二次函数 复习(一) 4测的多9邮的
二次函数的概念 函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)叫做二次函数 判断一个函数是否是二次函数满足的条件: (1)等式右边关于自变量x的代数式一定是整式 (2)化简后等式的右边自变量x最高次数为2 (3)化简后等式的右边二次项系数a≠0 器器
一、二次函数的概念 函数y= ax 2+bx+c (a、b、c为常数，a______ ≠０ ）叫做二次函数 （1）等式右边关于自变量x的代数式一定是 判断一个函数是否是二次函数满足的条件： （2）化简后等式的右边自变量x最高次数为 整式 2 （3）化简后等式的右边二次项系数a≠０
练习1 1.下列函数中是二次函数(D) A、y=(x+3)2-x2B、y=mx2+3x-1m≠0 C、y D、y=3(x-1)2+1 2.如果函数y=(m-2)x是二次函数,(m-2≠0 那么m-2 2 3.如果函数y=(k-3)2-8+2+Xx+1是二次函数 则k的值一定是O k23k+2=2「k;=0k2=3 k-3≠0 k≠3 器器
Ｄ、 y=3(x-1)²+1 Ｂ、y=mx2 Ａ、y=(x+3)²-x² +3x-1 1.下列函数中是二次函数（ ） Ｃ、 练 习１ Ｄ ２.如果函数 是二次函数， 那么m= -2 . ３.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数, 则k的值一定是______ 2 k - 3k+ 2 x k-3≠0 k²-3k+2=2 k1=0 k2=3 k≠3 ０ m≠０
、二次函数的图象与性质 名称 顶点式 般式 二次函数解析式 y=a(x-h)2+k y=+c 对称轴 直线x=h 直线x=-2 a 顶点坐标 b 4ac-6 h, k) 2a 4a a>0y随x的增大而减小当x0向当x=h时y最外做k当x=-时y最小值4 和最值 开口 a<0向下当x=h时,y最大做k当x=-b时y最大值4 4ac-b
名称 顶点式 一般式 二次函数解析式 对称轴 顶点坐标 增减性 a＞0 a＜0 开口 方向 和最值 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c a b 2 直线 − x=h 直线x= (h,k) a ac b a b 4 4 , 2 2 − −( ) a b 2 − a b 2 − 当x ＜ 时，y随x的增 大而减小；当x ≥ 时y 随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增 大而增大；当x≥ 时 y随x的增大而减小 a b 2 − a b 2 − 当 x=h 时,y最小值=k 当x= 时,y最小值= a b 2 − a ac b 4 4 2 − 当x=h时，y最大值=k 当x= 时,y最大值= a b 2 − a ac b 4 4 2 − y x o o y x 当x＜h时 y随x的增大而减小 当x≥h时 y随x的增大而增大 当x＜h时 y随x的增大而增大 当x≥h时 y随x的增大而减小 a＞0 a＜0 开口 向上 开口 向下
练习2(配方法或公式法都可以求 1、二次函数y y=x-2x+3 向下:顶点坐标(-3,-1); 对称轴方程为y=32x+12-12+3付y随着x的增大而减小, 当x=-3时, y=(x-1)2+2 2、抛物线 2 标 A、y轴,(0 y=2x2-4x+7 4 C、x轴,(0 2a 4 (0 3、二次函数y=x2 把x=1代入解析式得 A、最大值3B、 y=2-4+7=5 2 D 4、二次函数y=x2+2的图象开口方向是 对称轴是x=1质点坐标是(-1,=5) 5、抛物线y=2x2-4x+7的顶点坐标是(1,5);当x<1时, y随着x的增大而增大,当x≥1时,y随着x的增大而减小 当x=1时,函数y有最小值,y=5 器器
1、二次函数y=-2（x+3）2 -1图象的开口 ;顶点坐标 ; 对称轴方程为 ;当x 时,y随着x的增大而减小， 当x 时，函数y有最 值是 。 (-3,-1) 练 习２ 2、抛物线 的对称轴及顶点坐标分别是（ ） A、y轴，（０，－４） B、直线x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３） 2 3 2 y = − x + D x＝-3 4、二次函数 的图象开口方向是 , 对称轴是 ,顶点坐标是 . 2 4 2 y = x + x − 向上 x=-1 (-1,-5) 5、抛物线 y=2x2 -4x+7的顶点坐标是 ；当x 时, y随着x的增大而增大，当x 时,y随着x的增大而减小 当x 时，函数y有最 值，y＝ 。 (1 , 5) 3、二次函数 的最值为（ B ） A、最大值3 B、最小值2 C、最大值２ D、最小值3 2 3 2 y = x − x + 向下 ≥-3 =-3 大 -１ x y o x＝-3 ＜1 ≥1 =1 小 5 x y o x＝1 配方法或公式法都可以求 y=x2 -2x+3 y=x2 -2x+12-1 2+3 y=(x-1)2 +2 y=2x2 -4x+7 1 4 4 2 = − = − = − a b x y = 2 − 4 + 7 = 5 把x =1代入解析式得
6、若抛物线y=(2m-1)x2的开口向下,则m的取值 范围是(B) A m0时,y随x增大而增大,则k=2; k+2>0 k>-2 k2+k-4=2 -3k,=2…k=2 ∴k+2> 8、若抛物线y=x2+2x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是 k<1。 4ac-b24k-4 公式法:y k-1k-1<0 4a 配方法:y=x2+2×+12-12+k=(x+1)2+k-1k-1<0 变式、抛物线y=x2+2x+k的顶点在x轴上,则k=1。 e器器m
6、若抛物线 的开口向下,则m的取值 范 围是( ) A.m＜0 B. C. D. 2 y = (2m −1)x 2 1 m＜ 2 1 m＞ 2 1 m＞ − Ｂ 7、已知y=（k+2）x 是二次函数， 且当x>0时，y随x增大而增大，则k= ； k 2+k-4 k+2＞0 k²+k-4=2 k1=-3 k2=2 k＞-2 ∴k=2 x y o ∴k+2＞0 2 8、若抛物线y=x2 +2x+ k的顶点在x轴 下方,则k的取值范 围是 k 。 = k −1 k-1＜0 ＜1 配方法:y=x2 +2x+12-1 2+k=(x+1)2 +k-1 k-1＜0 变式、抛物线y=x2 +2x+ k的顶点在x轴上,则k =1
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 系数a,b,c,△与抛物线图象的关系 a决定开口方向:a>0时开口向上 (上正、下负)a0时抛物线交于y轴的正半轴 c=0时抛物线过原点 大奖sQ缘交于y轴的负半触 快是测物线学轴的交50时抛物百西个交点 A= b"-4aceRea A三0时抛物线与 交点 师划线与轴没有交空
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 系数a，b， c，△与抛物线图象的关系 a a,b c △ a决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下 a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴 △决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 △＜０时抛物线与x轴没有交点 (上正、下负） (左同、右异) (上正、下负) △= b 2 -4ac
练习3 次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图y 所示,则a、b、c的符号为(B) A、a0,c>0B.a0,c0D、a0.b>0,c=0B、a0,c=0 C、a0,b0,b=0,c>0.△>0B、a0,c0b=0,c0D、a<0,b=0,c<0,△<0 熟练掌握a,b,c,△与抛物线图象的关系 上正、下负)(左同、右异) e器器m
x y １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a0,c>0 B、a0,c0 D、a0,b>0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,b=0,c>0,△>0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a<0,b=0,c<0,△<0 B A C o o o 练习3： 熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异) c·
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 三、四象限,判断a、b、c的符号情况: a_Q,b_0s0.=[1999中考] 5抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点 且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足 的条件是:ab0x0.=[2000中考] 6二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0, 那么这个二次函数图象的顶点必在第四象限 先根据题目的要求画出函数的草图,再根据 图象以及性质确定结果(数形结合的思想)
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a 0,b 0,c 0. x y o = [1999中考] 6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b
X 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例1 1、当x=1时 y=a+b+c 2、当X=-1时,y=ab+c 3、当x=2时,y=4a+2b+c 2 0:1 4、当x=-2时,y=4a-2b+c 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示,a0 那么下列判断正确的有(填序号)③⑦ b>0,c>0 ①abc>〔x②b2-4ac(×⑥4a+2b+c<〔×⑦4a-2b+c<0 在判断a+b+c,a-b+C,4a+2b+c,4a-2b+c等式子的符号时需要 整体考虑,结合图象观察x取相应值时y值在正半轴还是负半轴 对于b与2a的关系式通常需要结合图象考虑对称轴的值判断
-2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： 1、当x=1 时， 2、当x= -1时， 3、当x=2时， 4、当x= -2时， y=a+b+c y=a-b+c y=4a+2b+c y=4a-2b+c x y o 1 -1 2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示， 那么下列判断正确的有 （填序号） . ①abc>0 ②b2-4ac0 ⑥4a+2b+c0,c>0 在判断a+b+c，a-b+c， 4a+2b+c，4a-2b+c等式子的符号时需要 整体考虑，结合图象观察x取相应值时y值在正半轴还是负半轴 对于b与2a的关系式通常需要结合图象考虑对称轴的值判断 × -1 × × × × x= 1