MTSD@UPC 第二章 运动的量子理论 任浩 材料物理系 renh @upc.edu.cn 2022/3/24 材料化学系：结构化学 1
MTSD@UPC 第二章 运动的量子理论 任浩 材料物理系 renh@upc.edu.cn 2022/3/24 材料化学系：结构化学 1
MTSD@UPC ·分子的三种基本运动方式： ·平动 ·振动 。转动 ·用于存储能量 ·平动：如气体分子运动论 ·振动：如固体比热容 ·特殊的光谱学信号，用于表征微观结构 ·振动谱：红外、拉曼、中子散射、非弹性电子散射 ·电子一振动耦合 ·振动一转动谱 2022/3/24 材料化学系：结构化学 2
MTSD@UPC • 分子的三种基本运动方式： • 平动 • 振动 • 转动 • 用于存储能量 • 平动：如气体分子运动论 • 振动：如固体比热容 • 特殊的光谱学信号，用于表征微观结构 • 振动谱：红外、拉曼、中子散射、非弹性电子散射 • 电子—振动耦合 • 振动—转动谱 • …… 2022/3/24 材料化学系：结构化学 2
MTSD@UPC 第一节平动 平动（translation ·平动：物体在空间中位置的变动，注意与转动的 区别 ·Whittaker的定义： ·若物体从一个位置移动至另一个位置，且物体上每个 点初、末位置连线均互相平行，且长度为，（即物 体在空间中朝向不变)，则此运动为平动，其方向平 行于这些连线，长度为。 ·最简单的运动方式，仍揭示了量子力学与经典力 学的不同，且有重要应用。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 3
MTSD@UPC • 平动：物体在空间中位置的变动，注意与转动的 区别 • Whittaker的定义： • 若物体从一个位置移动至另一个位置，且物体上每个 点初、末位置连线均互相平行，且长度为𝑙，（即物 体在空间中朝向不变），则此运动为平动，其方向平 行于这些连线，长度为𝑙。 • 最简单的运动方式，仍揭示了量子力学与经典力 学的不同，且有重要应用。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 3 第一节 平动 平动（translation）
MTSD@UPC 第一节平动 一维自由运动 ·一维空间中质量为m的自由粒子SEQ为 五2db(x) 2m dx2 =E() ·其通解为 (c)=Aei十Bei,E= 九22 2m ·A和B为常数，波函数和能量均依赖于k ·k可以连续取值：对任意飞，波函数满足约束条件 ·能量是k的函数，也可以取任意非负值 →自由粒子的平动能量不是量子化的 ·常数A和B的取值取决于运动状态： ·若粒子向正方向运动，卫=十k,则B=0,A为归一化常数 ·反之亦然 2022/3/24 材料化学系：结构化学 4
MTSD@UPC • 一维空间中质量为m的自由粒子SEQ为 • 其通解为 • A和B为常数，波函数和能量均依赖于𝑘 • 𝑘可以连续取值：对任意𝑘，波函数满足约束条件 • 能量是𝑘的函数，也可以取任意非负值 ➔自由粒子的平动能量不是量子化的 • 常数𝐴和𝐵的取值取决于运动状态： • 若粒子向正方向运动，𝑝 = +ℏ𝑘，则𝐵 = 0，𝐴为归一化常数 • 反之亦然 2022/3/24 材料化学系：结构化学 4 第一节 平动 一维自由运动
MTSD@UPC 第一节平动 一维自由运动 x (x)=Aeik+Be-ikr, 五2k2 Iw列=18san 2m cos kx cos2 kx (a) (b) △X=∞ 2022/3/24 材料化学系：结构化学 5
MTSD@UPC 2022/3/24 材料化学系：结构化学 5 第一节 平动 一维自由运动 例：使用加速器将一个电子由静止开始向+𝑥 方向加速，经过1.0 V电势加速后， 电子的动能为1.0 𝑒𝑉，或0.16 𝑎𝐽 (1.6 × 10−19 𝐽)。此时电子的波函数由上式给 出，其中B=0， 故波函数为 练习：若电子被10 kV加速器向负方向加速，写出其波函数。 Δ𝑥 = ∞
MTSD@UPC 第一节平动 一维约束体系：限制性运动 ·一维势箱 V(x)= 0, 0I ·在势箱内部，SEQ同自由粒子相同 ·具有相同通解 吵k(x)=Aei+Beik Location,x 验证与三角函数形式相同 ·势箱外部，由于势能为无穷大，波函数为零（粒子跑不到外面） 吵(x)=0,forxL ·与自由粒子波函数有何不同？ 2022/3/24 材料化学系：结构化学 6
MTSD@UPC • 一维势箱 • 在势箱内部，SEQ同自由粒子相同 • 具有相同通解 • 势箱外部，由于势能为无穷大，波函数为零（粒子跑不到外面） • 与自由粒子波函数有何不同？ 2022/3/24 材料化学系：结构化学 6 第一节 平动 一维约束体系：限制性运动 验证与三角函数形式相同
MTSD@UPC 第一节平动 一维约束体系：考虑波函数约束条件 ·已知波函数具有如下形式 (x)= ∫Aei+Bei, 0L ·波函数必须连续：引入边界条件 ψk(0)=0,andψk(L)=0 ·允许的波函数及能量具有如下形式： (0)=Csin m7πx n=1,2,… En= n2h2 验证 8mL2, n=1,2,… ·引入边界条件导致能量量子化：约束条件要求波函数具有特定形式， 从而限制了力学量（此处为能量）只能取离散值。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 7
MTSD@UPC • 已知波函数具有如下形式 • 波函数必须连续：引入边界条件 • 允许的波函数及能量具有如下形式： • 引入边界条件导致能量量子化：约束条件要求波函数具有特定形式， 从而限制了力学量（此处为能量）只能取离散值。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 7 第一节 平动 一维约束体系：考虑波函数约束条件 验证
MTSD@UPC 第一节平动 一维约束体系：归一化 波函数： (0)=Csin 27πc m=1,2,… 代入归一化条件： =c血(） -c号-1 故有C=(2/L)12。则一维势箱中波函数的最终形式为： 1/2 0L 能级为： En= n2h2 8mL2, m=1,2,… 2022/3/24 材料化学系：结构化学 8
MTSD@UPC 波函数： 代入归一化条件： 故有 𝐶 = 2Τ𝐿 1/2。则一维势箱中波函数的最终形式为： 能级为： 2022/3/24 材料化学系：结构化学 8 第一节 平动 一维约束体系：归一化
MTSD@UPC 第一节平动 一维约束体系：讨论 2 1/2 v(x) 0L 赖于整数no ·一维势箱中，n=1,2, En= n2h2 8mL2, n=1,2,… ·波函数的个数无限 n 100 10 ·无限个能级 Classically allowed energies 81 9 ·能量随n增大而增加 8 ·能级差随n增大而增加 > 3 6 5 6 432 0 2022/3/24 材料化学系：结构化学 9
MTSD@UPC • 量子数：波函数和能级均依 赖于整数 𝑛。 • 一维势箱中，𝑛 = 1, 2, … • 波函数的个数无限 • 无限个能级 • 能量随𝑛增大而增加 • 能级差随𝑛增大而增加 2022/3/24 材料化学系：结构化学 9 第一节 平动 一维约束体系：讨论
MTSD@UPC 第一节平动 一维势箱：波函数的性质 541 / v(x) sin(nmr） 0L ·所有波函数都是正弦函数，具有 相同的振幅和不同的波长 ·波长缩短，平均曲率增大，导致 动能增加 ·n升高，节点数增加，n有n-1 n三 个节点 a】 ·增加节点数→动能增加 n=2 ·几率密度为 呢6e=元sin2 2 6 n=2 2022/3/24 材料化学系：结构化学 10
MTSD@UPC • 所有波函数都是正弦函数，具有 相同的振幅和不同的波长 • 波长缩短，平均曲率增大，导致 动能增加 • 𝑛升高，节点数增加，𝜓𝑛有𝑛 − 1 个节点 • 增加节点数➔动能增加 • 几率密度为 𝜓𝑛 2 𝑥 = 2 𝐿 sin2 ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 10 第一节 平动 一维势箱：波函数的性质