角平分线 学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基 础上,进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论学生已经经历了构造一个命题的 逆命题的过程,因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题 教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质,而此处在学生回忆的基础上,尝试着证明它,并构造 其命题,进一步讨论三角形三个内角平分线的性质.本节课的教学目标为: 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言.转化为符号语言、图 形语言的能力 3.经历探索,猜想,证明使学生掌握硏究解决问题的方法。 教学难点: 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明 、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:设置情境温故知新:第二环节:探究新知 第三环节:巩固练习:第四环节:随堂练习;第五环节:课时小结;第六环节:课后作业 1:情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下 从折纸过程中,我们可以得出CD=CE 即角平分线上的点到角两边的距离相等 你能证明它吗? 2:探究新知 D (1)引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论,然后在全班进 行交流 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E 求证:PD=PE
1 角平分线 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基 础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的 逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造 其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图 形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境 温故知新；第二环节：探究新知； 第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习 ；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出 CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进 行交流． 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E． 求证：PD=PE． 2 1 E D C P O B A
证明:∵∠1=∠2,OP=OP ∠PDO=∠PEO=90°, ∴△PD≌△PEO(AAS) ∵.PD=PE(全等三角形的对应边相等) (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分 线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 (2)你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比 着构造角平分线性质定理的逆命题 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题: 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上 它是真命题吗?你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时,是假命题 (由学生自己独立思考完成,在全班讨论交流,对困难学生可个别辅导) 证明如下: 已知:在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE 求证:点P在么AOB的角平分线上 证明:PD⊥OA,PE⊥OB, ∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理) ∠1=∠2(全等三角形对应角相等) 逆命题利用公理和我们己证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定 理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生 的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上,教师要给出书写示范 例题:在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC D=10,DE⊥AB,DF⊥AC 垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长
2 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分 线的性质定理。 (用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． （2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比 着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么 AOB 内部有一点 P，且 PD 上 OA，PE⊥OB，D、E 为垂足且 PD=PE， 求证：点 P 在么 AOB 的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL 定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定 理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生 的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长
(4)课本例题学习 4:随堂练习课本第29页1、2题。 5:课堂小结 这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理,在有角的平分线(或证明是角的平分 线)时,过角平分线上的点向两边作垂线段,利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到 解决。 6:课后作业 习题1.9第1,2,3,4题. 四、教学反思 教学时,采用‘‘实验—一猜想—一验证”的课堂教学方法,适时启发诱导,让学生 展开讨论,充分发挥学生的主体参与意识,激发学习兴趣,调动学习的积极性,培养学生良 好的思维方法与习惯.学生初学角平分线的性质定理和判定定理,容易将角平分线上的一点 到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段.因此在教学中应首先让学生通 过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点.学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和 判定定理,因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识.学生习惯用于找全等三角形 的方法去解决问题,而不注重利用刚学过的定理来解决,这实际上是对定理的重复证明,这 点在教学时要注意
3 （4）课本例题学习 4：随堂练习 课本第 29 页 1、2 题。 5：课堂小结 这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分 线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到 解决。 6：课后作业 习题 1.9 第 1，2，3，4 题． 四、教学反思 教学时，采用‘‘实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生 展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良 好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点 到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通 过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和 判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形 的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这 一点在教学时要注意