§11.3.2角的平分线的性质(二) 教学目标 (一)教学知识点:角的平分线的性质 (二)能力训练要求 1.会叔述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上 2.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题 (三)情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力, 激发学生学习数学的兴趣 教学重点:角平分线的性质及其应用 教学难点:灵活应用两个性质解决问题 教学方法:探索、归纳的方法 教学过程 创设情境,引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀,自己动手,剪一个角。,把剪好的角对折,使 角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片再任意折一次,然后把 纸片展开,又看到了什么? 二.导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线,能推出什么样的结论 操作: 1.折出如图所示的折痕PD、PE. 2.你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求 画一画 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕,并度量所画PD、PE是否等长? 拿出两名同学的画图,放在投影下,请大家评一评,以达明确概念的目的 生甲 生乙 问题1:你能用文字语言叙述所画图形的性质吗? 问题2:(出示投影片) 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表
1 §11．3．2 角的平分线的性质（二） （三）情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力， 激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：角平分线的性质及其应用． 教学难点：灵活应用两个性质解决问题． 教学方法：探索、归纳的方法． 教学过程 一．创设情境，引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角 ，把剪好的角对折，使 角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把 纸片展开，又看到了什么？ 二．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 操作： 1．折出如图所示的折痕 PD、PE． 2．你与同伴用三角板检测你们所 折的折痕是否符合图示要求． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画 PD、PE 是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的． 问题 1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 问题 2：（出示投影片） 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
图形 已知事项推出的事项 学生通过讨论作出下列概括 已知事项:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足 由已知事项推出的事项:PD=PE 于是我们得角的平分线的性质: 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?(出示投影) 问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言 填写下表: 由已知事 图形 已知事项项推出的 PD⊥OB PE⊥OA, 垂足为 D、E PD= PE 下面请同学们思考一个问题 思考:如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与 铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000 1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个 问题? 比例尺为1:20000是什么意思? 讨论结果展示: 1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上, 并且要求离角的顶点500米处 2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,这就涉及 个单位换算问题了.1m=100cm,所以比例尺为1:20000,其实就是图中1cm表示实际距离 200m的意思.作图如下:
2 学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题 3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言 填写下表： 下面请同学们思考一个问题． 思考：如图所示，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？ 1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个 问题？ 2．比例尺为 1：20000 是什么意思？ 讨论结果展示： 1．应该是用第二个性质． 这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上， 并且要求离角的顶点 500 米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位， 这就涉及一 个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为 1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m 的意思．作图如下：
第一步:尺规作图法作出∠AOB的平分线OP 第二步:在射线OP上截取0C=2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了 。总结:应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所 以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用性质解决问题 [例]如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等 [师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、FF的长就是P点到三边的距离,也 就是说要证:PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线,根据角平分线性质和等式 的传递性可以解决这个问题 证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为 因为BM是△ABC的角平分线,点P在酬M上 所以PD=PE. 同理PE=PF 所以PD=PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 三.随堂练习 1.课本P22练习 2.课本P22习题11.3第3题 在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质,无须再证三角形全等 四.课时小结 今天,我们学习了关于角平分线的两个性质:①角平分线上的点到角的两边的距离相 等:②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,可以看出,随着研究的 深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以 直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等. 五.课后作业:课本P22页习题11.3第4、5、6题
3 第一步：尺规作图法作出∠AOB 的平分线 OP． 第二步：在射线 OP 上截取 OC=2.5cm，确定 C 点，C点就是集贸市场所建地了． 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤， 使问题简单化．所 以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题， 我们可以直接利用性质解决问题． [例]如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． [师生共析]点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离， 也 就是说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线， 根据角平分线性质和等式 的传递性可以解决这个问题． 证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D、E、F． 因为 BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上． 所以 PD=PE． 同理 PE=PF． 所以 PD=PE=PF． 即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． 三．随堂练习 1．课本 P22 练习． 2．课本 P22 习题 11．3 第 3 题． 在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等． 四．课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相 等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的 深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以 直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等． 五．课后作业：课本 P22 页习题 11．3 第 4、5、6 题．