解直角三角形教案 【课标要求】 1.掌握直角三角形的判定、性质 .能用面积法求直角三角形斜边上的高 3.掌握勾股定理及其逆定理,能用勾股定理解决简单的实际问题 4.理解锐角三角函数定义(正弦、余弦、正切、余切),知道四个三角函数间的关系 5.能根据已知条件求锐角三角函数值 6.掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值 7.能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题 8.能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题 【课时分布】 解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时,其中包括单元测试,下表为课时安排 (仅供参考) 匚课时数 内容 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单 的解直角三角形 解直角三角形的应用 解直角三角形单元测试及评析 【知识回顾】 .知识脉络 已知斜边一锐 已知一边一锐 角解直角三角 直角 角解直角三角 角 解直 知一直角边一 形的 已知两边解直锐角解直角三角 边角 角三角形 已知两直角边 关系 添辅助线解直 解直角三角形 角三角形 已知斜边一直角 边解直角三角形 直接构建直角 实际 三角形 应用 建模出数学图形 再添设辅助线求解 2.基础知识 直角三角形的特征 (1)直角三角形两个锐角互余; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (3)直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半
1 解直角三角形教案 【课标要求】 1．掌握直角三角形的判定、性质． 2．能用面积法求直角三角形斜边上的高． 3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题． 4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系． 5．能根据已知条件求锐角三角函数值． 6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值． 7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题． 8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题． 【课时分布】 解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要 5 课时，其中包括单元测试，下表为课时安排 （仅供参考）． 课时数 内容 1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单 的解直角三角形 2 解直角三角形的应用 2 解直角三角形单元测试及评析 【知识回顾】 1．知识脉络 2．基础知识 直角三角形的特征 ⑴直角三角形两个锐角互余； ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑶直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半； 建模出数学图形， 再添设辅助线求解 解 直 角 三 角 形 解直 角三 角形 直角 三角 形的 边角 关系 实际 应用 已知一边一锐 角解直角三角 形 已知两边解直 角三角形 添辅助线解直 角三角形 直接构建直角 三角形 已知斜边一锐 角解直角三角 已知一直角边一 形 锐角解直角三角 已知两直角边 形 解直角三角形 已知斜边一直角 边解直角三角形
(4)勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即: 在Rt△ABC中,若∠C=90°,则a2+b=c; A (5)勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和 则这个三角形是直角三角形,即:在△ABC中,若a+b=2,则∠C=90° (6)射影定理:AC= AD. AB, BC=BD。AB,C=DADB 锐角三角函数的定义: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,C, 则sin sA=-, tanA= C 特殊角的三角函数值:(并会观察其三角函数值随a的变化情况) sina tand 错误1未找到 2 引用源。 2 解 三角形(Rt△ABC,∠C=90°) (1)三边之间的关系:a2+b2=c. (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90° 边角之间的关系:S1m4的对边_a A的邻边b 斜边=c3h一斜边 的对边=,cot ∠A的邻边b ∠A的邻边b ∠A的对边a (4)解直角三角形中常见类型: ①已知一边一锐角 ②已知两边 ③解直角三角形的应用 2.能力要求 例1在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD⊥AB于点D,求∠BCD的四个三角函数 值 【分析】求∠BC的四个三角函数值,关键要弄清其定义,由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内 角,根据定义,仅一边BC是已知的,此时有两条路可走,一是设法求出BD和CD,二是把∠BCD 转化成∠A,显然走第二条路较方便,因为在Rt△ABC中,三边均可得出,利用三角函数定义即 可求出答案 【解】在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACD=90°
2 ⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，则 a 2 +b 2 =c 2； ⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和， 则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若 a 2 +b 2 =c 2，则∠C＝90°； ⑹射影定理：AC 2 =AD AB,BC 2 =BD AB,CD 2 =DA DB． 锐角三角函数的定义： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a,b,c, 则 sinA= a c ,cosA= b c ,tanA= a b ,cotA= b a 特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随 的变化情况） 1． 解 直 角 三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） ⑴三边之间的关系：a 2 +b 2 =c 2． ⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA= A a c 的对边 ＝ 斜边 ,cosA= A b c 的邻边 ＝ 斜边 ． tanA= A a A b 的对边 ＝ 的邻边 ,cotA= A b A a 的邻边 ＝ 的对边 ． ⑷解直角三角形中常见类型： ①已知一边一锐角． ②已知两边． ③解直角三角形的应用． 2．能力要求 例 1 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB 于点 D，求∠BCD 的四个三角函数 值． 【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt△BCD 中的一个内 角，根据定义，仅一边 BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和 CD，二是把∠BCD 转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在 Rt△ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即 可求出答案． 【解】 在 Rt△ABC 中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°， sin cos tan cot 30° 1 2 错误！未找到 引用源。 3 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 1 60° 3 2 1 2 3 3 3 A B C D A B C a c b
∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A A 在R△ABC中,由勾股定理得,AB=√AC+BC=10, ∴sin∠BCD=sin BC COS∠BCD=cOs AC tan∠ BCtanA Ac3,cot∠B= cota=-3 BC 4 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义,把握其本质,教师应强调转化的思想,即本题 中角的转换.(或可利用射影定理,求出BD、DC,从而利用三角函数定义直接求出) 例2如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电 线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪离AB为1.5 米,求拉线CE的长.(结果保留根号) 【分析】求CE的长,此时就要借助于另一个直角三角形, 故过点A作AG⊥CD,垂足为G,在Rt△ACG中,可求出 CG,从而求得CD,在Rt△CED中,即可求出CE的长 G 【解】过点A作AG⊥CD,垂足为点G, 在Rt△ACG中,∵∠CAG=30°,BD=6, ∴CD=23+1.5,在R△CED中,Si60 sin60° 25+15=45 √3 答:拉线CE的长为4+3米 【说明】在直角三角形的实际应用中,利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系,往往 是解决这类问题的关键.老师在复习过程中应加以引导和总结 例3如图,某县为了加固长90米,高5米,坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡,它们是坡度均 为1:0.5,横断面是梯形的防洪大坝,现要使大坝顺势加高1米,求(1)坡角的度数:(2)完成该 大坝的加固工作需要多少立方米的土? 【分析】大坝需要的土方=橫断面面积×坝长;所以问题就转化为求梯形AOM的面积,在此问 题中,主要抓住坡度不变,即M与AB的坡度均为1:0.5 【解】()∵tanB即tan/.5=2,∠B63.43° (2)过点MN分别作ME⊥AD,M⊥AD E F 垂足分别为E、F. 由题意可知:ME=M=5 AE0.5 ∴AE=DF=2.5, A4,∴M=EF1.5, S梯形ADw=(1.5+4)×1=2.75
3 ∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A． 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB＝ 2 2 AC BC + ＝10， ∴sin∠BCD=sinA= BC AB = 4 5 ,cos∠BCD=cosA= AC AB = 3 5 , tan∠BCD=tanA= BC AC = 4 3 ,cot∠BCD=cotA= AC BC = 3 4 ． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题 中角的转换．（或可利用射影定理，求出 BD、DC，从而利用三角函数定义直接求出） 例 2 如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE、CF 固定电线杆，拉线 CE 和地面成 60°角，在离电 线杆 6 米的 B 处安置测角仪，在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30°，已知测角仪离 AB 为 1.5 米，求拉线 CE 的长．（结果保留根号） 【分析】求 CE 的长，此时就要借助于另一个直角三角形， 故过点 A 作 AG⊥CD，垂足为 G，在 Rt△ACG 中，可求出 CG，从而求得 CD，在 Rt△CED 中，即可求出 CE 的长． 【解】 过点 A 作 AG⊥CD，垂足为点 G， 在 Rt△ACG 中，∵∠CAG＝30°，BD＝6， ∴tan30°= CG AG ，∴CG=6× 3 3 =2 3 ∴CD=2 3 +1.5,在 Rt△CED 中，sin60°= CD EC ，∴EC= CD sin60° = 2 3+1.5 3 2 =4+ 3 ． 答：拉线 CE 的长为 4+ 3 米． 【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往 是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结． 例 3 如图，某县为了加固长 90 米，高 5 米，坝顶宽为 4 米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均 为 1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高 1 米，求⑴坡角的度数；⑵完成该 大坝的加固工作需要多少立方米的土？ 【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形 ADNM 的面积，在此问 题中，主要抓住坡度不变，即 MA 与 AB 的坡度均为 1∶0.5． 【解】 ⑴∵i=tanB,即 tanB= 1 0.5 =2，∴∠B=63.43°． ⑵过点 M、N 分别作 ME⊥AD，NF⊥AD， 垂足分别为 E、F． 由题意可知：ME＝NF＝5，∴ ME AE ＝ 1 0.5 ， ∴AE＝DF＝2.5， ∵AD=4， ∴MN=EF=1.5， ∴S 梯形 ADNM＝ 1 2 (1.5+4)×1＝2.75． A B C D M N E F A 30° B E D F C G 60° D B C A
需要土方为2.75×90=247.5(m) 【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决间题,坡度一水平距离=坡角的正切值,虽 然2007年中考时计算器不能带进考场,但学生应会使用计算器,所以建议老师还是要复习一下 计算器的使用方法 例4某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B,小明想测量A、B之间的距离, 他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上,测得B在北偏东32°方向上,且量得B、C间距 离为100米,根据上述测量结果,请你帮小明计算A、B之间的距离.(结果精确到1米,参考 数据:sin32°≈0.5299,c0s32°≈0.8480,tans32°≈0.6249,cot32°≈1.600) 【分析】本题涉及到方位角的问题,要解出AB的长,只要去解Rt△ADC 和Rt△BDC即可 【解】过点C作CD⊥AB,垂足为D 由题知:∠a=45°,∠B=32° 在Rt△BC中,sin32° BD=100sin320≈52.99 cD BC ,∴C100c0s32°≈84.80 在Rt△ADC中,∵∠ACD=45°,∴AD=D84.80 ∴AB=ADBD≈138米 答:AB间距离约为138米 【说明】本题中涉及到方位角的问题,引导学生画图是本题的难点,找到两个直角三角形的公 共边是解题的关键,教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形 例5在某海滨城市O附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的东偏南70° 方向200千米的海面P处,并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动,台风侵袭 范围是一个圆形区域,当前半径为60千米,且圆的半径以10千米/时速度不断扩张 (1)当台风中心移动4小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米;又台风中心 移动t小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由(参 考数据√≈141,√≈1.73). 【分析】(1)由题意易知 (2)先要计算出OH和P的长, 即可求得台风中心移动时间,Q 东 而后求出台风侵袭的圆形区 域半径,此圆半径与OH比较 即可 P 【解】(1)100;(60+10r). (2)作OH⊥PQ于点H,可算得 OH=102≈141(千米),设经过t小时时,台风中心从P移动到H,则PH=20=100万,算 得t=52(小时),此时,受台风侵袭地区的圆的半径为:60+10×52≈1305(千米)<141(千
4 ∴需要土方为 2.75×90=247.5 (m 3 ) ． 【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝垂直高度 水平距离 ＝坡角的正切值，虽 然 2007 年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下 计算器的使用方法． 例 4 某风景区的湖心岛有一凉亭 A,其正东方向有一棵大树 B，小明想测量 A、B 之间的距离， 他从湖边的 C 处测得 A 在北偏西 45°方向上，测得 B 在北偏东 32°方向上，且量得 B、C 间距 离为 100 米，根据上述测量结果，请你帮小明计算 A、B 之间的距离．（结果精确到 1 米，参考 数据：sin32°≈0.5299,cos32°≈0. 8480,tan s32°≈0.6249,cot32°≈1.600） 【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出 AB 的长，只要去解 Rt△ADC 和 Rt△BDC 即可． 【解】过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D． 由题知：∠ =45°，∠ =32°． 在 Rt△BDC 中，sin32°= BD BC ，∴BD＝100sin32°≈52.99． cos 32°= CD BC ，∴CD=100 cos 32°≈84.80． 在 Rt△ADC 中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80． ∴AB=AD+BD≈138 米． 答：AB 间距离约为 138 米． 【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图 是本题的难点，找到两个直角三角形的公 共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形． 例 5 在某海滨城市 O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南 70° 方向 200 千米的海面 P 处，并以 20 千米/ 时的速度向西偏北 25°的 PQ 的方向移动，台风侵袭 范围是一个圆形区域，当前半径为 60 千米，且圆的半径以 10 千米/ 时速度不断扩张． (1)当台风中心移动 4 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心 移动 t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米． (2)当台风中心移动到与城市 O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参 考数据 2 1.41 ， 3 1.73 )． 【分析】⑴由题意易知． ⑵先要计算出 OH 和 PH 的长， 即可求得台风中心移动时间， 而后求出台风侵袭的圆形区 域半径，此圆半径与 OH 比较 即可． 【解】⑴100； (60 10 ) + t ． ⑵作 OH⊥PQ 于点 H，可算得 OH = 100 2 141 （千米），设经过 t 小时时，台风中心从 P 移动到 H，则 PH t = = 20 100 2 ，算 得 t = 5 2 （小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为： 60 10 5 2 130.5 + （千米）＜141（千 米）． C A B 北 D
∴城市O不会受到侵袭 【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题,对于此类问题常常要构造直 角三角形,利用三角函数知识来解决 例6如图所示:如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走 到P处再测得点C的仰角为45°,已知O:=100米,山坡坡度为 12,(即tan∠PlP1 O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.(测倾器的高度忽 略不计,结果保留) 【分析】很显然,电视塔OC的高在Rt△OAC 中即可求得 要求点P的铅直高度,即求PE的长,由坡 度=1:2,可设PE=x,则AE=2x.此时只要列 山 出关于x的的方程即可.而此时要借助于 45所在的R△来解决故过点P作PF⊥AEB水平地面 OC,垂足为F.在Rt△PCF中,由PF=CF, 得1002=103-x,即可求得PE的长 【解】过点P作PF⊥OC,垂足为F 在R△OAC中,由∠OC=60°,O4=10,.得OC= oA tan∠0e10√5米 过点P作PE⊥AB,垂足为E由r=1:2,设PE=x,则AE=2x P=OE=100+2x,CF=1003-x 在Rt△PCF中,由∠CPF=45 100 PF=CF,即100+2x=100 1003-1 答:电视塔C高为1005米点P的直高度为00210米 【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型,即解直角三角形时,当不能直接解出三角形 的边时,可设未知数,利用方程思想来解决,这是解决数学问题中常用的方法,沟通了方程与 解直角三角形之间的联系 【复习建议】 1、立足教材,打好基础,学生通过复习,应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本方法和基 本技能 2、重视问题情境的创设和实际问题的解决,强化数形结合的思想和方法的渗透、总结和升华. 增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力 3、加强解直角三角形的知识与方程知识的联系,提高学生综合运用数学知识的水平,促进学生 更快、更好地构建数学知识网络 重视题型的生活化,复习中强调三角函数的本质,正确理解解直角三角形中边角之间的关系 引导学生用数学的眼光来看待问题
5 ∴城市 O 不会受到侵袭． 【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直 角三角形,利用三角函数知识来解决． 例 6 如图所示：如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60° ，沿山坡向上走 到 P 处再测得点 C 的仰角为 45° ，已知 OA=100 米，山坡坡度为 1 2 ，（即 tan∠PAB= 1 2 ）且 O、A、B 在同一条直线上。求电视塔 OC 的高度以及所在位置点 P 的铅直高度.（测倾器的高度忽 略不计，结果保留）． 【分析】很显然，电视塔 OC 的高在 Rt△OAC 中即可求得. 要求点 P 的铅直高度，即求 PE 的长，由坡 度 i=1:2，可设 PE=x,则 AE＝2x.此时只要列 出关于 x 的的方程即可.而此时要借助于 45°所在的 Rt△来解决.故过点 P 作 PF⊥ OC，垂足为 F.在 Rt△PCF 中，由 PF＝CF， 得 100+2x=100 3 –x,即可求得 PE 的长. 【解】过点 P 作 PF⊥OC，垂足为 F. 在 Rt△OAC 中,由∠OAC＝60°，OA＝100，得 OC＝OA tan∠OAC=100 3 米. 过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E.由 i=1:2,设 PE=x,则 AE＝2x. ∴PF＝OE＝100+2x，CF＝100 3 –x. 在 Rt△PCF 中,由∠CPF＝45°，∴PF＝CF,即 100+2x=100 3 –x, ∴x＝ 100 3- 100 3 , 即 PE= 100 3- 100 3 答：电视塔 OC 高为 100 3 米.点 P 的铅直高度为100 3- 100 3 米. 【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形 的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与 解直角三角形之间的联系． 【复习建议】 1、 立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本方法和基 本技能． 2、 重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化数形结合的思想和方法的渗透、总结和升华． 增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力． 3、 加强解直角三角形的知识与方程知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生 更快、更好地构建数学知识网络． 4、 重视题型的生活化，复习中强调三角函数的本质，正确理解解直角三角形中边角之间的关系， 引导学生用数学的眼光来看待问题． C A O B 水平地面 山坡 60 ° 45 ° P E F