免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 同底数幂的除法 教学目标 1.知识与技能:会进行同底数幂的除法运算,并能解决一些实际问题,了解零指数幂 和负整数指数幂的意义,能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算 2.过程与方法:经历探索同底数幂除法运算性质的过程,进一步体会幂的意义,经历 观察、归纳、猜想、解释等数学活动,体验解决问题方法的多样性,发展学生的合情推理和 演绎推理能力以及有条理的表达能力。 3.情感与态度:在解决问题的过程中了解数学的价值,体会数学的抽象性、严谨性和 广泛性。 教学重点:同底数幂除法法则的探索和应用,理解零指数和负整数指数幂的意义,将 运算法则拓广到整数指数幂的范围 教学难点:理解零指数幂和负整数指数幂的意义 教学过程 (一)复习回顾 前面我们学习了哪些幂的运算?在探索法则的过程中我们用到了哪些方法? (1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.a"·a"=amn(m,n是正整数) (2)幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a")”=am(mn是正整数) (3)积的乘方等于积中各因数乘方的积(amb)"=a"b”(n是正整数) (二)情境引入 种液体每升含有102个有害细菌,为了 试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发 现1滴杀虫剂可以杀死10°个此种细菌 (1)要将1升液体中的有害细菌全部杀死, ° 需要这种杀菌剂多少滴 (2)你是怎样计算的? (3)你能再举几个类似的算式吗? 注意事项:解决问题(1)学生可能根据题意列出算式102÷10°,也有可能列出 应让学生认识到两种形式的实质是一样的 问题(2)用到的是有理数的运算,教学时应鼓励学生独立思考,在黑板上呈现不同的 计算过程,并说明每一步的算理,学生可能出现不同的解决方法 可能先将幂还原成大数再用分数的约分来计算: 1012÷10 101210×10× 10 =10×10×10=1000(滴) 10°10×10× 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 同底数幂的除法 一、教学目标 1．知识与技能：会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，了解零指数幂 和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算。 2．过程与方法：经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，经历 观察、归纳、猜想、解释等数学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推理和 演绎推理能力以及有条理的表达能力。 3．情感与态度：在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和 广泛性。 教学重点：同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的意义， 将 运算法则拓广到整数指数幂的范围。 教学难点：理解零指数幂和负整数指数幂的意义。 二、 教学过程 （一）复习回顾 前面我们学习了哪些幂的运算? 在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？ （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加. m n m n a a a + = （m,n 是正整数） （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘. m n mn (a ) =a （m,n 是正整数） （3）积的乘方等于积中各因数乘方的积. n n n (ab) = a b (n 是正整数) （二） 情境引入 一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了 试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发 现 1 滴杀虫剂可以杀死 109 个此种细菌， （1）要将1升液体中的有害细菌全部杀死， 需要这种杀菌剂多少滴？ （2）你是怎样计算的？ （3）你能再举几个类似的算式吗？ 注意事项：解决问题（1）学生可能根据题意列出算式 12 9 10 10 ，也有可能列出 9 12 10 10 ， 应让学生认识到两种形式的实质是一样的. 问题（2）用到的是有理数的运算，教学时应鼓励学生独立思考，在黑板上呈现不同的 计算过程，并说明每一步的算理，学生可能出现不同的解决方法： 可能先将幂还原成大数再用分数的约分来计算： 10 10 10 1000 10 10 ......... 10 10 10 ........ 10 10 10 10 10 9 12 12 9 = = = = （滴）；
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 也可能先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算 102÷10°=(10°×103)÷10°109×103 =103=1000(滴) 10 问题(3)应尽可能多的在黑板上呈现学生举的算式,在教学时可以通过追问“这些算 式举的对不对?”帮助学生抓住特征:同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做 什么运算呢?”引入这节课的研究对象:同底数幂的除法运算 三)归纳法则 1.计算你列出的算式 (选作)2.计算下列各式,并说明理由(m>n) (0÷10°,(2)-3)÷(-3);(3×-2)+(-2y 3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗? 注意事项: 方式一,如果学生列出的算式比较全面:既有只含有理数的算式,又有既含字母又含 数的算式,还有只含字母的算式,那么教学时可以先引导学生将所列举的算式进行分类,再 按照由“数”到“混合”再到“字母”的顺序分三个层次进行探索,让学生自己完成由特殊 过渡到一般的过程。 方式二:如果学生列出的算式不够全面,就可以从特例中归纳出同底数幂除法的运算性 ,培养学生的合情推理能力.在运用符号运算的过程中培养学生的演绎 推理能力 例1计算 (1)a÷a; (2-x)°÷(-x)3 n÷n (4xy)4÷(xy),(5)b2m+2÷b (6(m+n)3÷(m+n)3; 注意事项:在教学时应重视对算理的理解,每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂 的除法运算,再说出每一步运算的道理,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力 学生可能在计算第(3)(4)小题时出现问题,第(3)题的“一”号,学生在前几节课中解 决过类似问题,教学时可以引导他们与第(2)题对比,加深理解;第(4)题在同底数幂除 法计算后增加了积的乘方的运算,应关注学生对学过的几种幂的运算是否能理解和区别,如 果学生出现漏算或混淆的情况,可以让先他们判断运算,再说明算理,还可以根据实际教学 情况补充几道对比练习,帮助学生提高认识 (四)探索拓广 (1)探索 做一做 104=10000, 24=16 10()=1000 10()=100, () 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 也可能先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算： 10 1000 10 10 10 10 10 (10 10 ) 10 3 9 9 3 1 2 9 9 3 9 = = = = （滴） 问题（3）应尽可能多的在黑板上呈现学生举的算式，在教学时可以通过追问“这些算 式举的对不对？”帮助学生抓住特征：同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做 什么运算呢？”引入这节课的研究对象：同底数幂的除法运算. （三） 归纳法则 1.计算你列出的算式 （选作）2.计算下列各式，并说明理由（m>n） (1)10 10 ; m n (2)( 3) ( 3) ; m n − − ) ; 2 1 ) ( 2 1 (3)( m n − − 3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗？ 注意事项： 方式一，如果学生列出的算式比较全面：既有只含有 理数的算式，又有既含字母又含 数的算式，还有只含字母的算式，那么教学时可以先引导学生将所列举的算式进行分类，再 按照由“数”到“混合”再到“字母”的顺序分三个层次进行探索，让学生自己完成由特殊 过渡到一般的过程。 方式二：如果学生列出的算式不够全面，就可以从特例中归纳出同底数幂除法的运算性 质： m n m n a a a − = ，培养学生的合情推理能力.在运用符号运算的过程中培养学生的演绎 推理能力. 例 1 计算： (1) ; 7 4 a a (2)( ) ( ) ; 6 3 −x −x (3) ; 8 2 − m m (4)( ) ( ); 4 xy xy (5) ; 2 2 2 b b m + (6)( ) ( ) ; 8 3 m + n m + n 注意事项：在教学时应重视对算理的理解，每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂 的除法运算，再说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力. 学生可能在计算第（3）（4）小题时出现问题，第（3）题的“－”号，学生在前几节课中解 决过类似问题，教学时可以引导他们与第（2）题对比，加深理解；第（4）题在同底数幂除 法计算后增加了积的乘方的运算，应关注学生对学过的几种幂的运算是否能理解和区别，如 果学生出现漏算或混淆的情况，可以让先他们判断运算，再说明算理，还可以根据实际教学 情况补充几道对比练习，帮助学生提高认识. （四） 探索拓广 （1）探索 1. 做一做： 104 =10000， 24 =16 10（）=1000， 2（）=8 10（）=100， 2（）=4
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 10()=10, 2()=2 2.猜一猜 下面的括号内该填入什么数?你是怎么想的?与同伴交流 2 10=0.01 21-4 10=0.001 3.你有什么发现?能用符号表示你的发现吗? 4你认为这个规定合理吗?为什么? 注意事项:1对学生而言并不困难,教学时学生可能会找到规律:底数为10时,指数 每减小1,幂的值就会缩小亠;底数为2时,指数每减小1,幂的值就会缩小_.学生也可 能进而归纳“底数为a时,指数每减小1,幂的值就会缩小亠”可以追问“这里的a能取哪 些值?”从而让学生体会a≠0 2对学生来说是有些难度的,可以引导学生保持上面的规律进行猜想,教学时应给学生 充分的独立思考和小组交流的时间 3从数的变化规律中进行分析、归纳与概括,再将猜想用符号一般性的表示出来得到: l、a qp’这养的过程可以发展学生的合情推理能力 4通过解释结论的合理性来发展学生演绎推理能力,教学时应鼓励学生从不同的角度进 行思考和解释,帮助他们更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.学生可能出现的解释 方法有: 方法一,从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明 我们前面这样推导了同底数幂的除法法则 am÷a"=aa¨“=aa…a=a"n,(a≠0,mm是正整数,且mn) a·aa 当m=n时,我们可以类似的得到 a=a÷= 1,(a≠0,m,n为正整数) a·aa 当m<n时,先设p=n-m,那么m-n=p,也可以类似的得到 m个a a·a ,(a≠0,p为正整数) a·a·aa·a…aa 方法二,从乘除法的逆运算关系来说明: 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 10（）=10， 2（）=2 2. 猜一猜： 下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流： 10（）=1 2（）=1 10（）=0.1 2 （） = 2 1 10（）=0.01 2（） = 4 1 10（）=0.001 2 （） = 8 1 3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？ 4.你认为这个规定合理吗？为什么？ 注意事项： 1 对学生而言并不困难，教学时学生可能会找到规律：底数为 10 时，指数 每减小 1，幂的值就会缩小 10 1 ；底数为 2 时，指数每减小 1，幂的值就会缩小 2 1 .学生也可 能进而归纳“底数为 a 时，指数每减小 1，幂的值就会缩小 a 1 ”可以追问“这里的 a 能取哪 些值？”从而让学生体会 a 0. 2 对学生来说是有些难度的，可以引导学生保持上面的规律进行猜想，教学时应给学生 充分的独立思考和小组交流的时间. 3 从数的变化规律中进行分析、归纳与概括，再将猜想用符号一般性的表示出来得到： 1 0 a = 、 p p a a 1 = − ，这养的过程可以发展学生的合情推理能力. 4 通过解释结论的合理性来发展学生演绎推理能力，教学时应鼓励学生从不同的角度进 行思考和解释，帮助他们更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.学生可能出现的解释 方法有： 方法一，从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明： 我们前面这样推导了同底数幂的除法法则 = m n a a m n m n a n a m a a a a a a a a a a a - = = − 个 个 个 ，（a≠0，m,n 是正整数，且 m>n） 当 m=n 时，我们可以类似的得到 = = m m a a a 0 = m a m a a a a a a a 个 个 1，（ a 0，m,n 为正整数）； 当 m<n 时，先设 p= n -m，那么 m-n=-p，也可以类似的得到 = = − p m n a a a = n a m a a a a a a a 个 个 n m p n m a a a a a a − − − = = 1 1 1 个 ，（ a 0，p 为正整数）. 方法二，从乘除法的逆运算关系来说明：
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 因为am·a=am0=am,所以a0=am÷am=1(a≠0.,m为正整数 在这一结论的基础上再进一步得到 因为aP 1,所以 (a≠0,p为正整数) (2)拓广 1.例2计算:用小数或分数分别表示下列各数 1)10-3(2)7°×8-2;(3)1.6 2.议一议:计算下列各式,你有什么发现?与同伴交流 (173÷75;(2)3÷36;(3X)5÷(1)2;(4-8)9÷( 3.当指数拓广到零和负整数范围后,我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积 的乘方的运算法则是否也成立呢? 注意事项:1、主要是为了考察学生对有理数的零指数幂和负整数指数幂意义的理解, 教学中应关注学生在计算中出现的问题,及时了解学生存在的困惑 2、应注意引导学生在计算和交流的基础上,从“数”过渡到“式”,从而得到一般的结 论:只要m、n是整数,前面探索的同底数幂的除法法则a"÷a"=a"”就成立 在将同底数幂的除法法则拓广到零指数幂和负整数指数幂范围后,学生自然会产生疑 问:前面的几种幂的运算是否也成立呢?因此,3是2的自然延伸,这里可以让学生类比2 自主解决,教师应关注学生是否能独立完成“举特例观察、归纳一般结论”的过程.如果时 间较紧,可以让学生组内分工对三种运算分别进行探索 五反馈延伸 反馈练习: 1.下面的计算是否正确?如有错误请改正: (1)b6÷b2=b3; T (3)(bc)4·(bc)2b2c2; (4)x21 2.计算 (1X-y)3÷(-y)2;(2)x2÷x (3)m÷m0 (4-r)3÷r (5)-k"÷k”+2 (6)(mm)3÷(m) 拓展延伸:(1)(a-b)3÷(b-a) 注意事项:反馈练习中学生可能在2计算第(4)小题中出现问题,这里应先转化为同 底数幂,再相除,这道题也为拓展延伸做了铺垫. 拓展延伸应注意(1)中(a-b)与(b-a)不是同底数幂,计算时应先化成同底,学 生既可以把(a-b)3化成(b-a)3:也可以把(b-a)3化成-(a-b)3,教学时应让学生充 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 因为 , m 0 m 0 m a a = a = a + 所以 1( 0, ) a 0 = a m a m = a m为正整数 在这一结论的基础上再进一步得到 因为 1, ( ) 0 = = = − + − a a a a p p p p 所以 p p p a a a 1 = 1 = − （ a 0，p 为正整数） （2）拓广 1. 例 2 计算：用小数或分数分别表示下列各数： 3 0 2 4 (1)10 (2)7 8 ; (3)1.6 10 − − − 2. 议一议：计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流 3 5 1 6 5 2 0 2 ) ; (4)( 8) ( 8) 2 1 ) ( 2 1 (1)7 7 ; (2)3 3 ; (3)( − − − − − − − 3. 当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积 的乘方的运算法则是否也成立呢？ 注意事项： 1、主要是为了考察学生对有理数的零指数幂和负整数指数幂意义的理解， 教学中应关注学生在计算中出现的问题，及时了解学生存在的困惑. 2、应注意引导学生在计算和交流的基础上，从“数”过渡到“式”，从而得到一般的结 论：只要 m、n 是整数，前面探索的同底数幂的除法法则 m n m n a a a − = 就成立. 在将同底数幂的除法法则拓广到零指数幂和负整数指数幂范围后，学生自然会产生疑 问：前面的几种幂的运算是否也成立呢？因此， 3 是 2 的自然延伸，这里可以让学生类比 2 自主解决，教师应关注学生是否能独立完成“举特例观察、归纳一般结论”的过程.如果时 间较紧，可以让学生组内分工对三种运算分别进行探索. 五 反馈延伸 反馈练习： 1.下面的计算是否正确？如有错误请改正： (1) ; 6 2 3 b b = b (2) ; 10 1 9 a a a (3)( ) ( ) ; 4 2 2 2 bc bc b c (4) . n 1 2n 1 n x x x 2.计算 (1)( ) ( ) ; 3 2 −y −y (2) ; 12 −4 x x (3) ; 0 m m (4)( ) ; 5 4 −r r (5) ; +2 − n n k k (6)( ) ( ) 5 mn mn 拓展延伸：（1） 8 3 (a − b) (b − a) （2）（－3 8）÷（－3） 4 注意事项：反馈练习中学生可能在 2 计算第（4）小题中出现问题，这里应先转化为同 底数幂，再相除，这道题也为拓展延伸做了铺垫. 拓展延伸应注意（1）中 8 (a − b) 与 3 (b − a) 不是同底数幂，计算时应先化成同底，学 生既可以把 8 (a − b) 化成 8 (b − a) ；也可以把 3 (b − a) 化成 3 − (a − b) ，教学时应让学生充
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 分交流、展示各自的作法,从而对于算理有更为清楚的认识 (六)课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识? 2.现在你一共学习了哪几种幂的运算?它们有什么联系与区别?谈谈你的理解 我们在探索运算法则的过程中用到了哪些方法? 注意事项:鼓励学生畅谈自己学习体会,激发学生对数学的学习兴趣与信心,还可以根 据学情适当引导学生体会幂的运算法则的特点:①运算中的底数不变,只对指数做运算,且 指数的运算比幂的运算低一级②法则中的底数和指数具有普遍性,既可以是数,也可以是式 ③幂的运算中指数都是整数 (七)布置作业 1.完成课本习题1.4 2.预习作业: (1)纳米是一种长度单位,1米=1,000,000,000纳米,你能用科学记数法表示 1,00,00,000吗?反过来,1纳米等于多少米呢?你能用今天学的知识解决吗?这个结果 还能用科学记数法表示吗? (2)你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗?照相机的快门时间是多长 呢?中彩票头奖的可能性是多大?头发的直径又是多少呢?生活中你还见到过哪些较小的 数?请你查阅资料,下节课与同伴交流 三、教学反思 1.关注知识的前后衔接在教学时怎样引导学生把新知识与已熟悉的旧知识巧妙联系起 来、怎样运用前面的数学活动经验来解决新的问题是我们教师必须进行深入思考和精心设计 的。2.改进教学,为学生提供自主探索的机会数学教学活动,应激发学生兴趣,调动学生 积极性,引发学生的数学思考:学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程, 让学生通过自主探索、合作交流的方式完成了对知识和方法的学习 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分交流、展示各自的作法，从而对于算理有更为清楚的认识. （六） 课堂小结 1. 这节课你学到了哪些知识？ 2. 现在你一共学习了哪几种幂的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的理解 3. 我们在探索运算法则的过程中用到了哪些方法？ 注意事项：鼓励学生畅谈自己学习体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，还可以根 据学情适当引导学生体会幂的运算法则的特点：①运算中的底数不变，只对指数做运算，且 指数的运算比幂的运算低一级②法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是数，也可以是式 ③幂的运算中指数都是整数. （七） 布置作业 1．完成课本习题 1.4 2．预习作业： （1）纳米是一种长度单位， 1 米=1,00 0,000,000 纳米，你能用科学记数法表示 1,000,000,000 吗？反过来，1 纳米等于多少米呢？你能用今天学的知识解决吗？这个结果 还能用科学记数法表示吗？ （2）你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗？照相机的快门时间是多长 呢？中彩票头奖的可能性是多大？头发的直径又是多少呢？生活中你还见到过哪些较小的 数？请你查阅资料，下节课与同伴交流 三、教学反思： 1.关注知识的前后衔接 在教学时怎样引导学生把新知识与已熟悉的旧知识巧妙联系起 来、怎样运用前面的数学活动经验来解决新的问题是我们教师必须进行深入思考和精心设计 的。2.改进教学，为学生提供自主探索的机会 数学教学活动，应激发学生兴趣，调动学生 积极性，引发学生的数学思考；学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程， 让学生通过自主探索、合作交流的方式完成了对知识和方法的学习