取什么值时，方程（k－2）x 2－4x＋3=0 有两个实数根？ 解：△=(-4)2－4(k－2)×3=16－12k＋24=-12k＋40 ∵方程有两个实数根 ∴△ 0 -12k＋40 0 ∴k 3 10 ∵二次项系数 k－2≠0, ∴k≠2 综上所述，当 k 3 10 且 k≠2 时，方程有两个实数根。 [来源:学科网] 小结： 当二次项系数含有字母时，要注意字母的取值范围 注意数形结合的思想 △≧0 方程有实数根 练习：m 取什么值时，方程 mx 2－3mx＋m＋5=0 有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。 [来源:学。科。网Z。X。X。K] 解：∵方程 mx 2－3mx＋m＋5=0 有两个相等的实数根 m≠0 ∴ △=(-3m)2－4m×(m＋5)=0 ∴△=9m2－4m2－20m=5m2－20m=0[来源: Z§xx§k .Co m] 5m(m－4)=0 m1=0, m2=4 ∴当 m2=4 时，方程 mx 2－3mx＋m＋5=0 有两个相等的实数根。[来源: 学#科#网Z# X#X #K] 例 2．方程(k－1)x 2－2x＋3=0 有两个不相等的实数根，求非负整数 k 的值. 解：∵方程(k－1)x2－2x＋3=0 有两个不相等的实数根 ∴△=(-2)2－4(k－1)×3=4－12k＋12=16－12k＞0 ∴k＜ 3 4 又∵k－1≠0 ∴k≠1 综上所述 ∴k=0 时，方程(k－1)x2－2x＋3=0 有两个不相等的实数根. 小结：首先利用根的判别式，求出方程中字母系数 k 的取值范围，再取符合题意的特殊解， 然后再代入方程进行检验，以决定取舍。 练习：（1）已知方程(k－3)x2－2x＋3=0 有两个不相等的实数根，求正整数 k 的值. （2）已知方程(k－3)x2－2x＋3=0 有两个不相等的整数根，求正整数 k 的值. （3）已知 m 是正整数,关于 x 的方程 x 2－2(5－m)x＋m 2＋1=0 的两个根都是正整数, 求 m 的 值. 解：（1）△=-12k＋40 ∵方程(k－3)x2－2x＋3=0 有两个不相等的实数根 ∴-12k＋40＞0
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys 10 3又∴k-3≠0∴k≠3 (2)前面解法同(1) 当k=1时,原方程是-2x2-2x+3=0 即2x2+2x-3=0 此方程的根不是整数根,故舍去 当k=2时,原方程是-x2-2x+3=0 即x2+2x-3=0 当k=2时,原方程(k-3)x2-2x+3=0有两个不相等的整数根。 (3)此题与(2)题的不同之处是两个整数根可能相同,也可能不同。故 △0即△=-40m+96=0 ∴m≤2.4又m是正整数 ∴m=1,2 当m=1时,此方程的根不是整数根,故舍去 当m2时,x1=5,x2=1 ∴当m2时,方程x2-2(5-m)x+m2+1=0的两个根都是正整数 (三)课堂小结 (1)含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定,而字母系数的取值范围由 △的不同情况求得。要特别注意二次项系数不等于0的条件 (2)注意数形结合、配方法的使用 (四)作业: 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴k＜ 3 10 又∵k－3≠0 ∴k≠3 ∴k=1,2[来源: Z , xx, k.C om] (2) 前面解法同（1） 当 k=1 时,原方程是-2 x2－2x＋3=0 即 2 x2＋2x－3=0 此方程的根不是整数根，故舍去。 当 k=2 时, 原方程是-x 2－2x＋3=0 即 x 2＋2x－3=0 ∴x1=-3, x2=1 ∴当 k=2 时，原方程(k－3)x2－2x＋3=0 有两个不相等的整数根。 （3）此题与（2）题的不同之处是两个整数根可能相同，也可能不同。故 △≧0 即 △=-40m＋96≧0 ∴m≦2.4 又 m 是正整数 ∴m=1,2 当 m=1 时, 此方程的根不是整数根，故舍去。 当 m=2 时, x1=5, x2=1 ∴当 m=2 时，方程 x 2－2(5－m)x＋m 2＋1=0 的两个根都是正整数 (三)课堂小结： （1） 含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由 △的不同情况求得。要特别注意二次项系数不等于 0 的条件。 （2） 注意数形结合、配方法的使用。[来源: Z # xx# k.C om] （四）作业：