等腰三角形 学生知识状况分析 在前两节课,学生已经经历了独立探索发现定理的过程,并能基本规范地证明相关命题 这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础 二、教学任务分析 本节课,学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理,应该 说,这两个定理的证明和探索相对而言,并不复杂,更多的是前面定理的直接运用,因此, 本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中,需要分类讨论,因此注意揭示其 中的分类思想;第2个定理结论比较特殊,直接从定理条件出发,学生一般难能得到这个结 论,因此,教科书中设计了一个学生活动,在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论, 这实际上也是一种数学发现的方法,因此也应注意让学生体会。为此,确定本节课的教学目 1.知识目标 理解等边三角形的判别条件及其证明,理解含有30°角的直角三角形性质及其证明 并能利用这两个定理解决一些简单的问题 2.能力目标 ①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展 抽象思维 ②经历实际操作,探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程,发展合情推 理能力和初步的演绎推理的能力 ③在具体问题的证明过程中,有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想,提高学生的 能力 3.情感与价值观要求 ①积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. ②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 教学重点 ①等边三角形判定定理的发现与证明 ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明
1 等腰三角形 一、学生知识状况分析 在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题， 这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。 二、教学任务分析 本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含 30°角的直角三角形的性质定理，应该 说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此， 本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其 中的分类思想；第 2 个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结 论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论， 这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。为此，确定本节课的教学目 标： 1．知识目标 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有 30º 角的直角三角形性质及其证明， 并能利用这两个定理解决一些简单的问题。 2．能力目标 ①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展 抽象思维． ②经历实际操作，探索含有 30º 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推 理能力和初步的演绎推理的能力； ③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的 能力。 3．情感与价值观要求 ①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点 ①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含 30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明
4.教学难点 ①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. ②引导学生全面、周到地思考问题 教学过程分析 学具准备:两个带30度角的三角板。 本节课设计了六个教学环节:第二环节:自主探索:第三环节:实际操作提出问题 第四环节:变式训练巩固新知:第五环节:畅谈收获课时小结:第六环节:布置作业。 第一环节:提问问题,引入新课 活动内容:教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提出问题:等 边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?又如何判别一个三角形是等腰三角 形呢?从而引入新课 活动目的:开门见山,引入新课,同时回顾,也为后续探索提供了铺垫。 活动效果:在老师的引导下,一般学生都能得出等边三角形的性质:对于等边三角形的 判别,学生可能会出现多种情况,如直接从等边三角形性质出发,当然也可能有学生考虑分 步进行,现确定它是等腰三角形,再增补条件,确定它是等边三角形。这是教师可以适时提 出问题:如果已知一个三角形是等边三角形的基础上,如何确定它是等边三角形呢? 下面是实际教学中的部分师生活动实况 [生]等腰三角形已经有两边分别相等,所以我认为只要腰和底相等,等腰三角形就成 了等边三角形 [生]等边三角形的三个内角都相等,且分别都等于60°.我认为等腰三角形的三个内 角都等于60°,等腰三角形就是等边三角形了 (此时,部分同学同意此生的看法,部分同学不同意此生的看法,引起激烈地争论.教 师可让同学代表充分发表自己的看法.) [生]我不同意这位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根 据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知是 等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”,我觉得他给的条件太多,浪费 [师]给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费,那么给什么条件不浪费呢?下面同学 们可在小组内交流自己的看法 2
2 4．教学难点 ①含 30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. ②引导学生全面、周到地思考问题. 三、教学过程分析 学具准备：两个带 30 度角的三角板。 本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作 提出问题； 第四环节：变式训练 巩固新知；第五环节：畅谈收获 课时小结；第六环节：布置作业。 第一环节：提问问题，引入新课 活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等 边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角 形呢？从而引入新课。 活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。 活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的 判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分 步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提 出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？ 下面是实际教学中的部分师生活动实况： [生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成 了等边三角形． [生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60°．我认为等腰三角形的三个内 角都等于 60°，等腰三角形就是等边三角形了． (此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教 师可让同学代表充分发表自己的看法．) [生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根 据等角对等边，三个内角都是 60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是 等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费! [师]给三个角都是 60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?下面同学 们可在小组内交流自己的看法．
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把 你的证明思路与同伴交流 (教师应给学生自主探索、思考的时间) 第二环节:自主探索 活动内容:学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并交流汇报各自的结论, 教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出 下表 性质 判定的条件 等腰三角形 等边对等角 等角对等边 (含等边三“三线合一”即等腰三有一角是60 角形)角形项角平分线,底边 上的中线、高互相重合 等边三角形三个角都相三个角都相等的三角 等,且每个角都是60°形是等边三角形 活动目的:经历定理的探究过程,即明确有关定理,同时提高学生的自主探究能力 活动注意事项与效果:由于有了第1环节的铺垫,学生多能探究出: 顶角是60°的等腰三角形是等边三角形; 底角是60°的等腰三角形是等边三角形: 三个角都相等的三角形是等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 对于前两个定理的形式相近,教师可以进一步提出要求:能否用更简捷的语言描述这个 结论吗?从而引导学生得出:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 在学生得出这些结论的基础上,教师注意引导学生说明道理,给出证明的思路,选择部 分命题,给与严格的证明,由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需 要分类讨论,因此,可以以此问题作为对学生证明的要求,并与同伴交流证明思路.并要求 学生思考证明中的注意事项,从而点明其中的分类思想,提请学生注意:思考问题要全面、 周到
3 (2)你认为有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把 你的证明思路与同伴交流． (教师应给学生自主探索、思考的时间) 第二环节：自主探索 活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论， 教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出 下表： 性质 判定的条件 等腰三角形 （含等边三 角形） 等边对等角 等角对等边 “三线合一”即等腰三 角形顶角平分线，底边 上的中线、高互相重合 有一角是 60° 等边三角形三个角都相 等，且每个角都是 60° 三个角都相等的三角 形是等边三角形 活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。 活动注意事项与效果：由于有了第 1 环节的铺垫，学生多能探究出： 顶角是 60°的等腰三角形是等边三角形； 底角是 60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形。 对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个 结论吗?从而引导学生得出：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部 分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需 要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求 学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、 周到．
第三环节:实际操作提出问题 活动内容:教师直接提出问题:我们还学习过直角三角形,今天我们研究一个特殊的 直角三角形:含30°角的直角三角形。拿出三角板,做一做: 用含30°角的两个三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在倍数关系, 你能得到什么结论?说说你的理由 活动目的:让学生经历拼摆三角尺 的活动,发现结论:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边等于斜边的一半 活动注意事项与效果:学生一般可 以得出下面两种图形:其中第1个图形 是等边三角形,对于该图学生也可以得 出BD=。AB,从而得出:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等 于斜边的一半 注意,教学过程中,教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。 具体的说明过程可以如下 方法1:因为△ABD≌ACD,所以AB=AC.又因为Rt△ABD中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60° 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 方法2:图(1)中,∠B=∠C=60,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以 ∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形 如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半,教师可以在图上标出各个字母 并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系,并在将三角板分开,思考从中可以得到什 么结论。然后在学生得到该结论的基础上,再证明该定理 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 半 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30° 求讠 分析:从三角尺的拼摆过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD
4 第三环节：实际操作 提出问题 活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的 直角三角形：含 30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做： 用含 30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系， 你能得到什么结论？说说你的理由． 活动目的：让学生经历拼摆三角尺 的活动，发现结论：在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半． 活动注意事项与效果：学生一般可 以得出下面两种图形：其中第 1 个图形 是等边三角形，对于该图学生也可以得 出 BD= 1 2 AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半． 注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。 具体的说明过程可以如下： 方法 1：因为△ABD≌ACD，所以 AB=AC．又因为 Rt△ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°， 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 方 法 2 ： 图 (1) 中 ， ∠B=∠C=60 ， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60° ，所以 ∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形． 如果学生不能很快得出 30 度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母， 并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什 么结论。然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC= 1 2 AB． 分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD． D (1) (2) B C A B C A D
证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°∠B=60 延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示) ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90° ∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴.AB=AD(全等三角形的对应边相等) ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三 角形) 第四环节:变式训练巩固新知 活动1:直接提请学生思考刚才命题的逆命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于 斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是,请你证明它 在师生分析的基础上,给出证明: 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AB 求证:∠BAC=30 证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD ∠ACB=90°,∴∠ACD=90° 又∵AC=AC ∴△ACB≌△ACD(SAS) ∴AB=AD CD=BC,∴BC=BD 又∵BC D 即△ABD是等边三角形 ∴∠B=60°.在Rt△ABC中,∠BAC=30 注意事项:该命题的证明中辅助线较复杂,但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫 可以给学生一些启示,因此,教学中,教师可以引导学生思考:从前面定理证明的辅助线的 作法中能否得到启示?
5 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD(如图所示)． ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90° ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD 是等边三角形(有一个角是 60°的等腰三角形是等边三 角形)． ∴BC= 1 2 BD= 1 2 AB． 第四环节：变式训练 巩固新知 活动 1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°吗?如果是，请你证明它． 在师生分析的基础上，给出证明： 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= 1 2 AB． 求证：∠BAC=30° 证明：延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC． ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC，∴BC= 1 2 BD． 又∵BC= 1 2 AB，∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD 是等边三角形． ∴∠B=60°．在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°． 注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫， 可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的 作法中能否得到启示？ B C D A B C D A B C A
活动2:呈现例题,在师生分析的基础上,运用所学的新定理解答例题 「例题]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高CD的长 分析:观察图形可以发现在Rt△ADC中,AC=2a 而∠DAC是△ABC的一个外角,而 DAC=×15°=30°,根据在直角三角形中,30° 角所对的直角边是斜边的一半,可求出CD 解:∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30° CD=AC=×2a=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角 边等于斜边的一半) 活动目的:在例题求解中巩固新知。 第五环节:畅谈收获课时小结 让学生对课堂学习进行小结,注意总结具体的知识、结论,以及解决问题的方法和蕴 含其中的思想,如分类讨论思想、逆向思维等。 第六环节:布置作业 四、教学反思 本节课,难点在于探究两个定理:“在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半, 那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的 半”,由于设计了三角板操作的实践活动,有效地突破了难点,因而,课堂学生思维非常 灵活,方法多样,取得较好的效果
6 活动 2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。 [例题]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高 CD 的长. 分析：观察图形可以发现在 Rt△ADC 中，AC=2a 而 ∠DAC 是 △ABC 的一个外角，而 ∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30° 角所对的直角边是斜边的一半，可求出 CD． 解：∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30° ∴CD= 1 2 AC= 1 2 ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半)． 活动目的：在例题求解中巩固新知。 第五环节：畅谈收获 课时小结 让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴 含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。 第六环节：布置作业 四、教学反思 本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于 30°”和“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的 一半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常 灵活，方法多样，取得较好的效果。 B C A D