强化数学应用的意识的教学案例(2) 石河子大学师范学院刘超 背景介绍：数学的应用是数学教育的根本目的之一。随着新技术革命的深入发展， 数学应用也越来越被世界各国所重视。如英国1982年的《cockeroft报告》强调 数学必须联系实际，要求把数学与学生以后的生活和就业的各种需要联系起来。 美国1989年5月发布的《中小学数学课程与评估标准》明确反对从书本到书本 的学习，强调解决实际问题，把数学应用作为"数学素养"的准则和数学教育改革的 重要目标之一。 案例描述： 教学过程和内容主要是： 一、片面强调三大能力的利与弊 传统的数学教育在处理教学内容时通常数学的原理、公式、定理的教学作为 编制教学内容的一根主线贯穿始终，这作为学生对数学原理、内容的掌握以及学 生的逻辑思维、抽象思维能力的发展无疑是具有积极作用的。通过对加强"双基”， 培养三大能力的强调使得我们的数学教育具有基础扎实、训练严格的传统优势 但知识面狭窄，内容过于形式刻板，重理论轻应用的倾向也不能不说是我们的数 学教育现实中的问题。我国中学生强于基础、弱于创造：强于答卷，弱于动手： 强于数学，弱于科学的现状己为教育界有识之士所关注。这种现象与我们的教育 现状有着密切的关系。长期以米，我们的数学教育强调的是对数学概念的理解， 对数学公式的推导和证明。例习题以纯形式的数学模式展现在学生面前，数学以 其高度抽象，高度严谨的枯燥形式出现，与实际应用相距甚远。尽管教材中有 些应用问题，但大都缺乏现实感。而且这些应用题的条件大多都是数学假设，而 不是实际问题的简化，解出的结论也很少需要学生思考是否合乎实际，是否需要 进一步调整和修改己有的模型.加之教师在处理过程中，由于受应试教育的影响， 只是浓缩化地将它们转化为纯数学问题，然后在纯数学知识这个封闭系统中进行 推演，这种理论脱离实际的教育在一定程度上限制了学生创造性思维的发展。可
强化数学应用的意识的教学案例（2） 石河子大学师范学院 刘超 背景介绍：数学的应用是数学教育的根本目的之一。随着新技术革命的深入发展, 数学应用也越来越被世界各国所重视。如英国 1982 年的《cockcroft 报告》强调 数学必须联系实际,要求把数学与学生以后的生活和就业的各种需要联系起来。 美国 1989 年 5 月发布的《中小学数学课程与评估标准》明确反对从书本到书本 的学习,强调解决实际问题,把数学应用作为"数学素养"的准则和数学教育改革的 重要目标之一。 案例描述： 教学过程和内容主要是： 一、 片面强调三大能力的利与弊 传统的数学教育在处理教学内容时通常数学的原理、公式、定理的教学作为 编制教学内容的一根主线贯穿始终，这作为学生对数学原理、内容的掌握以及学 生的逻辑思维、抽象思维能力的发展无疑是具有积极作用的。通过对加强"双基”， 培养三大能力的强调使得我们的数学教育具有基础扎实、训练严格的传统优势， 但知识面狭窄，内容过于形式刻板，重理论轻应用的倾向也不能不说是我们的数 学教育现实中的问题。我国中学生强于基础、弱于创造；强于答卷，弱于动手： 强于数学，弱于科学的现状己为教育界有识之士所关注。这种现象与我们的教育 现状有着密切的关系。长期以来，我们的数学教育强调的是对数学概念的理解， 对数学公式的推导和证明。例习题以纯形式的数学模式展现在学生面前，数学以 其高度抽象，高度严谨的枯燥形式出现，与实际应用相距甚远。尽管教材中有一 些应用问题，但大都缺乏现实感。而且这些应用题的条件大多都是数学假设，而 不是实际问题的简化，解出的结论也很少需要学生思考是否合乎实际，是否需要 进一步调整和修改己有的模型。加之教师在处理过程中，由于受应试教育的影响， 只是浓缩化地将它们转化为纯数学问题，然后在纯数学知识这个封闭系统中进行 推演，这种理论脱离实际的教育在一定程度上限制了学生创造性思维的发展。可
以说，过分片面强调"双基"与"三大能力"的结果使人们的数学教育在"智力价值 和"实用价值"的取向上严重失衡。 二、应用数学的能力是现代素质教育强调的基本能力之一 随着现代社会的发展，使股票、分期付款、效益预测、评估、优化、决策等 大量应用问题需要用数学来解决。数学不再仅仅是思维的体操了，它己更广泛地 渗透到我们的生活之中，应用数学的的能力是现代素质教有强调的基本能力之 一。随着计算机的广泛使用，未来社会生活中，有用的数学将发生一定变化。那 就是，对计算的要求降低了而对数据的收集、归纳以及分析、解释或做出判断的 要求提高了：对问题解决过程中逻辑演算的要求降低了，而对实际问题模型化以 及运用模型解释生活现象，解决实际问题的要求提高了。如今通过构造数学模型 解决实际问题的方法己广泛应用于自然科学、工程技术以及人口控制、生态平衡、 科学管理等社会科学的一切领域中，数学应用作为联系数学与外部世界的中介和 桥梁，对于体现数学的应用价值，发挥数学的社会化功能显得特别重要。我国现 行数学教学大纲也明确规定要形成学生运用数学知识分析和解决实际问题的能 力。近年来，关于我国中学生应用能力、应用意识的培养己逐渐为教育界人士所 重视。1993年应用题首次出现在高考试题中，随后应用问题作为高考的热点问 题越来越被人们所关注。近年数学高考试卷中的应用题一般稳定在”一大二小” 格局上(1999年是“一大三小”)，题量及分值逐步增加，阅读量加大，解答题具 有一定难度。由此可见，数学高考的指挥棒己逐步朝者强调学生的应用意识，考 查学生的实践能力方向努力了。更重要的是，在2001年1月教育部颁布的《全 日制普通高级中学课程计划（试验修订稿）》第一次在我国基础教育课程中增设了 综合实践活动板块。该课程为必修课，包括研究性课题、劳动技术教育、社区 服务和社会实践四部分内容。新近的国家《数学课程标准》也都强调了加强数学 应用实践能力培养的重要性，并作了具体规定，也提出了教学的建议和要求，前 文已述。因此增进和培养学生解决实际问题的能力及学生的应用意识是社会发展 的需要，也是形式发展的必然趋势。这对目前的中学数学教育和学生的数学学习 无疑是一个巨大的挑战。作为中学数学教育，在学生学习的基础阶段，如何通过 课堂教学来逐步培养学生的应用能力和应用意识，应该是教育工作者们认真反思 的一个问题
以说，过分片面强调"双基"与"三大能力"的结果使人们的数学教育在"智力价值" 和"实用价值"的取向上严重失衡。 二、应用数学的能力是现代素质教育强调的基本能力之一 随着现代社会的发展，使股票、分期付款、效益预测、评估、优化、决策等 大量应用问题需要用数学来解决。数学不再仅仅是思维的体操了，它已更广泛地 渗透到我们的生活之中，应用数学的的能力是现代素质教育强调的基本能力之 一。随着计算机的广泛使用，未来社会生活中，有用的数学将发生一定变化。那 就是，对计算的要求降低了而对数据的收集、归纳以及分析、解释或做出判断的 要求提高了；对问题解决过程中逻辑演算的要求降低了，而对实际问题模型化以 及运用模型解释生活现象，解决实际问题的要求提高了。如今通过构造数学模型 解决实际问题的方法己广泛应用于自然科学、工程技术以及人口控制、生态平衡、 科学管理等社会科学的一切领域中。数学应用作为联系数学与外部世界的中介和 桥梁，对于体现数学的应用价值，发挥数学的社会化功能显得特别重要。我国现 行数学教学大纲也明确规定要形成学生运用数学知识分析和解决实际问题的能 力。近年来，关于我国中学生应用能力、应用意识的培养己逐渐为教育界人士所 重视。1993 年应用题首次出现在高考试题中，随后应用问题作为高考的热点问 题越来越被人们所关注。近年数学高考试卷中的应用题一般稳定在"一大二小" 格局上(1999 年是“一大三小”)，题量及分值逐步增加，阅读量加大，解答题具 有一定难度。由此可见，数学高考的指挥棒己逐步朝着强调学生的应用意识，考 查学生的实践能力方向努力了。更重要的是，在 2001 年 1 月教育部颁布的《全 日制普通高级中学课程计划(试验修订稿)》第一次在我国基础教育课程中增设了 "综合实践活动"板块。该课程为必修课，包括研究性课题、劳动技术教育、社区 服务和社会实践四部分内容。新近的国家《数学课程标准》也都强调了加强数学 应用实践能力培养的重要性，并作了具体规定，也提出了教学的建议和要求，前 文已述。因此增进和培养学生解决实际问题的能力及学生的应用意识是社会发展 的需要，也是形式发展的必然趋势。这对目前的中学数学教育和学生的数学学习 无疑是一个巨大的挑战。作为中学数学教育，在学生学习的基础阶段，如何通过 课堂教学来逐步培养学生的应用能力和应用意识，应该是教育工作者们认真反思 的一个问题
三、关于数学应用意识及其培养 所谓数学应用意识，主要是这样一种思维倾向，一种用数学的眼光观察、分 析周围生活中的问题的思维倾向。比如说，数学应用意识强的人，在吃饭的时侯， 可能会联想到营养的搭配问题：在上课时，可能会想到坐在何位置才能将黑板看 得最清楚的问题：他在开、关窗户时，可能想到窗户的面积与采光量的问题：他 在放风筝时，可能想到绳子长度与缠绕圈数的关系问题：他在观看礼花形状、听 到礼花鸣响时，可能想到光速、声速的有关问题.这些，实际就是应用意识的 具体体现。应用意识强的人，具有一种善于用数学来分析、思维周围发生的一切， 或善于把身边的事情抽象出来，转化形成数学问题并进而解决之的一种偏好。 当然，作为数学应用意识而言，它不仅仅要求有这种思维倾向即可，它还应 具备一定的解决实际问题的能力，也就是说，要想形成数学应用意识，必须以一 定的数学：知识，数学能力作为基础，离开了数学知识的训练、数学应用能力的 培养来谈数学应用意识意义是不大的。实验表明，课堂知识的学习和实际应用之 间不存在必然的联系，学习成绩好的学生应用能力不一定就强1。对于"学校数学 问题"和"现实数学问题"之间关系测试表明，"它们之间的相关系数仅为0.22”2。 可见，"如果平常没有数学应用的训练，要想达到应用数学子实际的能力是需要 相当的数学修养，大部分中学生和相当多的大学生要达到这种水平是不可能的3。 可以说，在课堂教学中，加强应用问题的教学，培养学生的应用能力及应用意识 是势在必行。事实上，数学概念多是由实际问题抽象而来，这就为我们的数学课 堂教学中概念、公理、定理、公式的引入及课题的提出、推导等提供了一定的实 际背景，这不仅有利于学生理解知识的来源和作用，对于调动学生的积极性，激 发学生的兴趣，也是很有必要的。数学应用意识的培养主要是在常规教学过程中 加以渗透，通过对课堂内容的生活化"处理，让学生逐步体会到数学应用的重要 性，从而形成一种观念并逐步转化成为意识。 强化数学应用意识，还必须要改革现行的考试体制、考试方法和试题内容 促进应试教育向素质教育的转化，还要对数学课程、教材进行重新规划和改进，这 林瑞，国外数学愿的 测试所 数学教1教有，1903 )严士健，数学教有应而向21世纪而努力，数学通报，1994.11
三、关于数学应用意识及其培养 所谓数学应用意识，主要是这样一种思维倾向，一种用数学的眼光观察、分 析周围生活中的问题的思维倾向。比如说，数学应用意识强的人，在吃饭的时侯， 可能会联想到营养的搭配问题；在上课时，可能会想到坐在何位置才能将黑板看 得最清楚的问题；他在开、关窗户时，可能想到窗户的面积与采光量的问题；他 在放风筝时，可能想到绳子长度与缠绕圈数的关系问题；他在观看礼花形状、听 到礼花鸣响时，可能想到光速、声速的有关问题.这些，实际就是应用意识的 具体体现。应用意识强的人，具有一种善于用数学来分析、思维周围发生的一切， 或善于把身边的事情抽象出来，转化形成数学问题并进而解决之的一种偏好。 当然，作为数学应用意识而言，它不仅仅要求有这种思维倾向即可，它还应 具备一定的解决实际问题的能力，也就是说，要想形成数学应用意识，必须以一 定的数学；知识，数学能力作为基础，离开了数学知识的训练、数学应用能力的 培养来谈数学应用意识意义是不大的。实验表明，课堂知识的学习和实际应用之 间不存在必然的联系，学习成绩好的学生应用能力不一定就强1。对于"学校数学 问题"和"现实数学问题"之间关系测试表明，"它们之间的相关系数仅为 0.22”2。 可见，"如果平常没有数学应用的训练，要想达到应用数学子实际的能力是需要 相当的数学修养，大部分中学生和相当多的大学生要达到这种水平是不可能的3。 可以说，在课堂教学中，加强应用问题的教学，培养学生的应用能力及应用意识 是势在必行。事实上，数学概念多是由实际问题抽象而来，这就为我们的数学课 堂教学中概念、公理、定理、公式的引入及课题的提出、推导等提供了一定的实 际背景，这不仅有利于学生理解知识的来源和作用，对于调动学生的积极性，激 发学生的兴趣，也是很有必要的。数学应用意识的培养主要是在常规教学过程中 加以渗透，通过对课堂内容的"生活化"处理，让学生逐步体会到数学应用的重要 性，从而形成一种观念并逐步转化成为意识。 强化数学应用意识，还必须要改革现行的考试体制、考试方法和试题内容, 促进应试教育向素质教育的转化,还要对数学课程、教材进行重新规划和改进,这 1 胡林瑞，国外数学题的一次测试所见，数学教学，1990.3。 2 范良火，关于数学教育目的问题的若干理论探讨，江苏教育，1990.3 3 严士健，数学教育应面向 21 世纪而努力，数学通报，1994.11
就必然导致教学方法的改变，因此应该引入体现数学应用意识的教学方法。建立 以数学应用为目标的教学方法体系是我国数学教育改革的必然趋势。 四、数学应用意识培养的课堂教学类型 在中学阶段，学生的主要任务是掌握一些基础知识和基本理论，进而结合实 际增进对数学的理解，并对数学与现实生活的联系有一个基本的认识。这就需要 我们在安排教学框架时，应当兼顾数学的理论与应用双方面的平衡。保持理论与 应用双方面的平衡是使学生获得完整的数学观念的一个重要部分，这也是对构建 中学数学框架所提出的一个义不容辞的责任。作为中学数学教育，我们应既向学 生提供一些基本的公式、定理，为学生理解数学、应用数学打下基础，同时还有 必要向学生提供运用算术和数学解决各领域内的实际问题的机会，诸如用数学来 分析一些自然科学、社会科学、消费购买问题和日常生活中遇到的一些其它问题 等。即有抽象的理论演绎，也有具体的实际内容，以让学生形成一个完整的数学 概念，真正体现出数学来源于实践又以更大的动力反作用于实践的过程。这一问 题的解决，重在教育工作者在实践过程中应当具有贯彻培养学生应用意识的教学 理念。在课堂教学中培养学生的应用意识，应当采取灵活多样的课堂教学模式和 教学方法，通过活跃的“问题解决"和数学实践活动，引导学生把数学知识与生活 实际联系起来。因此，从课堂教学模式上来看，课堂教学模式应当是开放的而不 是封闭的，学生应当在做数学，而不是纯粹的在学数学。教师的主要任务便是引 导学生把自己的量化期望运用所学知识用数学的手段变为量化的结果。我们认 为，从课型上来划分，主要有以下几种类型： 1、 建模性课题 怎样通过课堂教学，把学生的基础知识与应用有机地结合起来？可以说，目 前为止，建模性课题是在课堂教学中培养学生应用意识的主要模式。通过建模性 课题的学习和研究达到使学生能够灵活运用所学知识来解决一些实际问题，培养 学生的应用意识的目的。 2、研究性课题的学习 研究性课题既专题研究，由于中学阶段知识量相对较大、课程比较多、学生 的时间相对紧张，仅仅靠在课堂中培养学生的应用意识应该说确实是有一定的局 限性的。这就需要课上学习与课下研究应当进行有机、有效地结合。研究性课题
就必然导致教学方法的改变，因此应该引入体现数学应用意识的教学方法。建立 以数学应用为目标的教学方法体系是我国数学教育改革的必然趋势。 四、数学应用意识培养的课堂教学类型 在中学阶段，学生的主要任务是掌握一些基础知识和基本理论，进而结合实 际增进对数学的理解，并对数学与现实生活的联系有一个基本的认识。这就需要 我们在安排教学框架时，应当兼顾数学的理论与应用双方面的平衡。保持理论与 应用双方面的平衡是使学生获得完整的数学观念的一个重要部分，这也是对构建 中学数学框架所提出的一个义不容辞的责任。作为中学数学教育，我们应既向学 生提供一些基本的公式、定理，为学生理解数学、应用数学打下基础，同时还有 必要向学生提供运用算术和数学解决各领域内的实际问题的机会，诸如用数学来 分析一些自然科学、社会科学、消费购买问题和日常生活中遇到的一些其它问题 等。即有抽象的理论演绎，也有具体的实际内容，以让学生形成一个完整的数学 概念，真正体现出数学来源于实践又以更大的动力反作用于实践的过程。这一问 题的解决，重在教育工作者在实践过程中应当具有贯彻培养学生应用意识的教学 理念。在课堂教学中培养学生的应用意识，应当采取灵活多样的课堂教学模式和 教学方法，通过活跃的"问题解决"和数学实践活动，引导学生把数学知识与生活 实际联系起来。因此，从课堂教学模式上来看，课堂教学模式应当是开放的而不 是封闭的，学生应当在做数学，而不是纯粹的在学数学。教师的主要任务便是引 导学生把自己的量化期望运用所学知识用数学的手段变为量化的结果。我们认 为，从课型上来划分，主要有以下几种类型： 1、 建模性课题 怎样通过课堂教学，把学生的基础知识与应用有机地结合起来?可以说，目 前为止，建模性课题是在课堂教学中培养学生应用意识的主要模式。通过建模性 课题的学习和研究达到使学生能够灵活运用所学知识来解决一些实际问题，培养 学生的应用意识的目的。 2、研究性课题的学习 研究性课题既专题研究，由于中学阶段知识量相对较大、课程比较多、学生 的时间相对紧张，仅仅靠在课堂中培养学生的应用意识应该说确实是有一定的局 限性的。这就需要课上学习与课下研究应当进行有机、有效地结合。研究性课题
正是在课堂教学中培养学生的应用意识的一种重要补充形式。以研究性课题作为 培养学生应用意识的有益形式，对教材知识进行适当的拓展，更加有助于把平时 的学习、训练与社会生产、生活实际和热点问题与课堂教学紧密结合在一起，对 转变传统的封闭式学科观念，注重学科能力的培养与跨学科综合能力的培养相结 合，对学生能力的培养和素质的提高，实现由知识立意向能力立意的转变是有很 大意义的。 3、微应用课题 在课题的引入及教学过程中，教师可以把一些较小的数学应用和数学建模问 题，根据问题解决的过程分解后，放到教学的各局部环节上去做，并且注意要经 常这样做。这种化整为零，细水长流的做法对培养学生的应用意识是非常有效的。 比如在新知识的开始、复习课上等可以用一点时间穿插介绍一下数学应用或数学 建模的问题，让学生在课堂上通过讨论完成问题数学化的过程，而把问题的具体 求解过程留给学生放到课外去完成。这有助于学生增进对知识的理解，从而培养 学生将所学知识与现实生活紧密联系起来的习惯。微应用课题相对于建模性课题 及研究性课题来说，由于其短小、灵活对知识即时低难度4时生理阳握对时言无 论是对知识的掌握，还是对数学的理解应该是很有帮助作用的 4、阅读材料形式的小课题研究 从培养学生兴趣、培养学生良好的个性品质及创新精神、实践能力出发，向 学生提供有关数学史、数学家小故事、数学发展中的趣题及略高于教材的小的研 究性课题等内容，使学生通过阅读、探究、领悟、理解等活动，看到数学的发展 轨迹，进一步提高学生的数学素质，这对加强学生对数学的理解是非常有效的。 案例反思：通过课堂教学来培养学生的应用意识，其主要方式就是通过解决一些 与生活贴近的实际问题作为基本素材，让学生在问题解决中体会到数学的巨大作 用，从而达到培养学生应用意识的目的
正是在课堂教学中培养学生的应用意识的一种重要补充形式。以研究性课题作为 培养学生应用意识的有益形式，对教材知识进行适当的拓展，更加有助于把平时 的学习、训练与社会生产、生活实际和热点问题与课堂教学紧密结合在一起，对 转变传统的封闭式学科观念，注重学科能力的培养与跨学科综合能力的培养相结 合，对学生能力的培养和素质的提高，实现由知识立意向能力立意的转变是有很 大意义的。 3、微应用课题 在课题的引入及教学过程中，教师可以把一些较小的数学应用和数学建模问 题，根据问题解决的过程分解后，放到教学的各局部环节上去做，并且注意要经 常这样做。这种化整为零，细水长流的做法对培养学生的应用意识是非常有效的。 比如在新知识的开始、复习课上等可以用一点时间穿插介绍一下数学应用或数学 建模的问题，让学生在课堂上通过讨论完成问题数学化的过程，而把问题的具体 求解过程留给学生放到课外去完成。这有助于学生增进对知识的理解，从而培养 学生将所学知识与现实生活紧密联系起来的习惯。微应用课题相对于建模性课题 及研究性课题来说，由于其短小、灵活对知识即时低难度 4 时生理阳握对时言无 论是对知识的掌握，还是对数学的理解应该是很有帮助作用的 4、阅读材料形式的小课题研究 从培养学生兴趣、培养学生良好的个性品质及创新精神、实践能力出发，向 学生提供有关数学史、数学家小故事、数学发展中的趣题及略高于教材的小的研 究性课题等内容，使学生通过阅读、探究、领悟、理解等活动，看到数学的发展 轨迹，进一步提高学生的数学素质，这对加强学生对数学的理解是非常有效的。 案例反思：通过课堂教学来培养学生的应用意识，其主要方式就是通过解决一些 与生活贴近的实际问题作为基本素材，让学生在问题解决中体会到数学的巨大作 用，从而达到培养学生应用意识的目的