等腰三角形 学生知识状况分析 本节课是等腰三角形的第三课时,通过前面两课时的学习,学生已经掌握了等腰三角 形的相关性质,并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定 理奠定了知识和方法的基础 、教学任务分析 本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理,在复习性质定理的基础上,引导学 生反过来思考猜想新的命题,并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力,同时引入反 证法的基本证明思路,学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。因此,本节课的教 学目标定为: 1.探索等腰三角形判定定理 2.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明 3.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用 4.培养学生的逆向思维能力 三、教学过程分析 本节课的教学过程设计了以下六个环节:复习引入一逆向思考,定理证明一巩固练习 —适时提问导出反证法—拓展延伸—课堂小结。 第一环节:复习引入 活动过程:通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路,要求学生独立思 考后再进交流。 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的题设和结论分别是什么? 问题2.我们是如何证明上述定理的? 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么?如果一个三角形有两个角相 等,那么这两个角所对的边也相等? 活动意图:设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是 对上节课内容有效地检测手段。 第二环节:逆向思考,定理证明 活动过程与效果 教师:上面,我们改变问题条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用
1 等腰三角形 学生知识状况分析 本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握了等腰三角 形的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定 理奠定了知识和方法的基础。 二、教学任务分析 本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学 生反过来思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反 证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。因此，本节课的教 学目标定为： 1．探索等腰三角形判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。 4．培养学生的逆向思维能力。 三、教学过程分析 本节课的教学过程设计了以下六个环节：复习引入--逆向思考，定理证明---巩固练习 ----适时提问 导出反证法---拓展延伸----课堂小结。 第一环节：复习引入 活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思 考后再进交流。 问题 1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题 2.我们是如何证明上述定理的？ 问题 3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相 等，那么这两个角所对的边也相等？ 活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是 对上节课内容有效地检测手段。 第二环节：逆向思考，定理证明 活动过程与效果： 教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用
方法,除此之外,我们还可以“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.例如 等边对等角”,反过来成立吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? [生]如图,在△ABC中,∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角 形,使AB与AC成为对应边就可以了 [师]你是如何想到的? [生]由前面定理的证明获得启发,比如作BC的中线,或作A的平分线,或作 BC上的高,都可以把△ABC分成两个全等的三角形 [师]很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此,然后分组讨论. [生]我们组发现,如果作BC的中线,虽然把△ABC分成了两个三角形,但无法用公理 和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角 分别相等,是不能够判断两个三角形全等的.后两种方法是可行的. [师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来.(教师可让两个同 学在黑板上演示,并对推理证明过程讲评) (证明略) [师]我们用“反过来”思考问题,获得并证明了一个非常重要的定理一一等腰三角形 的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为:等角对等 边.我们不仅发现了几何图形的对称美,也发现了数学语言的对称美 第三环节:巩固练习 活动过程与效果:将书中的随堂练习提前到此,是为了及时巩固判定定理。引导学生 进行分析 已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC且∠1=∠2. 求证:AB=AC. 证明:∵AD∥BC, D ∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等) ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等) 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C ∴AB=AC(等角对等边) 第四环节:适时提问导出反证法 活动过程与效果: 我们类比归纳获得一个数学结论,“反过来”思考问题也获得了一个数学结论.如果
2 方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如 “等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? [生]如图，在△ABC 中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，只要构造两个全等的三角 形，使 AB 与 AC 成为对应边就可以了． [师]你是如何想到的? [生]由前面定理的证明获得启发，比如作 BC 的中线，或作 A 的平分线，或作 BC 上的高，都可以把△ABC 分成两个全等的三角形． [师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论． [生]我们组发现，如果作 BC 的中线，虽然把△ABC 分成了两个三角形，但无法用公理 和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角 分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的． [师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同 学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评) (证明略) [师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形 的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等 边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美． 第三环节：巩固练习 活动过程与效果：将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生 进行分析。 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD∥BC 且∠1=∠2． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C． ∴AB=AC(等角对等边)． 第四环节：适时提问 导出反证法 活动过程与效果： 我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果 B C A C 2 1 B A D
否定命题的条件,是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”: 小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你 认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗? 有学生提出:“我认为这个结论是成立的.因为我画了几个三角形,观察并测量发现 如果两个角不相等,它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样却很难证明, 因为它的条件和结论都是否定的.”的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论,我们有 没有别的证明思路和方法呢? 我们来看一位同学的想法: 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与Ac要么相等,要么不相 等 假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,但已知条件 是∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗? 再例如,我们要证明△ABC中不可能有两个直角,也可以采用这位同学的证法,假设 有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°,可得∠A+∠B=180°,但 △AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾,因此△ABC 中不可能有两个直角 引导学生思考:上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。 都是先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相 矛盾,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法. 接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等 边”,最后结合实例了解了反证法的含义 第五环节:拓展延伸 活动过程与效果:在一节课结束之际,为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了2 个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状,再通过线段的转换求图形的周长 另一个是一个开放性的问题,考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基 础上再小组交流。 1.如图,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=12,AC=18,求△AMN的周
3 否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”： 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你 认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现， 如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明， 因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有 没有别的证明思路和方法呢? 我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与 Ac 要么相等，要么不相 等． 假设 AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件 是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗? 再例如，我们要证明△ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设 有两个角是直角，不妨设 ∠A=90° ， ∠B=90° ，可得 ∠A+∠B=180° ， 但 △AB∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC 中不可能有两个直角． 引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。 都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相 矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法． 接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等 边”，最后结合实例了解了反证法的含义． 第五环节：拓展延伸 活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了 2 个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。 另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基 础上再小组交流。 1.如图，BD 平分∠CBA，CD 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB=12，AC=18，求△AMN 的周 长. . B C A M N B C A D
2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰 角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 第六环节:课堂小结 (1)本节课学习了哪些内容? (2)等腰三角形的判定方法有哪几种? (3)结合本节课的学习,谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系 (4)举例谈谈用反证法说理的基本思路
4 2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三 角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 第六环节：课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系． （4）举例谈谈用反证法说理的基本思路