DDearEDU 义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE九年级下 第3章圆 3.1.2圆周角 湖南教育出版
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下 湖南教育出版社
DoseD 观察 3.1.2圆周角 如图,∠BAC有什么特点? ∠BAC的顶点4在圆上, 它的两边都与圆相交 C 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫作圆
3.1.2 圆周角 如图，∠BAC有什么特点？ · O C B A ∠BAC的顶点A在圆上， 它的两边都与圆相交. 观 察 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角．
DDearEDU B E 圆周角在我们生活中处处可见,比如,我们从团旗上的图 案抽象出如图所示图形,图形中就有很多圆周角
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角． E · A O D B C
探究 量出∠BAC与∠BOC的度数,它们有什么关系? 每位同学画一个圆,然后任 意画一个圆周角,以及相应的 圆心角(它所对的弧也是圆周 C 角所对的弧),量出它们的度 数,看它们之间有什么关系? B ∠BAC=1∠BOC
每位同学画一个圆，然后任 意画一个圆周角，以及相应的 圆心角（它所对的弧也是圆周 角所对的弧），量出它们的度 数，看它们之间有什么关系？ · O A C B 量出∠BAC与∠BOC的度数，它们有什么关系？ 探 究 1 2 ∠BAC= ∠BOC
DDearEDU 第二者∥网 与同桌或邻近桌的同学交流,猜测一条弧所对的 圆周角与圆心角有什么关系.你能证明这个猜测吗? ∠BAC=∠BOC 情形一圆周角的一边通过圆心 如图圆O中,∠BAC的一边AB通过圆心 由于OA=OC,因此∠C=∠BAC, 从而∠BOC=∠C+∠BAC B 2∠BAC, 即∠BAC=1∠BOC
与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的 圆周角与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？ · A O C B 情形一 圆周角的一边通过圆心． 如图 圆O中，∠BAC的一边AB通过圆心． 从而∠BOC=∠C+∠BAC =2∠BAC， 由于OA=OC，因此∠C=∠BAC， 1 2 即∠BAC= ∠BOC 1 2 ∠BAC= ∠BOC
DDearEDU 第二者∥网 情形二圆心在圆心角的内部 如图,圆O在∠BAC的内部.作直径AD, 根据情形一的结果得 ∠BOD ∠BAD2 ∠DOC ∠DAC= 从而∠BAC=∠BAD+∠DAC 2(∠BOD+∠DOC) D ∠BOC 2
· D A O C B 情形二 圆心在圆心角的内部 如图，圆O在∠BAC的内部．作直径AD， 根据情形一的结果得 ∠BAD = —————， ∠DAC = —————． = —————— 从而∠BAC=∠BAD+∠DAC = —————— 1 2 BOD 1 2 DOC ( ) 1 2 + BOD DOC 1 2 BOC
DDearEDU 情形三圆心在圆周角的外部 如图,圆心O在∠BAC的外部 你能证明∠BAC=∠BOC吗? 证明: 作直径AD ∠BAD=-∠BOD 2 ∠CAD=1∠COD B ∠BAD-CAD=(∠BOD∠COD) ∠BAC=-∠BOC 2 综上所述,我们证明了下述定理: 定理2一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
情形三 圆心在圆周角的外部． 1 2 A ·O B C D 定理2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 综上所述，我们证明了下述定理： 你能证明∠BAC= ∠BOC吗？ 如图，圆心O在∠BAC的外部． 证明: ∵∠BAD= ∠BOD 1 2 ∠CAD= ∠COD 1 2 ∴∠BAD－CAD= （∠BOD-∠COD） 1 2 ∴∠BAC= ∠BOC 1 2 作直径AD
子动脑筋 利用定理2,以及圆心角与所对的弧的关系, 你能说出下述结论成立的道理吗? D A B C 在同一圆(或相等的圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 反之,相等的圆周角所对的弧相等 直径(或半圆)所对的圆周角是直角;反之,90°的圆周角所对的 弦是直径
动脑筋 利用定理2，以及圆心角与所对的弧的关系， 你能说出下述结论成立的道理吗？ 直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的 弦是直径. A ·O B C D A · B C O 在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧相等
REareD 练习 1.如图,AB是圆O的一条直径,∠CAB=65°, 求∠ABC的度数 因为AB是直径 所以∠C=90° AKB 所以△ABC为直角三角形 ∠ABC+∠CAB=90° ∠ABC+∠CAB=90°-∠CAB=90°-65°=25°
1. 如图,AB是圆O的一条直径, ∠CAB=65° , 求∠ABC的度数 练习 C A · B O 解: 因为AB是直径 所以∠C= 90° 所以△ABC为直角三角形 ∠ABC+ ∠CAB= 90° ∠ABC+ ∠CAB= 90°－∠CAB = 90°－65°= 25°
DDearEDU 第二者∥网 2.如图在圆O中,弦AB与CD相交于点M (1)∠ACD与∠ABD相等吗?为什么? ∠ACD=∠ABD B 同弧所对的圆周角相等 D (2)∠CAB与∠CDB相等吗?为什么? ∠CAB=∠CDB 同弧所对的圆周角相等 (3)△ACM与△DBM相似吗?为什么? ∠ACD=∠ABD ∠CAB=∠CDB △ACM∽△DBM
C · · A O M D B ⑴∠ACD与∠ABD相等吗?为什么? 2. 如图在圆O中,弦AB与CD相交于点M. ⑵ ∠CAB与∠CDB相等吗?为什么? ⑶ △ACM与△DBM相似吗?为什么? ∠ACD=∠ABD 同弧所对的圆周角相等. ∠CAB=∠CDB 同弧所对的圆周角相等. ∵∠ACD= ∠ ABD ∠ CAB=∠CDB ∴△ACM∽△DBM