滚动专题训练(三)3 DC.. 9g 二次函数的应用类攻略 C类型1)二次函数与方程(组) 1.抛物线y=2x2+6x+m与x轴交于A、B,且AB= 2,求m的值 解:设A(x1,0),B(x2,0), 2 2,∴(x1 )2=4 ∴(x1+x2)2-4x1x2=4 6 4×一=4 4 2 2 5 时,A>0,故m
2.已知直线1:y=2x-3与抛物线c:y=1x2+3x+5 (1)求证:抛物线c与直线l无交点 (2)若与直线l平行的直线与抛物线c只有一个公 共点P,求P点的坐标 解:(1)证明::y=2x-3,y2t+3r+5 2 x 0 △=12-4 111 <0 22 抛物线c与直线l无交点 (2)设与直线l平行的直线为y=2x+m, 2x+ 由 1x2+3x+ 5 2 A=2m-4=0,m=2. 此时,P点坐标为(-1.0)
①类型2)二次函数与不等式 3.抛物线y1=ax2+bx+c的顶点为A(2,3),且经过 点C(0,4) (1)求a、b、c的值; (2)求直线AC的解析式y2; (3)若y2>y1,求x的取值范围 解:(1)y1=ax2+bx+c的项 点为(2,3)且过C(0,4), b 2 2a 4ac-b 4a 4③ x 解得a=1,b 4 第3题图 (2)设y2=kx+b,A(2,3),C(0,4), 2k+b=3,b=4,解得k=7 x+4. 2 (3)由图象可知,y2>y1时,0<x<2
类型3)二次函数在生活中的实际应用 4.(2015年滨州市)一种进价为每件40元的T恤,若 销售单价为60元,则每周可卖出200件.为提高利 润,欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现:每涨 价1元,每周要少卖出20件.请确定该T恤涨价后 每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函 数关系式,并求销售单价定为多少元时,每周的销 售利润最大? 解:根据题意得:y=(x-40)[200-20(x-60)] =-20x2+2200x-56000, x-60≥0且200-20(x-60)≥0, 60≤x≤70,a=-2055时,y随x的增大而减小 而60≤x≤70, 当x=60时,y的值最大,即销售单价定为 60元时,每周的销售利润最大
5.现在不少农村用上了自动喷灌设备.如图所示,AB 表示水管,在B处有一自动旋转的喷水头,一瞬间 喷出的水呈抛物线形,建立如图所示的直角坐标系 后,抛物线的表达式为y2+2x+1.5 (1)当x=1时,喷出的水离地面多高? (2)你能求出水落地点的最远距离吗? (3)水管有多高? 解:(1)当x=1时 y x12+2×1+1.5=3. 故当x=1时 喷出的水高地面的高为3 (2)当y=0时, x2+2x+1.5=0, 第5题图 解得x1=2+√7,x2=2-√7<0(舍去) 因此水落地点最远距离为2+√7 (3)当x=0时,y=1.5 因此水管AB的高为1.5
6.(2015年青岛市)如图,隧道的截面由抛物线和长 方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中 所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-x2+bx +c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为 3m,到地面OA的距离为2m (1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到 地面OA的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽 为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货 车能否安全通过? (3)在抛物线型拱璧上需要安装两排灯,使它们离 地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过 8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
解:(1)根据题意得 B(0,4),C(3, 2 把B(0,4),C(3,)入B E bx+c得 6 C=4 第6题图 17 b=2 32+3b+c 解得 6 2 c=4. 所以抛物线解析式为y=-1x2+2x+4 6 则y 6 (x-6)2+10 所以D(6,10),所以拱顶D到地面OA的距离 为10m (2)由题意得货运汽最外侧于地面OA的交 点为(2,0)或(10,0), 当x=2或x=10时,y 22 >6, 所以这辆货车能安全通过 3)令y=8,则 )2 (x-6)2+1 0=8 6 解得x1=6+23,x2=6-23,则x1-x2=43 所以两排灯的水平距离最小是43m
7.(2015年黔南州)为了解都匀市交通拥堵情况,经 统计分析,都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小 时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度 为0千米/小时;当车流密度为20辆/千米时,车流 速度为80千米/小时.研究表明:当20≤x≤220 时,车流速度υ是车流密度x的一次函数 (1)求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流 速度; (2)在交通高峰时段,为使彩虹桥上车流速度大于 40千米/小时且小于60千米/小时,应控制彩 虹桥上的车流密度在什么范围内? (3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某 观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流 密度.当20≤x≤220时,求彩虹桥上车流量y 的最大值
解:(1)设车流速度ν与车流密度x的函数关系式 为=kx+b, 80=20k+b, 由题意,得 解得。k= 5 0=220k+b, b=88 当20≤x≤220时,v= 2 x+88 当x=100时, 2 =-长×100+88=48(千米/小时) 2 (2)由题意,得5+88>40 2 x+88<60 解得:70<x<120 应控制大桥上的车流密度在70<x<120范 围内
(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx, 当20≤x≤220时, y=(-kx+88)x=-÷(x-110)2+4840, 当x=110时,y最大=4840, 4840>1600 当车流密度是110辆/千米,车流量y取得 最大值是每小时4840辆