第1章三角形的证明 学生知识状况分析 学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上,继续深入学习证明的方法和格式的 多数学生已经了解证明的必要性,具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具 备了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力 教学任务分析 教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发 展,引导学生从问题出发,根据观察、试验的结果,发现证明的思路. 本节课的教学目标是: 1.知识目标:在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明, 证明的思路和方法,尺规作图等. 2.能力目标:进一步体会证明的必要性,发展学生的初步的演绎推理能力:进一步掌 握综合法的证明方法,结合实例体会反证法的含义:提高学生用规范的数学语言表达论证过 程的能力 3.情感价值观要求 通过积极参与数学学习活动,对数学的证明产生好奇心和求知欲,培养学生合作交流的 能力,以及独立思考的良好学习习惯 4.重点与难点 重点:通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点 难点:是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:创设问题情境,搭建“回顾与思考”的平台 第二环节:建立本章的知识框架图;第三环节:例题讲解:第四环节:课时小结:第五环节: 布置作业。 学生课前准备:一副三角尺 教师课前准备:制作好课件
1 第 1 章 三角形的证明 一、学生知识状况分析 学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的； 多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具 备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析 教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发 展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路. 本节课的教学目标是： 1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明， 证明的思路和方法，尺规作图等. 2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌 握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过 程的能力. 3．情感价值观要求 通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的 能力，以及独立思考的良好学习习惯. 4．重点与难点 重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点， 难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台； 第二环节：建立本章的知识框架图；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结；第五环节： 布置作业。 学生课前准备：一副三角尺； 教师课前准备：制作好课件
第一环节:创设问题情境,搭建“回顾与思考”的平台 活动内容:通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识,如定理、逆定理等。 活动目的:使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固,最终达到掌握并灵活应 用的目的 活动过程 问题1:你能说说作为证明基础的几条公理吗? 教师通过学生回答并整理出六条公理如下: 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS) 4两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA) 5.三边对应相等的两个三角形全等;(SSS 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等 问题2:向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法 ①综合法:从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理 ②反证法 (教师可关注基础较差的学生,给于关注和指导) 问题3:你能说出一对互逆命题吗?它们的真假性如何? 问题4:任意画一个角,利用尺规将其二等分、四等分 已知:如图,∠AOB 求作:(1)射线OC,使∠AOC=∠BOC (2)射线OD、OE,使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB 作法:(1)1、在OA和OB上分别分别截取OM、0N,使OM=ON. 2.分别以M、N为圆心,以大于一MN的长为半径作弧,两弧 在∠AOB内交于点C 3.作射线OC ∴OC就是∠AOB的平分线 2)同上,分别在AOC和BOC内部作射线OD、OE. 活动效果及注意事项:在整理基本定理及相关知识时,可以先通过学生讨论,或在课
2 第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台 活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。 活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应 用的目的。 活动过程： 问题 1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？ 教师通过学生回答并整理出六条公理如下： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 问题 2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法. ①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理； ②反证法． （教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导） 问题 3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？ 问题 4：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分． 已知：如图，∠AOB 求作：(1)射线 OC，使∠AOC=∠BOC； (2)射线 OD、OE，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB 作法: (1) 1、在 OA 和 OB 上分别分别截取 OM、ON，使 OM=ON． 2．分别以 M、N 为圆心，以大于 2 1 MN 的长为半径作弧，两弧 在∠AOB 内交于点 C． 3．作射线 OC ∴OC 就是∠AOB 的平分线． (2) 同上，分别在 AOC 和 BOC 内部作射线 OD、OE． 活动效果及注意事项：在整理基本定理及相关知识时，可以先通过学生讨论，或在课 E D A Ｃ B N M
前提前布置总结的任务,这样学生准备的更充足一些,课堂复习的效果估计会更好一些 第二环节:建立本章的知识框架图 本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关,主要包括哪些呢? 等腰三角形(含等边三角形)、直角三角形的性质定理及判定定理:线段垂直平分线的 性质定理及判定定理;角平分线的性质定理及判定定理 1.通过探索、猜测、计算、证明得到的定理: (1)与等腰三角形、等边三角形有关的结论: 性质:等腰三角形的两个底角相等,即等边对等角 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形两底角的平分线相等,两条腰上的中线相等,两条腰上的高相 等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,并且每个角都等于60 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等. 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)与直角三角形有关的结论 勾股定理的逆定理 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL) (3)与一般三角形有关的结论: 在一个三角形中,两个角不相等,它们所对的边也不相等(用反证法证明) 2.命题的逆命题及其真假: 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这 两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题 个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的 逆定理.例如勾股定理及其逆定理. 3.尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理;用尺规作线段的垂直平分线:已知底边和底
3 前提前布置总结的任务，这样学生准备的更充足一些，课堂复习的效果估计会更好一些！ 第二环节：建立本章的知识框架图 本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？ 等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的 性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理． 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等． 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于 60° ； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等． 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）与直角三角形有关的结论： 勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论： 在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假 ： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这 两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的 逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底
边上的高,用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理;用尺规作已知角的平分线 E 第三环节:例题讲解 例1、已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分 别是E、F,且DE=DF 求证:△ABC是等腰三角形 分析:要证△ABC是等腰三角形,可证∠B=∠C 例2、如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知△BCE的周长为 8,AC一BC=2.求AB与BC的长 分析:由已知AC一BC=2,即AB-BC=2,要求AB和BC的长,利用方程的思想,需找另B 一个AB与BC的关系 第四环节:课时小结 本章的内容总结如下 与等腰三角形、等边三角形有关的结论 通过探索、猜测、计算、证明得 到的定理 与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论 命题的逆命题及其真假 线段的垂直平分线 尺规作图 角的平分线 第五环节:布置作业 课内:A组题中的第3、4、5、6、7、8题 课外:A组题中的9题,B组题第1、2、3题 四、教学反思 本节容量较大,教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理,然后再侧重 于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上,思路上可以更灵活一些,要让学生 的积极性调动起来,做到以学生为本
4 边上的高，用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线． 第三环节：例题讲解 例 1、已知：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分 别是 E、F，且 DE=DF. 求证：△ABC 是等腰三角形. 分析：要证△ABC 是等腰三角形，可证∠B=∠C. 例 2、如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8，AC－BC=2. 求 AB 与 BC 的长. 分析：由已知 AC－BC=2，即 AB－BC=2，要求 AB 和 BC 的长，利用方程的思想，需找另 一个 AB 与 BC 的关系． 第四环节：课时小结 本章的内容总结如下： 第五环节：布置作业 课内： A 组题中的第 3、4、5、6、7、8 题； 课外：A 组题中的 9 题，B 组题第 1、2、3 题. 四、教学反思 本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重 于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生 的积极性调动起来，做到以学生为本。 通过探索、猜测、计算、证明得 到的定理 与等腰三角形、等边三角形有关的结论 与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论 命题的逆命题及其真假 尺规作图 线段的垂直平分线 角的平分线 F E D C A B E D C A B