专题选读5广义相对论概要
专题选读5 广义相对论概要
三维欧几里德空间 平直空间 四维闵可夫斯基空间 弯曲空间 引力场的空间是弯曲的 透明片上画一个半径为的圆，其圆心为O'。此圆印在 平板上，其圆心为O,半径为·。 (爱因斯坦转盘) 以0匀角速转动 平板一惯性系S 平透明片一 转盘参考系S 静止→r=r 转动◆径向长度与运动方向垂直→r= S系是平直空间→周长为1=2π
弯曲空间 平直空间 三维欧几里德空间 四维闵可夫斯基空间 引力场的空间是弯曲的 平板 惯性系S 平透明片 转盘参考系 S′ （爱因斯坦转盘） 以 ω 匀角速转动 透明片上画一个半径 为 的圆，其圆心为 。此圆印在 平板上，其圆心为 ，半径为 。 r ′ O′ O r 径向长度与运动方向垂直 r = r' 静止 r = r' 转动 S系是平直空间 周长为 l = 2πr
运动方向沿圆周 S系测的是动长 S系测的圆周静长1'=2πr(1- 022 >2元r 在S'系中圆周率>π 空间是弯曲的 S'系中存在惯性离心力，等效为径向引力，S'系观察者认为 产生空间弯曲的原因是引力 真空中光速是极限速率 两点间光经过的路径就是短程线 由光线的曲直可判断空间的曲直 惯性系中的短程线是直线 空间平直 非惯性系中的短程线是曲线 空间弯曲
运动方向沿圆周 S′系测的圆周静长 r c r 2πrl 2)1( π 2 1 2 22 ′ −= > ω − 在 系中圆周率 S′ > π 空间是弯曲的 S系测的是动长 S′系中存在惯性离心力，等效为径向引力， 系观察者认为 S′ 产生空间弯曲的原因是引力 真空中光速是极限速率 惯性系中的短程线是直线 空间平直 非惯性系中的短程线是曲线 空间弯曲 两点间光经过的路径就是短程线 由光线的曲直可判断空间的曲直 v a
黎曼空间 无引力的平直空间 有引力的弯曲空间 黎曼空间的主要特征 定义了空间中相邻两点之间距离ds ds是坐标变换不变量 在欧氏空间中 ds2 dx2+dy2+dz2 在闵氏空间中ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2 对弯曲的四维时空 ds2=gudx2+g2dx dx2 +gi3dx dx3 +gadx dxa +g2dx2dx+...+gdx
黎曼空间 有引力的弯曲空间 无引力的平直空间 黎曼空间的主要特征 定义了空间中相邻两点之间距离 ds ds 是坐标变换不变量 在欧氏空间中 在闵氏空间中 2 2 2 2 ds = dx + dy + dz 2 2 2 2 2 2 ds = dx + dy + dz − c dt 对弯曲的四维时空 2 21 2 1 44 4 12 1 2 13 1 3 14 1 4 2 11 1 2 d d d d d d d d d d d g x x g x s g x g x x g x x g x x + + + = + + + K
811 812 813 814 ds2=(dx dx2 dx3 dxa) 821 822 823 824 831 832 833 834 dx; 841 842 843 844 dxa 8 度规张量 8uv是对称张量 二次型ds2=gdx"dx" guv=8vu 欧氏空间 100 8w= 010 10 001 00 r2sin20 ds2 dr2 +r2d02+r2 sin2 ao
( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 2 1 44434241 34333231 24232221 14131211 4321 2 d d d d d d d dd x x x x gggg gggg gggg gggg xxxxs μν g 度规张量 二次型 νμ μν ddd xxgs2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 010 001 gμν ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = θ μν 22 2 sin00 0 0 001 r rg 欧氏空间 2222222 θ ++= rrrs dsinddd ϕθ μν νμ = gg μν g 是对称张量
「10 0 0 闵可夫斯基空间 0 10 0 84w= 0 01 0 0 00-1 度规决定了空间的性质 空间是否弯曲、弯曲的曲率、二点距离、短程线、… 对黎曼空间任意点P，总能找到一个局域参考系使P点 度规为闵可夫斯基度规，该局域参考系的原点相对于P 点瞬时静止，在空间自由下落。 瞬时静止局域惯性系 等效原理 惯性质量与引力质量相等
⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − = 1000 0100 0010 0001 μν g 闵可夫斯基空间 度规决定了空间的性质 空间是否弯曲、弯曲的曲率、二点距离、短程线、… 对黎曼空间任意点P ，总能找到一个局域参考系使P 点 度规为闵可夫斯基度规，该局域参考系的原点相对于P 点瞬时静止，在空间自由下落。 瞬时静止局域惯性系 惯性质量与引力质量相等 等效原理
理想实验 (1)加速系中的惯性力场等效于一个均匀的引力场 (2)引力场中自由下落的参考系是一个惯性系 引力场强度的大小和方向一般随地点不同，不可能用一个 加速系把它处处消去。 在引力场中任何一个局部的小范围 一近似均匀 →找到一个相对于它有加速度的参考系 →引力刚好与惯性力相消 这种在局部空间范围内消去引力场的参考系 狭义相对论所确定的物理规律全部有效 一局域惯性系
理想实验 （1）加速系中的惯性力场等效于一个均匀的引力场 （2）引力场中自由下落的参考系是一个惯性系 引力场强度的大小和方向一般随地点不同，不可能用一个 加速系把它处处消去。 找到一个相对于它有加速度的参考系 引力刚好与惯性力相消 这种在局部空间范围内消去引力场的参考系 局域惯性系 在引力场中任何一个局部的小范围 近似均匀 狭义相对论所确定的物理规律全部有效
广义相对性原理 物理定律在一切参考系中都具有相同的形式 引力场中任意点都可以引入局域惯性系，其中狭义相 对论成立。物理定律在此局域惯性系和该点的其他任 意参考系表述都相同。 局域惯性系 自由粒子沿直线一 短程线运动 加速系或引力场 自由粒子沿弯曲时空的“直线”一短程线运动 固有时 真实距离 坐标时 坐标距离
广义相对性原理 物理定律在一切参考系中都具有相同的形式 引力场中任意点都可以引入局域惯性系，其中狭义相 对论成立。物理定律在此局域惯性系和该点的其他任 意参考系表述都相同。 局域惯性系 自由粒子沿直线 —— 短程线运动 加速系或引力场 自由粒子沿弯曲时空的“直线” —— 短程线运动 固有时 真实距离 坐标时 坐标距离
y21 dx=(1- c2)2dt dr'=(1- 2）2d m2、 GMm=0 → 2GM 2 2= - d'=0- 对闵可夫斯基空间 ds2 dr2+r2(d02+sin20do2)-c2dt2 对施瓦氏场 ds2 dr'2+r2(de2+sin20do2)-c2dr2
t c v d)1(d 2 1 2 2 τ −= r c v r d)1(d 2 1 2 2 − ′ −= 0 2 1 2 =− r GMm mv r GM v 2 2 = 2222 2222 rrs ++= ϕθθ − d)dsind(dd tc 对闵可夫斯基空间 对施瓦氏场 2 222 2222 = ′ rrs ++ − c d)dsind(dd τϕθθ t rc GM d) 2 1(d 21 2 τ −= r rc GM r d) 2 1(d 21 2 − ′ −=
d0-2w+ra6+smo-c0-20w 0 0 0 1 2GM 8m= 0 r2 0 0 0 0 r2sin20 0 2GM 0 0 0 1、 爱因斯坦引力场方程 28mR= 8πG C4
rc GM r r rc GM g v 2 22 2 2 2 1000 sin00 0 0 0 0 00 0 2 1 1 − − = θ μ v v T v c G μ μ RgR 4 μ 8π 21 −=− 爱因斯坦引力场方程 2 2 2222221 2 2 d) 2 1()dsind(d) 2 1(d t rc GM rr c rc GM s −= ++ −− − ϕθθ