免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 第七章平行线的证明 7.5三角形内角和定理(一) 学生知识状况分析 学生技能基础:学生在以前的几何学习中,已经学习过平行线的判定定理与平行线的性 质定理以及它们的严格证明,也熟悉三角形内角和定理的内容,而本节课是建立在学生掌握 了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的,因此,学生具有良好的基础 活动经验基础:本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的 学习方式,学生具有较熟悉的活动经验 二、教学任务分析 上一节课的学习中,学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证 明是比较熟悉的,他们已经具有初步的几何意识,形成了一定的逻辑思维能力和推理能力, 本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及 灵活运用新的定理解决相关问题。为此,本节课的教学目标是: 1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 3.用多种方法证明三角形定理,培养一题多解的能力 4.对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节:情境引入—一探索新知一一反馈练习—一课堂小结 第一环节:情境引入 活动内容:(1)用折纸的方法验证三角形内角和定理 实验1:先将纸片三角形一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行(图6 38(1))然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图(2)、(3)),最 后得图(4)所示的结果 B A C B AC B ACB (1) (2) (4) 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想,还有其它折法吗? (2)实验2:将纸片三角形三顶角剪下,随意将它们拼凑在一起 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想,如果只剪下一个角呢? 第二环节:反馈练习 活动内容 (1)△ABC中可以有3个锐角吗?3个直角呢?2个直角呢?若有1个直角另外两角 有什么特点? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第七章 平行线的证明 7.5 三角形内角和定理（一） 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性 质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握 了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的 学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证 明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力， 本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及 灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。 4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结 第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理． 实验 1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图 6 －38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最 后得图（4）所示的结果 （1） （2） （3） （4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ （2）实验 2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 第二环节：反馈练习 活动内容： （1）△ABC 中可以有 3 个锐角吗？ 3 个直角呢？ 2 个直角呢？若有 1 个直角另外两角 有什么特点？
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ (2)△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=? (3)∠A=50°,∠B=∠C,则△ABC中∠B=? (4)三角形的三个内角中,只能有个直角或个钝角 (5)任何一个三角形中,至少有个锐角:至多有个锐角 (6)三角形中三角之比为1:2:3,则三个角各为多少度? (7)已知:△ABC中,∠C=∠B=2∠A (a)求∠B的度数 (b)若BD是AC边上的高,求∠DBC的度数? 第三环节:课堂小结 活动内容 证明三角形内角和定理有哪几种方法? 辅助线的作法技巧 三角形内角和定理的简单应用 §7.5三角形内角和定理(二) 学生知识状况分析 学生技能基础:学生在前面的几何学习中,已经学习过平行线的判定定理与平行线的性 质定理以及它们的严格证明,学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用,有相关知识的 基础,并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯,为今天的学习奠定了良好的基础 活动经验基础:本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结 合、实践和理性证明相结合的学习方式,学生具有较熟悉的活动经验 二、教学任务分析 在前面的学习中,学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用己经有了深入 的了解,为今天的学习奠定了知识基础,并且他们已经具有初步的几何意识,形成了一定的 逻辑思维能力和推理能力,本节课安排《关注三角形的外角》旨在利用己经学习过的知识来 推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此,本节课的教学目标是: 1.掌握三角形外角的两条性质 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧. 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力,培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学,使学生能自主地“做数学”,特别是培养有条理的想象 和探索能力,从而做到强化基础,激发学习兴趣 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节:情境引入—一探索新知—一反馈练习—一课堂反思与小结 第一环节:情境引入 活动内容: 在证明三角形内角和定理时,用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD,这个角叫做什 么角呢?下面我们就给这种角命名,并且来研究它的性质 第二环节:探索新知 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC 中∠B=？ （4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． （5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角． （6）三角形中三角之比为 1∶2∶3，则三个角各为多少度？ （7）已知：△ABC 中，∠C=∠B=2∠A。 (a)求∠B 的度数； (b)若 BD 是 AC 边上的高，求∠DBC 的度数？ 第三环节：课堂小结 活动内容： 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 辅助线的作法技巧. 三角形内角和定理的简单应用. §7.5 三角形内角和定理（二） 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性 质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的 基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础． 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结 合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入 的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的 逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《关注三角形的外角》旨在利用已经学习过的知识来 推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 1.掌握三角形外角的两条性质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧． 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象 和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结 第一环节：情境引入 活动内容： 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC 的一边 BC 延长得到∠ACD，这个角叫做什 么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 第二环节：探索新知
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 活动内容 ①三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外 角,结合图形指明外角的特征有 (1)顶点在三角形的一个顶点上 (2)一条边是三角形的一边 (3)另一条边是三角形某条边的延长线. ②两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质 问题1:如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是△ABC的一个外 求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A、∠B有什么关系? B 问题2:任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢? 由学生归纳得出 推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例1、已知:∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角 求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360 分析:把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证 证明:(略) 例2、已知:D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ ABE=20°.求:(1)∠BDC度数:(2)∠BFD度数 解:(略) 第三环节:课堂练习 活动内容 已知,如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD∥BC 分析:要证明AD∥BG只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE∠B 证明:∵∠EAC∠B∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C(已知) ∴∠B∠EAC(等式的性质) ∵AD平分∠EAC(已知) 解压密码联系q11398加微信公众号j0 uewuyou九折悦惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 活动内容： ① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外 角， 结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边． (3)另一条边是三角形某条边的延长线． ② 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题 1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A、∠B 有什么关系？ 问题 2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A、∠B 的大小会有什么关系呢？ 由学生归纳得出： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例 1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE 是△ABC 的三个外角． 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证． 证明：(略)． 例 2、已知：D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点，BE、CD 相交于 F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 第三环节：课堂练习 活动内容： 已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC 分析：要证明 AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠B= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） B A C D E
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ ∠DAB∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAB=∠B(等量代换) ∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行) 想一想,还有没有其他的证明方法呢? 这个题还可以用“内错角相等,两直线平行”来证 证明:∵∠EAC=∠B∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C(已知) ∠=∠EAC(等式的性质) ∵AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAC∠C(等量代换) AD∥BC(内错角相等,两直线平行) 还可以用“同旁内角互补,两直线平行”来证 证明:∵∠EAC∠B∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C(已知) ∴∠C=-∠EAC(等式的性质) AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC∠EAC ∠DAC=∠C(等量代换) ∠B∠BAC∠C=180° ∴∠B+∠BAC∠DAC=180 即:∠B∠DAB=180° ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行) ②已知:如图,在三角形ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一 点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2 证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知) ∴∠1>∠ACB(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) C ∠ACB是△CDE的一个外角(已知) ∠ACB>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵.∠1>∠2(不等式的性质) ③.如图,求证:(1)∠BDC>∠A (2)∠BDC=∠B+∠G+∠A. D 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴∠DAE= 2 1 ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？ 这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= 2 1 ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= 2 1 ∠EAC ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∵∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180° 即：∠B+∠DAB=180° ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ② 已知：如图，在三角形 ABC 中，∠1 是它的一个外角，E 为边 AC 上一 点，延长 BC 到 D，连接 DE．求证：∠1>∠2． 证明：∵∠1 是△ABC 的一个外角（已知） ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知） ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质） ③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A. A B C D E 1 F 2
免费下载网址ht: Jiaoxie5uysl68com/ 如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样? 分析]通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解掌握三角形 的内角和定理及推论 B 证法一:(1)连接AD,并延长AD,如图,则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个 外角 ∴∠1>∠3 ∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∠1+∠2>∠3+∠4(不等式的性质) 即:∠BD∠BAC (2)连结AD,并延长AD,如图 则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个外角 ∵.∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠1+∠2=∠3+∠4+∠B∠C(等式的性质)即:∠BO∠B+∠C+∠BAC 证法二:(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E),如图 则∠BDC是△CDE的一个外角. ∠B>∠DEC.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作) ∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴∠BD>∠A(不等式的性质 (2)延长BD交AC于E,则∠BDC是△DCE的一个外角 ∠BD∠+∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC∠肚∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴∠BD∠B+∠C+∠BAC(等量代换) 第四环节:课堂反思与小结 活动内容 由学生自行归纳本节课所学知识: 推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？ ［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形 的内角和定理及推论. 证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个 外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质） 即：∠BDC>∠BAC. （2）连结 AD，并延长 AD，如图. 则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC 证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E），如图. 则∠BDC 是△CDE 的一个外角. ∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角（已作） ∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠BDC>∠A（不等式的性质） （2）延长 BD 交 AC 于 E，则∠BDC 是△DCE 的一个外角. ∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换） 第四环节：课堂反思与小结 活动内容： 由学生自行归纳本节课所学知识： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．