线段的垂直平分线 学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难,这是因为在七年级学习《生活 中的轴对称》中学生已经有了一定的基础 二、教学任务分析 在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识,本节课将进一步深入探索线段 垂直平分线的性质和判定。同时,渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法:只 需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位: 1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理 2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明能力.丰富对几何图形的 认识 3.通过小组活动,学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点、难点 重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的 性质定理在实际问题中的运用 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设情境,引入新课;第二环节:性质探索与 证明:第三环节:逆向思维,探索判定;第四环节:巩固应用:第五环节:随堂练习: 六环节:课时小结第七环节:课后作业 第一环节:创设情境,引入新课 教师用多媒体演示: 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么 位置? B 其中“到两个仓库的距离相等”,要强调这几个字在题 中有很重要的作用 线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它 的对称轴.我们用折纸的方法,根据折叠过程中线段重合说
1 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活 中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段 垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只 需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位： 1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． 2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的 认识。 3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点、难点 重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的 性质定理在实际问题中的运用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与 证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用 ；第五环节：随堂练习；第 六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B 表示两个仓库，要在 A、B 一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么 位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题 中有很重要的作用． 线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它 的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说
明了线段垂直平分线的一个性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以 在这个问题中,要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等” 利用此性质就能完成 进一步提问:“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 第二环节:性质探索与证明 教师鼓励学生思考,想办法来解决此问题。 通过讨论和思考,引导学生分析并写出已知、求证的内容 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点 求证:PA=PB. 分析:要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等 ∠PCA=∠PCB=90° AC=BC, PC=PC △PCA≌△PCB(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等) 教师用多媒体完整演示证明过程 第三环节:逆向思维,探索判定 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果……那 么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果…… 那么……”的形式,逆命题就容易写出.鼓励学生找出原命题的条件和结论 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点到线段两个端 点的距离相等” 此时,逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个 点在这条线段的垂直平分线上.” 写出逆命题后时,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需用反例说 引导学生分析证明过程,有如下四种证法: 证法 已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB 求证:P点在AB的垂直平分线上 2
2 明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以 在这个问题中，要求在“A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等” 利用此性质就能完成． 进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 第二环节：性质探索与证明 教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。 通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足是 C，且 AC=BC，P 是 MN 上的点． 求证：PA=PB． 分析：要想证明 PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 教师用多媒体完整演示证明过程． 第三环节：逆向思维，探索判定 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那 么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果…… 那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端 点的距离相等”． 此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上．” 写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说 明． 引导学生分析证明过程，有如下四种证法： 证法一： 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA=PB． 求证：P 点在 AB 的垂直平分线上． N A P C B M
证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC, Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理) 即P点在AB的垂直平分线上 证法二:取AB的中点C,过PC作直线 AP=BP, PC=PC AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS ∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB P点在AB的垂直平分线上 证法三:过P点作∠APB的角平分线. AP=BP,∠1=∠2,PC=PC, △APC≌△BPC(SAS) AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等,对应边相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90 P点在线段AB的垂直平分线上 证法四:过P作线段AB的垂直平分线PC B ∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90° P在AB的垂直平分线上 从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题 我们把它称做线段垂直平分线的判定定理 第四环节:巩固应用 在做完性质定理和判定定理的证明以后,引导学生进行总结:(1)线段的垂直平分线可 以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 (2)到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上.因此只需做出 这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。 例题: 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,0是△ABC内一点,且OB=0C
3 证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC,PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL 定理)． ∴AC=BC， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上． 证法二：取 AB 的中点 C，过 PC 作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即 PC⊥AB ∴P 点在 AB 的垂直平分线上． 证法三：过 P 点作∠APB 的角平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC， △APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P 点在线段 AB 的垂直平分线上． 证法四：过 P 作线段 AB 的垂直平分线 PC． ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴P 在 AB 的垂直平分线上． 从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题， 我们把它称做线段垂直平分线的判定定理． 第四环节：巩固应用 在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可 以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 （2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出 这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。 例题： 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. C B P A C 1 2 B P A A P C B 1 2
求证:直线AO垂直平分线段BC 证明:∵AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上) 同理,点0在线段BC的垂直平分线上 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线) 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线,因此老师要引导学生理清证明的 思路和方法并给出完整的证明过程 第五环节:随堂练习 课本P23:习题1.7:第1、2题 第六环节:课堂小结 通过这节课的学习你有哪些新的收获?还有哪些困惑? 第七环节:课后作业 习题1.7第3、4题 四、教学反思 在这一节中,我们作为老师要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得 出猜想,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学压想方法的强化 和渗透
4 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。． 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的 思路和方法并给出完整的证明过程。 第五环节：随堂练习 课本 P23；习题 1.7：第 1、2 题 第六环节：课堂小结 通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 第七环节：课后作业 习题 l.7 第 3、4 题 四、教学反思 在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得 出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化 和渗透．