免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.2幂的乘方与积的乘方(-) ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义 2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题 二)能力训练要求 1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中,发展推理能力和有条理的表达能力 2.学习幂的乘方的运算性质,提高解决问题的能力 (三)情感与价值观要求 在发展推理能力和有条理的表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,培养学习数 学的信心,感受数学的内在美 ●教学重点 幂的乘方的运算性质及其应用 ●教学难点 幂的运算性质的灵活运用 ●教学方法 引导一一探究相结合 教师由实际情景引导学生探究幂的乘方的运算性质,并能灵活运用 ●教具准备 投影片三张 第一张:做一做,记作(§1.2.1A) 第二张:例题,记作(§1.2.1B) 第三张:练习,记作(§1.2.1C) ●教学过程 Ⅰ.提出问题,引入新课 [师]我们先来看一个问题: 一个正方体的边长是102毫米,你能计算出它的体积吗?如果将这个正方体的边长扩大 为原来的10倍,则这个正方体的体积是原来的多少倍? 生]正方体的体积等于边长的立方所以边长为10毫米的正方体的体积P(10)°立方 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.2 幂的乘方与积的乘方(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. (二)能力训练要求 1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力. (三)情感与价值观要求 在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数 学的信心，感受数学的内在美. ●教学重点 幂的乘方的运算性质及其应用. ●教学难点 幂的运算性质的灵活运用. ●教学方法 引导——探究相结合 教师由实际情景引导学生探究幂的乘方的运算性质，并能灵活运用. ●教具准备 投影片三张 第一张：做一做，记作(§1.2.1 A) 第二张：例题，记作(§1.2.1 B) 第三张：练习，记作(§1.2.1 C) ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］我们先来看一个问题： 一个正方体的边长是 102 毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大 为原来的 10 倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？ ［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为 102 毫米的正方体的体积 V=(102 ) 3 立方
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 毫米:如果边长扩大为原来的10倍,即边长变为102×10毫米即10毫米,此时正方体的体 积变为=(10)3立方毫米 [师](103)3,(103)3很显然不是最简,你能利用幂的意义,得出最后的结果吗?大家 可以独立思考 [生]可以.根据幂的意义可知(102)3表示三个10相乘,于是就有 (102)2=102×102×107=102+2+2=10°:同样根据幂的意义可知(10°)=103×103×103=1036=103 于是我们就求出了降105立方毫米,=10立方毫米 我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时,体积就变为原来的1000 倍即10倍 [生]也就是说体积扩大的倍数,远大于边长扩大的倍数 [师]是的!我们再来看(102)3,(10°)3这样的运算.102,103是幂的形式,因此我们把 这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质一一幂的乘方 Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质 出示投影片(§1.2.1A) 做一做:计算下列各式并说明理由 (1)(62);(2)(a)3;(3)(a)2;(4)(a) [师]我们观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面就请同学们利用 幂的意义和我们学习过的内容解答它们 [生](1)(62)=62·62·62·62=62122 [师]第①步和第②步推出的理由是什么呢? [生]第①步的理由是利用了幂的意义.(6)表示4个62相乘;第②步的理由是利用了 们刚学过的同底数幂的乘法:底数不变,指数相加 [师]观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化? [生]结果的指数8=2×4,刚好是原式子中两个指数的积,而运算前后的底数没变, 还是6. [师]接下来的(2)、(3)、(4)小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法 的性质来推出结果呢? [生]可以! 师]下面我们就请三位同学到黑板上推出,其余的同学观察他们做的有无错误. 解压密码联系qq11139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 毫米；如果边长扩大为原来的 10 倍，即边长变为 102×10 毫米即 103 毫米，此时正方体的体 积变为 V1=(103 ) 3 立方毫米. ［师］(102 ) 3，(103 ) 3 很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？大家 可以独立思考. ［ 生 ］ 可 以 . 根 据 幂 的 意 义 可 知 (102 ) 3 表 示 三 个 102 相 乘 ， 于 是 就 有 (102 ) 3 =102×102×102 =102 +2+2=106；同样根据幂的意义可知(103 ) 3 =103×103×103 =103+3+3=109 . 于是我们就求出了 V=106 立方毫米，V1=109 立方毫米. 我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的 10 倍时，体积就变为原来的 1000 倍即 103 倍. ［生］也就是说体积扩大的倍数，远大于边长扩大的倍数. ［师］是的！我们再来看(102 ) 3，(103 ) 3 这样的运算.102，103 是幂的形式，因此我们把 这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方. Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质 出示投影片(§1.2.1 A) 做一做：计算下列各式并说明理由. (1)(62 ) 4；(2)(a 2 ) 3 ;(3)(a m ) 2 ;(4)(a m ) n . ［师］我们观察不难发现，上面的 4 个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用 幂的意义和我们学习过的内容解答它们. ［生］(1)(62 ) 4 6 2·62·62·62 6 2+2+2+2=68 . ［师］第①步和第②步推出的理由是什么呢？ ［生］第①步的理由是利用了幂的意义.(62 ) 4 表示 4 个 6 2 相乘；第②步的理由是利用了 我们刚学过的同底数幂的乘法：底数不变，指数相加. ［师］观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？ ［生］结果的指数 8=2×4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变， 还是 6. ［师］接下来的(2)、(3)、(4)小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法 的性质来推出结果呢？ ［生］可以！ ［师］下面我们就请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生](2)(a)°=a·a2·a=a22=a=a×3 (4)(a) [师生共析]由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质,即 (a)a(m,n都是正整数) 用语言表述即为:幂的乘方,底数不变,指数相乘 在幂的乘方的运算中,指数的运算也降了一级 Ⅲ.例题 出示投影片(§1.2.1B) [例1]计算: (1)(103)3;(2)(b)5;(3)(a2)3; (4)-(x)2;(5)(y2)3·y;(6)2(a)°-(a) [例2]如果甲球的半径是乙球的n倍,那么甲球的体积是乙球的n倍 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和 10倍,它们的体积分别约是地球的多少倍? 木星 地球 太阳 [师]我们首先看例1的(1)、(2)、(3)题,可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开 始练习幂的乘方的运算性质,不要着急直接套入公式(a)中,而应进一步体会乘方的意 义和幂的意义我们只要明白了算理,熟悉后就可直接代入,下面就请几个同学回答 生](1)(102)=102·102·102=1022=103×3=10 (2)(b)°=b3·b·b5·b3·b=b”55=b×=b3; (3)(a)=a·a·a=a"m=d [师]很好!下面我们再来试做例1中(4)、(5)、(6)题 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］(2)(a 2 ) 3 =a 2·a 2·a 2 =a 2+2+2 =a 6 =a 2×3; (3)(a m ) 2 =a m ·a m =a m+m =a 2m ; (4)(a m ) n = m n a m m m a a a 个 • • • = n m m m m a 个 + ++ =a mn . ［师生共析］由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即 (a m ) n =a mn (m,n 都是正整数) 用语言表述即为：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 在幂的乘方的运算中，指数的运算也降了一级. Ⅲ.例题 出示投影片(§1.2.1 B) ［例 1］计算： (1)(102 ) 3；(2)(b 5 ) 5 ;(3)(a n ) 3 ; (4)－(x 2 ) m ;(5)(y 2 ) 3·y;(6)2(a 2 ) 6－(a 3 ) 4 . ［例 2］如果甲球的半径是乙球的 n 倍，那么甲球的体积是乙球的 n 3 倍. 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ ［师］我们首先看例 1 的(1)、(2)、(3)题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开 始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式(a m ) n =a mn 中，而应进一步体会乘方的意 义和幂的意义.我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就请几个同学回答. ［生］(1)(102 ) 3 =102·102·102 =102+2+2=102×3=106； (2)(b 5 ) 5 =b 5·b 5·b 5·b 5·b 5 =b 5+5+5+5+5 =b 5×5 =b 25 ; (3)(a n ) 3 =a n ·a n ·a n =a n+n+n =a 3n . ［师］很好！下面我们再来试做例 1 中(4)、(5)、(6)题
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生](4)-(x)表示(x2)的相反数,所以一(x2)=-x2,x2,…,x 5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,再做乘法, 所以,(y2)3·y=(y2·y2·y2)·y=y2×·y=y·y=ypl=y; (6)2(a)°-(a)按运算顺序应先算乘方,最后再化简.所以 2(a)°-(a)=2a×6-a×=2a2-a2=a [师]接下来,我们再来看幂的乘方在实际中的应用一一例2 [生]根据例2中的前提条件,可得 木星的体积是地球体积的10倍;太阳的体积是地球体积的(10)倍即10°倍 [师]很好!我们观察例2图中的木星、太阳、地球的体积不难发现这个图直观地表现 了体积扩大的倍数与半径扩大的倍数之间的关系比较木星、太阳、地球三个球体的大小, 可知体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多. Ⅳ.练一练 出示投影片(§1.2.1C) 1.计算: (1)(10)3;(2)-(a)5;(3)(x)·x2; (4)[(-x2]3;(5)(-a)2(a) (6)x·x-x·x 2.判断下面计算是否正确?如有错误请改正 (1)(x2)3=x;(2)a·a=a [师]我们首先来回顾一下(a)"=a"(m、n都是正整数)是怎样推出来的 [生](a)表示n个a相乘,根据乘方的意义(a2)"=ama",am…am,再根据同底数幂 的乘法的运算性质,可由amam,am…,am=an+m“+m=a [师]我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质,接下来我们 就来完成“练一练” [生]1.解:(1)(10°)3=10×3=10°; (3)(x)4·x2=x3x·x2=x2·x2=x2+2=x 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］(4)－(x 2 ) m 表示(x 2 ) m 的相反数，所以－(x 2 ) m =－ 2 2 2 2 m x x x x 个 • • • =－ 2 2 2 2 m个 x + ++ =－x 2m ; (5)(y 2 ) 3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法， 所以，(y 2 ) 3·y=(y 2·y 2·y 2 )·y=y 2×3·y=y 6·y=y 6+1 =y 7 ; (6)2(a 2 ) 6－(a 3 ) 4 按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所以 2(a 2 ) 6－(a 3 ) 4 =2a 2×6－a 3×4=2a 12－a 12 =a 12 . ［师］接下来，我们再来看幂的乘方在实际中的应用——例 2. ［生］根据例 2 中的前提条件，可得 木星的体积是地球体积的 103 倍；太阳的体积是地球体积的(102 ) 3 倍即 106 倍. ［师］很好！我们观察例 2 图中的木星、太阳、地球的体积不难发现这个图直观地表现 了体积扩大的倍数与半径扩大的倍数之间的关系.比较木星、太阳、地球三个球体的大小， 可知体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多. Ⅳ.练一练 出示投影片(§1.2.1 C) 1.计算： (1)(103 ) 3；(2)－(a 2 ) 5 ;(3)(x 3 ) 4·x 2 ; (4)［(－x) 2］ 3 ;(5)(－a) 2 (a 2 ) 2 ; (6)x·x 4－x 2·x 3 . 2.判断下面计算是否正确？如有错误请改正： (1)(x 3 ) 3 =x 6 ;(2)a 6·a 4 =a 24 . ［师］我们首先来回顾一下(a m ) n =a mn (m、n 都是正整数)是怎样推出来的. ［生］(a m ) n 表示 n 个 a m 相乘，根据乘方的意义(a m ) n = m n a m m m m a a a a 个 • • • • ，再根据同底数幂 的乘法的运算性质，可由 m n a m m m m a a a a 个 • • • • = n m n m m a 个 + ++ =a mn . ［师］我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们 就来完成“练一练”. ［生］1.解：(1)(103 ) 3 =103×3=109； (2)－(a 2 ) 5 =－a 2×5 =－a 10 ; (3)(x 3 ) 4·x 2 =x 3×4·x 2 =x 12·x 2 =x 12+2=x 14 ;
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (4)[(-x)2]=(-x)2x3=(-x)°=x [师]2.(1)(x)3=x不正确,因为(x2)表示三个x相乘即x·x3·=x33=x×3=x.或直 接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x)=x3×=x (2)a·a=a不正确因为a·a=(a·a·a·a·a·a)(a·a·a·a)=a·a……a=a°或 根据同底数幂乘法的运算性质:底数不变,指数相加,得a·a=a”=a [师]我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆通过 练习的第2题,同学们可反思一下做题的过程,注意幂的意义和乘方的意义,真正地去理解 这两个幂的运算性质,而不是去单纯的记忆 V.课时小结 我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质,并通过实际问题体 会到了学习这个性质的必要性,从而提高了我们的推理能力,有条理的语言表达能力和解决 实际问题的能力 Ⅵ.课后作业 1.课本P,习题1.2的第1、2、3题 2.反思做题过程,自己对出现的错误加以改正,并写入成长记录中 Ⅶ.活动与探究 观察下列等式: 1x2=×1×2×3 1×2+2×3=-×2×3×4, 1×2+2×3+3×4=-×3×4×5, 1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6 根据以上规律,请你猜测 1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(m+1)= (n为自然数) [过程]解这一类题目,要用到归纳推理,它是一种很重要的数学思想方法.数学史上 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (4)［(－x) 2］3 =(－x) 2×3=(－x) 6 =x 6 ; (5)(－a) 2·(a 2 ) 2 =a 2·a 2×2 =a 2·a 4 =a 2+4 =a 6 ; (6)x·x 4－x 2·x 3 =x 1+4－x 2+3 =x 5－x 5 =0. ［师］2.(1)(x 3 ) 3 =x 6 不正确，因为(x 3 ) 3 表示三个 x 3 相乘即 x 3·x 3·x 3 =x 3+3+3 =x 3×3 =x 9 .或直 接根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，得(x 3 ) 3 =x 3×3 =x 9 . (2)a 6·a 4 =a 24 不正确.因为 a 6·a 4 =(a·a·a·a·a·a)(a·a·a·a)= a a a a 10个 • • • =a 10 或 根据同底数幂乘法的运算性质：底数不变，指数相加，得 a 6·a 4 =a 6+4 =a 10 . ［师］我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过 练习的第 2 题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解 这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆. Ⅴ.课时小结 我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质，并通过实际问题体 会到了学习这个性质的必要性，从而提高了我们的推理能力，有条理的语言表达能力和解决 实际问题的能力. Ⅵ.课后作业 1.课本 P6，习题 1.2 的第 1、2、3 题. 2.反思做题过程，自己对出现的错误加以改正，并写入成长记录中. Ⅶ.活动与探究 观察下列等式： 1×2= 3 1 ×1×2×3， 1×2+2×3= 3 1 ×2×3×4， 1×2+2×3+3×4= 3 1 ×3×4×5， 1×2+2×3+3×4+4×5= 3 1 ×4×5×6， …… 根据以上规律，请你猜测： 1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(n+1)= (n 为自然数). ［过程］解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法.数学史上
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 许多重要的发现,如哥德巴赫猜想,四色猜想等,就是由数学家的探索、总结、猜想而得. 猜想的结论是否正确,必须经过严格的证明,才能辨明是非,通过观察比较,本题的规律 较为明显 结论:1×2+2×3+3×4+…+mn(m+1)=1n(nr+1)(m2) 关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然 ●板书设计 1.2.1幂的乘方与积的乘方(一) 、提出问题 (102)3,(10°)3如何计算? 、根据乘方的意义和幂的意义,推出幂的乘方的运算性质 (102)3=102·102·102=10222=10×3=10° (103)3=103·10·10=10332=1033=10° (62)=62·62·62·6=62262×=6 (a)=ama" n+ip+..+nl 得出:幂的乘方,底数不变,指数相乘 三、例题 四、练习 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得. 猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律 较为明显. 结论：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= 3 1 n(n+1)(n+2) 关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然. ●板书设计 §1.2.1 幂的乘方与积的乘方(一) 一、提出问题： (102 ) 3，(103 ) 3 如何计算？ 二、根据乘方的意义和幂的意义，推出幂的乘方的运算性质 (102 ) 3 =102·102·102 =102+2+2=102×3=106； (103 ) 3 =103·103·103 =103+3+3=103×3=109； (62 ) 4 =62·62·62·62 =62+2+2+2=62×4=68； …… (a m ) n = m n a m m m a a a 个 • • • = n m m m m a 个 + + + =a mn 得出：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 三、例题 四、练习