线段的垂直平分线 学生知识状况分析 通过对前面相关内容的学习,学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必 要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的,因此,教 学时,教师对此不要操之过急,应逐步引导学生理解 二、教学任务分析 在上一节课,学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理,本节课的主要任务是 性质和判定的应用。因此本节课的目标为: 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点 2.经历猜想、探索,能够作出符合条件的三角形. 3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问 题的方法,发展实践能力和创新意识 4.学会与他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点、难点 重点: ①能够证明与线段垂直平分线相关的结论 ②已知底边和底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形 难点:证明三线共点 、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:情境引入:第二环节:例题解析;第三环节: 引申拓展;第四环节:动手操作;第五环节:随堂练习:第六环节:课时小结:第五环节 课后作业 1:情景引入 活动内容:尺规作图作三条边的垂直平分线。 活动目的:让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确 性 活动过程 教师提问:“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,当作完此题时你发现了什么?(教 师可用多媒体演示作图过程)
1 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必 要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教 学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解． 二、教学任务分析 在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是 性质和判定的应用。因此本节课的目标为： 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点 2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形． 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问 题的方法，发展实践能力和创新意识． 4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点、难点 重点： ①能够证明与线段垂直平分线相关的结论． ②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 难点：证明三线共点。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：例题解析；第三环节： 引申拓展； 第四环节：动手操作；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结 ；第五环节： 课后作业。 1：情景引入 活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。 活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确 性。 活动过程： 教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教 师可用多媒体演示作图过程)
“三角形三边的垂直平分线交于一点.”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等.” 等都是学生可以发现的直观性质。 下面请同学们剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直 平分线,你是否发现同样的结论?与同伴交流 教师质疑:“这只是用我们的眼睛观察到的,看到的一定是真的吗?我们还需运用公理 和已学过的定理进行推理证明,这样的发现才更有意义.” 这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论 上述活动中,教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲 自体验和观察结论的正确性 2:例题解析 (1)教师引导学生分析,寻找证明方法 我们要从理论上证明这个结论,也就是证明“三线共 C 点”,但这是我们没有遇到过的.不妨我们再来看一下演示过 程,或许你能从中受到启示 通过演示和启发,引导学生认同:“两直线必交于一点,那么要想证明‘“三线共点 只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口,询问学生如何知道这个交点在第三边的 垂直平分线上呢? 师生共析,完成证明 (2)讨论结束后,学生书写证明过程。教师点评,注意几何符号语言的规范性。 已知:在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P,连接 求证:P点在AC的垂直平分线上 证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∵PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等) ∴PA=PC ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上) B、BC、AC的垂直平分线相交于点 2
2 “三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．” 等都是学生可以发现的直观性质。 下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直 平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流． 教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理 和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．” 这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论． 上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲 自体验和观察结论的正确性。 2：例题解析 （1）教师引导学生分析，寻找证明方法。 我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共 点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过 程，或许你能从中受到启示． 通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’， 只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．” 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的 垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明 （2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。 已知：在△ABC 中，设 AB、BC 的垂直平分线交于点 P，连接 AP， BP，CP． 求证：P 点在 AC 的垂直平分线上． 证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． 同理 PB=PC． ∴PA=PC． ∴P 点在 AC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线 上)． ∴AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 P． Q P N M F E B C A O B C A O
进一步设问:“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点,你还能得出什么结论 (交点P到三角形三个顶点的距离相等.) (3)多媒体演示我们得出的结论: 定理三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等 3.引申拓展 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作几个?所作 出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能,能作几个?所作出 的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 学生通过小组讨论,并尝试作出草图,验证自己的结论。 由学生思考可得:(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形,并且能 作出无数多个,如下图 已知:三角形的一条边a和这边上的高h 求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h C(D) B Al 从上图我们会发现,先作已知线段BC=a:然后再作BC边上的高h,但垂足不确定,我 们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线,最后以D 为端点在垂线上截取AD(或AD),使AD=AD=h,连接AB,AC(或△AB,AC),所得△ABC(或 △ABC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个.观察还可以发现这些三角形不都全 等.(见几何画板课件) (2)如果已知等腰三角形的底边,用尺规作出等腰三角形,这样的等腰三角形也有无 数多个.根据线段垂直平分线的性质定理可知,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距
3 进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?” （交点 P 到三角形三个顶点的距离相等．） （3）多媒体演示我们得出的结论： 定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 3.引申拓展 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作 出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出 的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。 由学生思考可得：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能 作出无数多个，如下图： 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h 求作：△ABC，使 BC=a，BC 边上的高为 h A1 B D C A a h ( ) A1 B C D A a h A1 C D B A a h 从上图我们会发现，先作已知线段 BC=a；然后再作 BC 边上的高 h，但垂足不确定,我 们可将垂足取在线段 BC 上或其所在直线上的任意一点 D，过此点作 BC 边的垂线，最后以 D 为端点在垂线上截取 AD(或 A1D)，使 AD=A1D=h，连接 AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或 △A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全 等．（见几何画板课件） （2）如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无 数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距
离相等,因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线,取它上面的任意一点,和底边的两 个端点相连接,都可以得到一个等腰三角形 另外有学生补充:“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件,如底边的中点在 底边上,不能构成三角形,应将这一点从底边的垂直平分线上挖去.” (3)如果底边和底边上的高都一定,这样的等腰三角形应该只有两个,并且它们是全 等的,分别位于已知底边的两侧 例题学习 已知底边及底边上的高,求作等腰三角形 已知:线段a、h 求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h 作法:1.作BC=a; 2.作线段Bc的垂直平分线N交BC于D点; B 3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点: ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示) ●做一做:课本第25页:教师引导学生分析作出草图,注意对学生作法叙述的准确 性加以更正 4.动手操作 (1)例题:已知直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线,使它经过点P. 学生先独立思考完成,然后交流:说出做法并解释作图的理由。 (2)拓展:如果点P是直线1外一点,那么怎样用尺规作1的垂线,使它经过点 呢?说说你的作法,并与同伴交流 5.随堂练习:习题1.8第1、2题。 6.课时小结 本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的 交点,及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论,并能根据此结论“已知等腰三角形 的底和底边的高,求作等腰三角形” 7.课后作业 习题1.8第3、4题 四、教学反思
4 离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两 个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在 底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．” （3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全 等的，分别位于已知底边的两侧． ⚫ 例题学习 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形． 已知：线段 a、h 求作：△ABC，使 AB=AC，BC=a，高 AD=h 作法：1．作 BC=a； 2．作线段 Bc 的垂直平分线 MN 交 BC 于 D 点； 3．以 D 为圆心，h 长为半径作弧交 MN 于 A 点； 4．连接 AB、AC ∴△ABC 就是所求作的三角形(如图所示)． ⚫ 做一做：课本第 25 页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确 性加以更正。 4.动手操作 （1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。 （2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. 5.随堂练习:：习题 1.8 第 1、2 题。 6.课时小结 本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的 交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形 的底和底边的高，求作等腰三角形”． 7.课后作业 习题 1．8 第 3、4 题 四、教学反思 N M B D C A
本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理,并能利用尺规作出已知线段的垂 直平分线.已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形,从尺规作图,逻辑推理 多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三角形三个顶点的 距离相等
5 本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂 直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从尺规作图，逻辑推理 多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的 距离相等