集合与函数根念 吉林省延边二中周国华 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些 内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有 关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力. 函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从 运算转向了关系.函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这 条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。函数与 不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联 系。用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点，反过来，通过这些内容的学 习，加深了对函数思想的认识.函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终.高中数学课 程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角 函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 二、学情分析 1.学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面.通过布置易错点分析的任 务，让学生意识到保留资料的重要性 2.学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力.但是没有养成及 时复习的习惯，有些内容已经淡忘。通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养 学生良好的复习习惯
集合与函数概念 吉林省延边二中 周国华 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些 内容．本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有 关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力． 函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从 运算转向了关系．函数是高中数学的核心内容， 是高中数学课程的一个基本主线，有了这 条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与 不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联 系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来，通过这些内容的学 习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数学课 程中，函数有许多下位知识，如必修 1 第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角 函数．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型． 二、学情分析 1．学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面．通过布置易错点分析的任 务，让学生意识到保留资料的重要性． 2．学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力．但是没有养成及 时复习的习惯，有些内容已经淡忘．通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养 学生良好的复习习惯．
3.在研究例4时，对分类的情况研究的不全面.为了突破这个难点，应用几何画板制 作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解 决这类问题的关键 三、设计思略 本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极 性”·在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进 行知识的梳理。一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理 的习惯。在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参 与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问 题.通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方 式。在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想.在教学 过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点. 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1.了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算。 A:能从集合间的运算分析出集合的基本关系.B:对于分类讨论问题，能区分取交还是取 并 2.理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性
3．在研究例 4 时，对分类的情况研究的不全面．为了突破这个难点，应用几何画板制 作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解 决这类问题的关键． 三、设计思路 本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极 性”．在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进 行知识的梳理．一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理 的习惯．在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参 与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问 题．通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方 式．在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想．在教学 过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点． 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算． A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系．B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取 并． 2．理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性 质．
A:会用定义证明函数的单调性、奇偶性。B:会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关 系 (二)过程与方法 1.通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内 容网络化、系统化. 2.在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系， 体会集合与函数的本质. (三)情感态度与价值观 在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的 学习习惯，独立获取数学知识的能力，在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树 立学好数学的信心在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的 品质。 五、重难点分析 重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问 难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系
A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性．B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关 系． (二)过程与方法 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内 容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系， 体会集合与函数的本质． (三)情感态度与价值观 在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的 学习习惯，独立获取数学知识的能力．在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树 立学好数学的信心．在例 4 的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的 品质． 五、重难点分析 重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问 题． 难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系．
六.知识梳理（约10分钟） 提出问思 问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来。 问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明 集合的这些基本要求吗？ 问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系。类比两个数的运算，思 考两个集合之间的基本运算，交、并、补. 问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？ 请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点. 问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系 在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方 案.在自己的原有方案的基础上进行补充与完善. 学生回答问题要点预设如下： 1.集合语言可以简洁准确表达数学内容
六．知识梳理(约 10 分钟) 提出问题 问题 1：把本章的知识结构用框图形式表示出来． 问题 2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明 集合的这些基本要求吗？ 问题 3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系．类比两个数的运算，思 考两个集合之间的基本运算，交、并、补． 问题 4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？ 请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点． 问题 5：分析研究函数的方向，它们之间的联系． 在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方 案．在自己的原有方案的基础上进行补充与完善． 学生回答问题要点预设如下： 1．集合语言可以简洁准确表达数学内容．
2.运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数 的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。 3.函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况 选用 4.研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数 的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使 用的方法 设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的 不透彻.让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效。让学生体会到知识的横向联 系与纵向联系。通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质 是一样的 七、易错点分析（约3分钟） 问恩6：集合中的易错问题，函数中的易错问题？主要是作业、训练、考试中出现的问 题？ (任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现。教师不进行修改，呈现的是原始 的) 数师展示学和成果并进行点评
2．运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数 的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型． 3．函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况 选用． 4．研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数 的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使 用的方法． 设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的 不透彻．让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效．让学生体会到知识的横向联 系与纵向联系．通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质 是一样的． 七、易错点分析(约 3 分钟) 问题 6：集合中的易错问题，函数中的易错问题?主要是作业、训练、考试中出现的问 题? (任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现．教师不进行修改，呈现的是原始 的) 教师展示学和成果并进行点评．
对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充。这个过程尽量由学生来完 成，教师可以适应的引导与点评。 设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出 现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误 的认识。通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误 八、考泰点分析（的5分钟） 问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点。 问愿8：知识的横纵联系， 映射 推广 数☐ 类比 联系 西数 方程、效列、不等 上下位 一次函数、二次函 数、正比例函数、 反比例西数、锐角 三角西数等
对于问题 6 主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充．这个过程尽量由学生来完 成，教师可以适应的引导与点评． 设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出 现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误 的认识．通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误． 八、考察点分析(约 5 分钟) 问题 7：分析集合中的考察点，函数中的考察点． 问题 8：知识的横纵联系．
学生回答问题要点预设如下： 1.集合中元素的互异性 2.A二B,则集合A可以是空集」 3.交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题 4.函数的单调性与奇偶性的证明】 5.作业与试卷中出现的问题。 6.学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面。 设计意图：让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与 思想方法来解答。例如如果试题中出现集合，无论试题以什么形式出现，考察点基本是集 合间的基本关系、集合的运算。 九、典型问题分析 例1：设集合A=(x2+4x=0) B={x天+2a+)x+d2-1=0)(1)若BGA,求实数a的值 (2)若A门B=B,求a的值：
学生回答问题要点预设如下： 1．集合中元素的互异性． 2． ，则集合 A 可以是空集． 3．交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题． 4．函数的单调性与奇偶性的证明． 5．作业与试卷中出现的问题． 6．学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面． 设计意图： 让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与 思想方法来解答．例如如果试题中出现集合， 无论试题以什么形式出现，考察点基本是集 合间的基本关系、集合的运算． 九、典型问题分析 例 1：设集合 （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求 的值；
(3)若AUB=B,求a的值，教师点评，同时板书， ()答案：a≤-1或a=1y (2)答案：a=1或a≤1 (3)答案：a=1. 由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想.（预设有以下几个方面）从知识点 来分析，这是集合问题。考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基 本关系、集合的运算等。学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况。第2、3问可能会遇到 一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考. 设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解愿之前分析考察点的习惯。能顺 利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍.通过一题多问、一愿多解、多题归一， 让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想 例2：已知函数（闭是定义在R上的奇函数，当x20时， x)=x1+x),求函数的解析式. 变式：函数是偶函数 教师对生回答进行点评。并板书
（3）若 ，求 的值．教师点评，同时板书． (1)答案： 或 ; (2)答案： 或 ; (3)答案： ． 由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想．（预设有以下几个方面）从知识点 来分析，这是集合问题．考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基 本关系、集合的运算等．学生在解第 1 个问时，可能漏掉特殊情况．第 2、3 问可能会遇到 一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考． 设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯．能顺 利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一， 让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想． 例 2：已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，求函数的解析式． 变式：函数是偶函数 教师对生回答进行点评．并板书．
∫x(1+x,x20 f闭=0-.x0,所以可以研究一x的函数值。 设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想。函数的奇偶性与函数的图象的 关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是 相辅相承的。体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的。考察函数的单调性的证
学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充． 学生回答问题要点预设如下： 1．考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系． 2．函数的奇偶性的定义． 3．转化与化归的思想． 法一：本题即求 ，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题 转化为二次函数的图象与解析式的问题． 法二：本法更具有一般性，已知 时，函数的解析式，要分析 时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值 应当怎样计算．由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系， ，所以可以研究 的函数值． 设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的 关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是 相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证
明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系。体会转化与化归的思想、 特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质， 例3：已知了()是偶函数，而且在(0，+0)上是减函数，判断/()在-0,0)上是增函数 还是减函数，并证明你的判断。 变式1：函数为奇函数 变式2：你能分析奇函数（偶函数）在对称区间上的单调性的关系吗？试从数形两个方面来分 析. 学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充。 学生回答问题要点预设如下： 1,考察点为函数的奇偶性与单调性的关系 2.函数的单调性的定义 3.数形结合、转化与化归的思想。 法一：通过函数的图象分析 法二：把要研究的范围转化为己知的范围
明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、 特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质． 例 3：已知 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数 还是减函数，并证明你的判断． 变式 1：函数为奇函数 变式 2：你能分析奇函数(偶函数)在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分 析． 学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充． 学生回答问题要点预设如下： 1．考察点为函数的奇偶性与单调性的关系． 2．函数的单调性的定义． 3．数形结合、转化与化归的思想． 法一：通过函数的图象分析． 法二：把要研究的范围转化为已知的范围．