免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.5平方差公式(二) ●教学目标 (一)教学知识点 1.了解平方差公式的几何背景 2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算 3.体会符号运算对证明猜想的作用 二)能力训练要求 1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣 2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美 ●教学重点 平方差公式的几何解释和广泛的应用 ●教学难点 准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能 ●教学方法 启发一一探究相结合 ●教具准备 块大正方形纸板,剪刀 投影片四张 第一张:想一想,记作(§1.5.2A) 第二张:例3,记作(§1.5.2B) 例4,记作(§1.5.2C) 第四张:补充练习,记作(§1.7.2D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景,引入新课 [师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少? 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.5 平方差公式(二) ●教学目标 (一)教学知识点 1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力训练要求 1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. 2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美. ●教学重点 平方差公式的几何解释和广泛的应用. ●教学难点 准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. ●教学方法 启发——探究相结合 ●教具准备 一块大正方形纸板，剪刀. 投影片四张 第一张：想一想，记作(§1.5.2 A) 第二张：例 3，记作(§1.5.2 B) 第三张：例 4，记作(§1.5.2 C) 第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为 a. 这个正方形的面积是多少？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]a2 [师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1 23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分),你能表示出阴影部分的面积吗? b 图1 [生]剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为a2-b2). [师]你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗?同学们可在小组内交流讨论 (教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法) [生]老师,我们拼出来啦 [师]讲给大伙听一听 [生]我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),我们 可以注意到,上面的大长方形宽是(a-b),长是a;下面的小长方形长是(a-b),宽是b.我们 可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a-b), 我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图1-24所示的图形(阴影部分),它的长和 宽分别为(a+b),(a-b),面积为(a+b)(a-b) 图1-24 [师]比较上面两个图形中阴影部分的面积,你发现了什么? [生]这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2 [生]这恰好是我们上节课学过的平方差公式 [生]我明白了.上一节课,我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天 我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释,太妙了. 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］a 2 . ［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为 b 的小正方形(如图 1 －23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？ 图 1－23 ［生］剪去一个边长为 b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a 2－b 2 ). ［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论. (教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法) ［生］老师，我们拼出来啦. ［师］讲给大伙听一听. ［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们 可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是 a;下面的小长方形长是(a－b),宽是 b.我们 可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b), 我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图 1－24 所示的图形(阴影部分)，它的长和 宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b). 图 1－24 ［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？ ［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a 2－b 2 . ［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式. ［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天， 我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证 [师]由此我们对平方差公式有了更多的认识这节课我们来继续学习平方差公式,也 许你会发现它更“神奇”的作用 Ⅱ.讲授新课 [师]出示投影片(§1.5.2A) 想一想: (1)计算下列各组算式,并观察它们的特点 12×12 (2)从以上的过程中,你发现了什么规律? (3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗? [生](1)中算式算出来的结果如下 ∫113=143 12×12=144 80×80=6400 [生]从上面的算式可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1 [师]是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢? [生]我猜想是.我又找了几个例子如: j1×3=3 99×101=9999 24×26=624 100×100=10000 25×25=625 [师]你能用字母表示这一规律吗? [生]设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a-1,a+1,则有(a+1)(a-1)=a2-1 [生]这个结论是正确的,用平方差公式即可说明 [生]可是,我有一个疑问,a必须是一个自然数,还必须大于2吗 (同学们惊讶,然后讨论) [生]a可以代表任意一个数 [师]很好!同学们能大胆提出问题,又勇于解决问题,值得提倡. [生]老师,我还有个问题,这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途 呢? (陷入沉思) 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证. ［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也 许你会发现它更“神奇”的作用. Ⅱ.讲授新课 ［师］出示投影片(§1.5.2 A) 想一想： (1)计算下列各组算式，并观察它们的特点 = = 8 8 7 9 = = 12 12 11 13 = = 80 80 79 81 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ ［生］(1)中算式算出来的结果如下 = = 8 8 64 7 9 63 = = 12 12 144 11 13 143 = = 80 80 6400 79 81 6399 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大 1. ［师］是不是大于 1 的所有自然数都有这个特点呢？ ［生］我猜想是.我又找了几个例子如： = = 2 2 4 1 3 3 = = 100 100 10000 99 101 9999 = = 25 25 625 24 26 624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？ ［生］设这个自然数为 a,与它相邻的两个自然数为 a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a 2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明. ［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于 2 吗？ (同学们惊讶，然后讨论) ［生］a 可以代表任意一个数. ［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡. ［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途 呢？ (陷入沉思)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]例如:计算29×31很麻烦,我们就可以转化为(30-1)(30+1)=302-1=900-1=899 [师]的确如此.我们在做一些数的运算时,如果能一直有这样“巧夺天工”的方法, 太好了 我们不妨再做几个类似的练习 出示投影片(§1.5.2B) [例3]用平方差公式计算: (1)103×97(2)118×122 [师]我们可以发现,直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙. [生]我发现了,103=100+3,97=100-3,因此103×97=(100+3)(100-3)=10000 9=9991.太简便了! [生]我观察也发现了第(2)题的“奥妙”. 118=120-2,122=120+2 118×122=(120-2)(120+2)=1202-4=14400-4=14396 [生]遇到类似这样的题,我们就不用笔算,口算就能得出. [师]我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2C) [例4]计算 (1)a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) 分析:上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便:还需注 意的是运算顺序以及结果一定要化简 解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2 =a2(a2-b2)+a3b2 a-a b +a"b (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x2-25-4x2+6x =6x-25 注意:在(2)小题中,2x与2x-3的积算出来后,要放到括号里,因为它们是一个整体 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899. ［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法， 太好了. 我们不妨再做几个类似的练习. 出示投影片(§1.5.2 B) ［例 3］用平方差公式计算： (1)103×97 (2)118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙. ［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此 103×97=(100+3)(100－3)=10000－ 9=9991.太简便了！ ［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”. 118=120－2,122=120+2 118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396. ［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出. ［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C). ［例 4］计算： (1)a 2 (a+b)(a－b)+a 2 b 2 ; (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注 意的是运算顺序以及结果一定要化简. 解：(1)a 2 (a+b)(a－b)+a 2 b 2 =a 2 (a 2－b 2 )+a 2 b 2 =a 4－a 2 b 2 +a 2 b 2 =a 4 (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x) 2－5 2－(4x 2－6x) =4x 2－25－4x 2 +6x =6x－25 注意：在(2)小题中，2x 与 2x－3 的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [例5]公式的逆用 (1)(x+y)2-(x-y)2(2)252-242 分析:逆用平方差公式可以使运算简便. 解:(1)(x+y)2-(x-y)2 [(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)] (2)252-24 (25+24)(25-24) 49 Ⅲ随堂练习 1.(课本P2)计算 (1)704×696 (2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) (3)x(x-1)-(x-)(x+) (可让学生先在练习本上完成,教师巡视作业中的错误,或同桌互查互纠) 解:(1)704×696=(700+4)(700-4) =490000-16=489984 (2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) (x2-4y2)+(x2-1) =x2-4y2+x2-1 =2x2-4y2-1 2.(补充练习) 出示投影片(§1.5.2D) 解方程:(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1) 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［例 5］公式的逆用 (1)(x+y) 2－(x－y) 2 (2)252－242 分析：逆用平方差公式可以使运算简便. 解：(1)(x+y) 2－(x－y) 2 =［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］ =2x·2y =4xy (2)252－242 =(25+24)(25－24) =49 Ⅲ.随堂练习 1.(课本 P22)计算 (1)704×696 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－ 3 1 )(x+ 3 1 ) (可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4) =490000－16=489984 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) =(x 2－4y 2 )+(x 2－1) =x 2－4y 2 +x 2－1 =2x 2－4y 2－1 (3)x(x－1)－(x－ 3 1 )(x+ 3 1 ) =(x 2－x)－［x 2－( 3 1 ) 2］ =x 2－x－x 2 + 9 1 = 9 1 －x 2.(补充练习) 出示投影片(§1.5.2 D) 解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (先由学生试着完成) 解:(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2 =(7x+1)(x-1) (2x)2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1 4x2-1+3x2-12=7x2-6x-1 6x=12x=2 Ⅳ.课时小结 [师]同学们这节课一定有不少体会和收获 [生]我能用拼图对平方差公式进行几何解释也就是说对平方差公式的理解又多了 个层面 [生]平方差公式不仅在计算整式时,可以使运算简便,而且数的运算如果也能恰当地 用了平方差公式,也非常神奇 [生]我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)-(a+b)(a-b)一定要 先算乘法,同时减号后面的积(a+b)(a-b),算出来一定先放在括号里,然后再去括号.就不 容易犯错误了 V.课后作业 课本习题1.10 Ⅵ.活动与探究 计算:19902-19892+19882-19872+…+22-1. [过程]先做乘方运算,再做减法,则计算繁琐,观察算式特点,考虑逆用平方差公式 [结果]原式=(19902-19892)+(19882-1987)+…+(22-1) (1990+1989)(1990-1989)+(1988+1987)(1988-1987)+…+(2+1)(2 1990+1989+1988+1987+…+2+1 1990×(1990+1) 1981045 ●板书设计 §1.5.2平方差公式( 、平方差公式的几何解释 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (先由学生试着完成) 解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2) =(7x+1)(x－1) (2x) 2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x－1 4x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x－1 6x=12 x=2 Ⅳ.课时小结 ［师］同学们这节课一定有不少体会和收获. ［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一 个层面. ［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地 用了平方差公式，也非常神奇. ［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如 a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要 先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不 容易犯错误了. …… Ⅴ.课后作业 课本习题 1.10. Ⅵ.活动与探究 计算：19902－19892 +19882－19872 +…+22－1. ［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式. ［结果］原式=(19902－19892 )+(19882－19872 )+…+(22－1) =(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1) =1990+1989+1988+1987+…+2+1 = 2 1990(1990+1) =1981045 ●板书设计 §1.5.2 平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 想一想 特例一一归纳一一建立猜想一一用符号表示——给出证明 即(a+1)(a-1)=a2-1 三、例题讲解:例3例4 四、练 ●备课资料 参考练习 1.选择题 (1)在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是( A.(-a-b)(a-b)B.(c2-d2)(d2+ec2) D.(m-n)(-m+n) (2)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x2+1)结果正确的是() D.(x+1) (3)下列各式中,结果是a2-36b2的是() A.(一6b+a)(-6b-a) B.(-6b+a)(6b-a) C.(a+4b)(a-4b) D.(—6b-a)(6b-a) 2.填空题 (4)(5x+3y)·()=25x2-9y2 (5)(-0.2x-0.4y)()=0.16y2-0.04 (6)(-3x-11y)()=-9x2+121y2 (7)若(-7m+A)(4n+B)=16n2-49m2,则A= 3.计算 (8)(2x2+3y)(3y-2x2) (9)(p-5)(p-2)(p+2)(p+5) (10)(x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)·(x2y-3) 4.求值 (11)(上海市中考题)已知x2-2x=2,将下式先化简,再求值 (x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1) 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 二、想一想 特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明 即(a+1)(a－1)=a 2－1 三、例题讲解：例 3 例 4 四、练习 ●备课资料 参考练习 1.选择题 (1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a－b)(a－b) B.(c 2－d 2 )(d 2 +c 2 ) C.(x 3－y 3 )(x 3 +y 3 ) D.(m－n)(－m+n) (2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x 2 +1)结果正确的是( ) A.x 4－1 B.x 4 +1 C.(x－1)4 D.(x+1)4 (3)下列各式中，结果是 a 2－36b 2 的是( ) A.(－6b+a)(－6b－a) B.(－6b+a)(6b－a) C.(a+4b)(a－4b) D.(－6b－a)(6b－a) 2.填空题 (4)(5x+3y)·( )=25x 2－9y 2 (5)(－0.2x－0.4y)( )=0.16y 2－0.04x 2 (6)(－ 2 3 x－11y)( )=－ 4 9 x 2 +121y 2 (7)若(－7m+A)(4n+B)=16n 2－49m 2 ,则 A= ，B= . 3.计算 (8)(2x 2 +3y)(3y－2x 2 ). (9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5). (10)(x 2 y+4)(x 2 y－4)－(x 2 y+2)·(x 2 y－3). 4.求值 (11)(上海市中考题)已知 x 2－2x=2,将下式先化简，再求值 (x－1)2 +(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 5.探索规律 (12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式: 9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 猜想:第n个等式(n为正整数)应为 答案:1.(1)D(2)A(3)D 2.(4)(5x-3y)(5)(0.2x-0.4y) 6)(3x-11)(7)A=4n,B=7m 3.(8)9y2-4x(9)p2-29p2+100 (10)xy-10 4.(11)原式=3(x2-2x)-5=3×2-5=1 5.(12)9×(n-1)+n=(n-1)×10+1n为正整数 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 5.探索规律 (12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式： 9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 …… 猜想：第 n 个等式(n 为正整数)应为 . 答案：1.(1)D (2)A (3)D 2.(4)(5x－3y) (5)(0.2x－0.4y) (6)( 2 3 x－11y) (7)A=4n,B=7m 3.(8)9y 2－4x 4 (9)p 4－29p 2 +100 (10)x 2 y－10 4.(11)原式=3(x 2－2x)－5=3×2－5=1 5.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n 为正整数)